【摘要】反比例函數(shù)問題是初中數(shù)學的一類經(jīng)典問題，其中反比例函數(shù)的比例系數(shù)k在解答此類問題時具有重要的作用.對比例系數(shù)k的幾何意義的合理運用是解題的關(guān)鍵，同時也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.本文將結(jié)合幾道例題談?wù)劮幢壤瘮?shù)中k的幾何意義的實際應(yīng)用方法.

【關(guān)鍵詞】 反比例函數(shù)；初中數(shù)學；解題技巧

1 確定比例系數(shù)k的大小

比例系數(shù)k的幾何意義最直接的應(yīng)用必然是用于求解其大小.結(jié)合一些基本幾何圖形的面積公式，求得與k有關(guān)的圖形的面積，即可求得k值.

例1 如圖1所示，雙曲線y=kx（k>0）經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OB的中點D，且與直角邊AB相交于點C.若S△OBC=3，則k=.

圖1

解 取AO的中點E，連接DE.

因為點D是直角三角形OAB斜邊OB的中點，所以線段DE是三角形OAB的中位線.

由中位線的性質(zhì)可得DE∥AB，DE=12AB.

因為BA⊥OA，所以DE⊥OA，

因為S△ODE=14S△OBA=12k，所以S△OBA=2k.

又因為S△OCA=12k，S△OBC=3，

所以12k+3=2k，即k=2.

評析 一般來說，可以根據(jù)反比例函數(shù)下包含的圖形的面積結(jié)合題目的已知條件進行運算，從而得到有關(guān)k的圖形的面積大小，由此即可解得k.

2 求解角度的大小

除了直接應(yīng)用面積來求解問題，還可以通過等面積法、割補法等方法將其他如角度之外的幾何量與面積建立聯(lián)系，從而求解出角度大小.

例2 如圖2所示，A、B兩點分別在雙曲線y=1x和y=－3x的圖像上，且OA⊥OB，則∠OAB=.

圖3

解 如圖3所示，因為OA⊥OB，

所以△OAB是直角三角形.

要想求出∠OAB的大小，可使用銳角三角函數(shù)，即求出△OAB中某兩條邊的比值.

因此作AC⊥y軸，

所以∠CAO+∠AOC=90°.

又因為∠BOD+∠AOC=90°，

所以∠CAO=∠DOB，

則Rt△OBD～Rt△AOC.

所以O(shè)B2OA2=S△OBDS△AOC.

依據(jù)比例系數(shù)k的幾何意義，

可得S△AOC=12，S△OBD=32，

所以O(shè)B2OA2=3，則tan∠OAB=OBOA=3，

所以∠OAB=60°.

評析 角度問題也經(jīng)常融合在反比例函數(shù)中.在銳角三角函數(shù)知識的支撐下，角的大小問題可以轉(zhuǎn)化為線段比值問題，之后線段比值問題又可以變?yōu)槊娣e的比值問題，這樣就可以利用比例系數(shù)k的幾何意義來求得面積的比值，從而得到角的大小.

3 比較圖形面積的大小

將比較面積大小的問題轉(zhuǎn)化為比較比例系數(shù)k的大小問題，更為直觀.

例3  如圖4所示，直線l和雙曲線y=kx（k>0）交于A、B兩點，點P是線段AB上的點（不同于A、B兩點），過點A、B、P分別作x軸的垂線，垂足分別為C、D、E，連接OA、OB、OP.設(shè)△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2，△POE的面積為S3，則S1、S2、S3的大小關(guān)系是.

圖4

解 由題意可得A、B兩點都在雙曲線y=kx（k>0）上，則S1=S2.

而在線段AB之間，直線在雙曲線的上方，故S1=S2<S3.

評析 這是比例系數(shù)k較為直觀的應(yīng)用.通過不同圖形與反比例函數(shù)之間不同的關(guān)系，就可以得到圖形面積的大小關(guān)系，避免了繁雜的計算.

4 求解多邊形背景下的反比例函數(shù)問題

多邊形問題是平面幾何問題中較為復(fù)雜的一類圖形問題，其與反比例函數(shù)結(jié)合，難度進一步加大.但是此類題目都有解題的突破點，可以將比例系數(shù)k的幾何意義作為一個思路.

例4 如圖5所示，四邊形OABC是菱形，連接AC，過點C作CE⊥AC，交x軸負半軸于點E，連接BE，雙曲線y=kx（k≠0，x<0）圖像經(jīng)過CE上的兩點C、D，且CD=DE，△BCE的面積為15，則k=.

圖5

解 如圖6所示，過點C作CG⊥OE，過點D作DF⊥OE.

圖6

因為CD=DE，

所以DF是△ECG的中位線，

則EF=FG，DF=12CG.

因為D、C兩點在y=kx上，

所以S△OCG=S△ODF=12|k|.

因為S△OCG=12OG·CG，S△ODF=12OF·DF，

所以O(shè)F=2OG，即OE=3OG.

所以S△OCG=13S△OCE.

因為四邊形OABC是菱形，

所以AC⊥OB.

因為CE⊥AC，所以EC∥OB，

則S△OCE=S△BCE=15，則12|k|=5.

因為圖像在第二象限，所以k=－10.

評析 與多邊形融合的反比例函數(shù)問題較為復(fù)雜，但是可以以比例系數(shù)k的幾何意義為導向，嘗試找到幾何量與其的關(guān)系，即可解得答案.

5 結(jié)語

數(shù)形結(jié)合思想是解答初中數(shù)學問題的重要思想.在解決有關(guān)反比例函數(shù)的問題時，充分運用比例系數(shù)k的幾何意義有時能有意想不到的效果.