摘 "要：求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，灰狼優(yōu)化算法存在收斂速度慢、容易陷入局部極值的缺點(diǎn)。針對(duì)此問(wèn)題，提出了一種融合多策略改進(jìn)的灰狼優(yōu)化算法。首先采用混沌序列產(chǎn)生在解空間均勻分布的初始種群；然后結(jié)合精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制進(jìn)行最優(yōu)解的搜索，引入收斂停滯監(jiān)測(cè)策略，提升算法整體抗停滯能力，保持種群多樣性；最后提出一種收斂因子非線性動(dòng)態(tài)調(diào)整策略，提高算法的全局收斂速度和穩(wěn)定性。對(duì)10個(gè)經(jīng)典高維測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明，改進(jìn)算法能有效擺脫局部極值點(diǎn)，其全局優(yōu)化性能優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)灰狼優(yōu)化算法。

關(guān)鍵詞：灰狼優(yōu)化算法；單純形法；優(yōu)化；收斂因子

中圖分類號(hào)：TP391.9 " " " " " " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-5483（2024）02-0064-07

Grey Wolf Optimization Algorithm with Multiple Strategy Improvements

Zhang Rongxin， Li Xuetao

（School of Economics and Management， Hubei University of Automotive Technology， Shiyan 442002， China）

Abstract： When solving complex optimization problems， the grey wolf optimization algorithm has the disadvantages of slow convergence speed and easy falling into local extremes. To address these issues， a grey wolf optimization algorithm that integrated multiple strategy improvements was proposed. Firstly， a chaotic sequence was used to generate an initial population that was uniformly distributed in the solution space. Then， combined with the elite reverse learning mechanism， the optimal solution was searched， and a convergence stagnation monitoring strategy was introduced to improve the overall anti-stagnation ability of the algorithm and maintain population diversity. Finally， a non-linear dynamic adjustment strategy for convergence factors was proposed to improve the global convergence speed and stability of the algorithm， and simulation experiments were conducted on 10 classic high-dimensional test functions. The experimental results show that the improved algorithm can effectively eliminate local extreme points， and its global optimization performance is better than the standard grey wolf optimization algorithm.

Key words： grey wolf optimization algorithm; simplex method; optimization; convergence factor

GWO（grey wolf optimization）算法通過(guò)狼群跟蹤、包圍、追捕、攻擊獵物等過(guò)程實(shí)現(xiàn)優(yōu)化搜索目的［1］，具有原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、調(diào)整參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，己成功應(yīng)用到車間調(diào)度、參數(shù)優(yōu)化、圖像分類、K-均值聚類優(yōu)化等領(lǐng)域中［2］。GWO算法和其他智能優(yōu)化算法一樣，求解高維和復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，存在著探索和開(kāi)發(fā)能力難以協(xié)調(diào)、后期收斂速度慢、求解精度低等缺點(diǎn)。針對(duì)GWO算法存在的不足，文獻(xiàn)［3］引入佳點(diǎn)集方法初始化灰狼種群、設(shè)計(jì)基于正切三角函數(shù)描述的非線性控制參數(shù)策略和修改的位置更新方程，提出一種協(xié)調(diào)探索和開(kāi)發(fā)能力的GWO算法；文獻(xiàn)［4］將動(dòng)態(tài)進(jìn)化種群技術(shù)嵌入到標(biāo)準(zhǔn)GWO算法中，以加強(qiáng)全局探索能力；龍文等人利用混沌方法產(chǎn)生初始個(gè)體，對(duì)當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體使用Powell算法進(jìn)行局部搜索，提升了全局搜索能力［5］；周蓉等人利用反向?qū)W習(xí)來(lái)初始化種群，并結(jié)合變異算子對(duì)灰狼算法進(jìn)行了改進(jìn)［6］；Zhu等人利用DE算法的全局搜索能力，在一定程度上增強(qiáng)了灰狼算法的全局搜索能力；文獻(xiàn)［7］結(jié)合混沌初始化、精英反向?qū)W習(xí)和混沌擾動(dòng)，提出了一種混合GWO算法，用于處理高維優(yōu)化問(wèn)題；文獻(xiàn)［8］提出了一種用對(duì)數(shù)函數(shù)描述收斂因子的GWO算法，平衡了算法的局部開(kāi)發(fā)和全局搜索能力。上述改進(jìn)算法在求解函數(shù)優(yōu)化方面取得了一定的效果，但仍有改進(jìn)空間。為進(jìn)一步提升GWO算法求解能力，避免出現(xiàn)早熟收斂缺陷，文中通過(guò)協(xié)調(diào)全局探索和局部開(kāi)發(fā)能力，設(shè)計(jì)了融合多種策略IGWO算法。

1 GWO算法

GWO算法是模擬灰狼群體的等級(jí)行為和捕獵行為而設(shè)計(jì)的一種新型群體智能優(yōu)化算法。每個(gè)灰狼表示一個(gè)潛在解，狼群分4個(gè)等級(jí)：領(lǐng)導(dǎo)狼群的[α]是當(dāng)前最好解，次優(yōu)解為[β]，第三解為[δ]，第四等級(jí)的灰狼用[ω]表示。按照上述等級(jí)的劃分，灰狼[α]對(duì)[β]、[δ]和[ω]有絕對(duì)的支配權(quán)，[δ]服從[α]和[β]，灰狼[ω]等級(jí)最低，灰狼群的獵食行為主要由灰狼[α]、[β]和[δ]進(jìn)行引導(dǎo)和指示，灰狼狩獵主要分為追蹤、接近獵物、包圍獵物、攻擊獵物。

設(shè)灰狼種群大小為[N]，在[d]維空間，灰狼[i]當(dāng)前位置為[Xi（xi，1，xi，2，…，xi，d）]，則灰狼[i]在灰狼[α]引導(dǎo)下的下一個(gè)位置[Xαi（xαi，1，xαi，2，…，xαi，d）]計(jì)算公式為

[xαi，k=xα，k-A1Dα，k， " A1=2ar1-αDα，k=C1xα，k-xi，k， " C1=2r2] （1）

式中：[Xαi，k]為[Xαi]的第[k]個(gè)分量；[a]為收斂因子，從2遞減至0；[r1]和[r2]均為（0，1）間的隨機(jī)數(shù)。

灰狼[i]在灰狼[β]或[δ]引導(dǎo)下的下一個(gè)位置計(jì)算公式同上。綜上所述，灰狼[i]在灰狼[α]、[β]、[δ]同時(shí)引導(dǎo)下的下一個(gè)位置計(jì)算公式為

[xi，k=xαi，k+xβi，k+xδi，k3] （2）

2 IGWO算法

GWO算法存在如下缺陷：1）種群多樣性差，這是因?yàn)殡S機(jī)初始化生成初始種群的方式無(wú)法保證較好的種群多樣性；2）后期收斂速度慢，主要是由搜索機(jī)制造成；3）易陷入局部最優(yōu)，這是因?yàn)轭^狼不一定是全局最優(yōu)點(diǎn)，在迭代中不斷逼近前3匹狼，導(dǎo)致陷入局部最優(yōu)解。當(dāng)前對(duì)GWO算法的改進(jìn)主要體現(xiàn)在全局和局部搜索性能的優(yōu)化上，如增加灰狼種群的多樣性、改進(jìn)搜索機(jī)制、改進(jìn)控制參數(shù)、開(kāi)發(fā)高效的混合算法。

IGWO算法從3個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn)：1）采用混沌映射的種群初始化方法，提升初始種群的質(zhì)量和多樣性，加快算法的全局收斂速度；2）為進(jìn)一步使算法跳出局部最優(yōu)，引入收斂停滯監(jiān)測(cè)，對(duì)種群中較差個(gè)體執(zhí)行趨優(yōu)反向?qū)W習(xí)操作，擴(kuò)大搜索區(qū)域，或者借助隨機(jī)擾動(dòng)機(jī)制對(duì)全局最優(yōu)位置進(jìn)行調(diào)整，以保持種群的多樣性；3）控制參數(shù)線性遞減策略很難適應(yīng)搜索實(shí)際情況，通過(guò)參數(shù)非線性動(dòng)態(tài)調(diào)整策略，合理調(diào)控算法的全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力。

2.1 混沌映射初始化種群

種群初始化方式對(duì)種群多樣性及算法穩(wěn)定性有一定影響，GWO算法的隨機(jī)初始化只能保證初始種群位置有一定的分散度，不能保證分布均勻?；煦缧蛄芯哂休^好的遍歷性和隨機(jī)性，混沌映射能夠產(chǎn)生［0，1］分布較均勻的隨機(jī)數(shù)，使初始種群盡可能地利用解空間的信息。采用Skew Tent映射產(chǎn)生混沌序列來(lái)進(jìn)行種群初始化：

[xt+1=xt φ-1， " 0lt;xtlt;φ（1-xt）（1-φ）-1， " φl(shuí)t;xtlt;10≤t≤tmax] （3）

式中：t為迭代次數(shù)。[φ∈（0，1）]且[x∈[0，1]]時(shí)，處于混沌狀態(tài)。具體步驟如下：1）令t為0，隨機(jī)初始化產(chǎn)生種群[（X1，X2，…，XN）]：

[Xi=（x1，x2，…，xd）， " i=1，2，…，N] （4）

2）產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)[φ∈（0，1）]，按照式（3）更新種群中個(gè)體變量[xij]。3）如果[t小于tmax]，重復(fù)2）。4）如果[t等于tmax]，則

[xi， j=xmin， j+xk， j（xmax， j-xmin， j）] （5）

將個(gè)體變量映射到解空間，得到初始化種群，如圖1所示，可以看出，經(jīng)過(guò)一定迭代次數(shù)的混沌映射計(jì)算后，種群分布更加均勻，當(dāng)?shù)螖?shù)為100左右時(shí)，種群分布最好。種群初始位置的分散程度決定種群的多樣性，在一定程度上影響算法的搜索速度和尋優(yōu)精度，好的初始種群能有效避免在進(jìn)化初期就陷入局部解。

2.2 非線性收斂因子策略

GWO算法在進(jìn)化過(guò)程中存在全局和局部搜索，較強(qiáng)的全局搜索能力能保證種群的多樣性，而較強(qiáng)的局部搜索能力可保證算法進(jìn)行精確搜索，只有將二者協(xié)調(diào)好，才能降低算法陷入局部最優(yōu)的概率，提高收斂性能。由式（1）可知，當(dāng)[A大于1]時(shí)，灰狼群體會(huì)擴(kuò)大搜索范圍尋找獵物，對(duì)應(yīng)全局搜索；當(dāng)[A小于1]時(shí)，灰狼群體傾向于收縮搜索范圍攻擊獵物，即進(jìn)行局部搜索。因此[A]決定算法的全局和局部搜索能力，而[A]隨著[a]的變化而變化。在GWO算法中，[a]隨著迭代次數(shù)的增加從2線性遞減到0，但灰狼群體的變化在算法收斂過(guò)程中不是線性的，線性遞減的收斂因子不能完全體現(xiàn)實(shí)際的優(yōu)化搜索過(guò)程，[a]在迭代過(guò)程中以相同的速率減小，無(wú)法較好地兼顧全局搜索和局部搜索，因此設(shè)計(jì)一種非線性遞減的收斂因子。在迭代初期，[a]以較小速率減小，保持[A]有較大值，利于算法大范圍搜索；在后期[a]減小較快，使[A]有較長(zhǎng)時(shí)間保持較小的值，保證算法進(jìn)行更加精細(xì)的搜索，提升收斂精度。非線性遞減收斂因子的計(jì)算公式為

[a（t）=ainitial+（afinal-ainitial）×1-ttmaxk1k2] （6）

式中：[ainitial]和[afinal]為[a]初始值和最終值，[ainitial]取2，[afinal]取0。以[tmax]=500為例，[k1]和[k2]分別取不同值時(shí)，[a]的變化曲線如圖2所示，可以看出，迭代開(kāi)始時(shí)，[a]下降緩慢，到進(jìn)化中期[a]下降速度較快，然后在末期平緩下降。通過(guò)這種方式能更好地控制優(yōu)化搜索過(guò)程，在全局和局部搜索能力之間進(jìn)行有力協(xié)調(diào)，調(diào)整[k1]和[k2]可以控制曲線變化趨勢(shì)。

2.3 反向?qū)W習(xí)策略

將混合最佳和最差個(gè)體的反向?qū)W習(xí)策略引入到GWO算法。為進(jìn)一步降低變異策略中由于最佳個(gè)體的引導(dǎo)導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)解的可能性，在每次迭代生成的新種群中選擇部分較差個(gè)體并執(zhí)行趨優(yōu)反向?qū)W習(xí)策略，提高種群質(zhì)量的同時(shí)擴(kuò)大算法的搜索區(qū)域，彌補(bǔ)算法全局勘探能力的不足。

考慮到仍有部分個(gè)體在反向?qū)W習(xí)之后質(zhì)量有所降低，通過(guò)綜合評(píng)價(jià)當(dāng)前解和反向解以選擇一個(gè)更優(yōu)解，反向解的計(jì)算公式為

[xi， j=（xlj+xuj）-xi， j] （7）

式中：[xlj]和[xuj]分別為第[j]維分量的下界和上界。文中只針對(duì)迭代過(guò)程中收斂停滯的個(gè)體進(jìn)行反向?qū)W習(xí)，灰狼個(gè)體收斂停滯的判斷的方法如下：1）當(dāng)個(gè)體極值連續(xù)若干代沒(méi)有改進(jìn)，則認(rèn)為個(gè)體已經(jīng)處于暫時(shí)停滯狀態(tài)；2）若狼群的全局極值連續(xù)若干代沒(méi)有變化，則認(rèn)為算法已陷入局部最優(yōu)，出現(xiàn)了早熟。當(dāng)個(gè)體進(jìn)化停滯或種群陷入局部最優(yōu)后，通過(guò)反向?qū)W習(xí)的方式進(jìn)行干擾，增加個(gè)體多樣性，跳出局部最優(yōu)解。為了使算法能繼續(xù)尋優(yōu)并且跳出局部極值的約束，提出的收斂停滯監(jiān)測(cè)方案。設(shè)[fc]為算法[t]次與（[t-3]）次迭代的適應(yīng)度差值：

[fc（t）=fxt-fxt-3t=4，5，…，tmax] （8）

然后設(shè)置適應(yīng)度監(jiān)測(cè)因子[gmin]：

[gmin（t）=0.05exp-10（t-3）tmax] （9）

最后比較[fc（t）]與[gmin（t）]的大小，如果[fct]小于[gmin（t）]，視為算法收斂停滯，利用式（7）對(duì)停滯個(gè)體進(jìn)行反向?qū)W習(xí)。

2.4 IGWO算法及復(fù)雜度分析

IGWO算法流程如圖3所示。1）設(shè)置算法的主要參數(shù)[N]、[d]、[tmax]、[ainitial]、[afinal]、[k1]、[k2]，確定決策變量的上限和下限：

[u=（u1，u2，…，ud）， " l=（l1，l2，…，ld）] （10）

隨機(jī)生成初始[a]、[A]和[C]等參數(shù)。2）在搜索空間中按照混沌映射方法初始化種群，令[t為0]。3）計(jì)算種群[Pt]中所有灰狼個(gè)體適應(yīng)度并排序，選擇前3個(gè)適應(yīng)度最高的灰狼個(gè)體[Xα]，[Xβ]，[Xδ]，利用式（1）和式（5）更新其他灰狼個(gè)體的位置。4）根據(jù)式（6）計(jì)算[a]，再利用式（1）更新A和C。5）計(jì)算所有灰狼個(gè)體適應(yīng)度并排序，按照反向?qū)W習(xí)策略進(jìn)行個(gè)體更新和搜索，若新解更優(yōu)，將更優(yōu)解保存到種群中，以一定概率排除原種群中較差的解，保持[N]不變。6）判斷算法終止條件，若[t小于tmax]，令[t等于（t+1）]，返回3），否則算法終止，輸出最優(yōu)個(gè)體[Xα]，即最優(yōu)解。

初始化種群的時(shí)間復(fù)雜度為[O（N·d）]，算法的時(shí)間復(fù)雜度為[O（N·d·tmax）]。進(jìn)化過(guò)程中需要2次計(jì)算適應(yīng)度，計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度為[O（2N·lgN·tmax）]，考慮到最差情況，所有個(gè)體均需反向?qū)W習(xí)，總時(shí)間復(fù)雜度為［[O（N·d·（2tmax+1））+O（2N·lgN·tmax）]］，和其他智能優(yōu)化算法相比，計(jì)算開(kāi)銷有所增加。

3 實(shí)驗(yàn)仿真

3.1 測(cè)試函數(shù)與參數(shù)設(shè)置

選取10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，分別是Sphere（f1）、Schwefel2.22（f2）、Schwefel2.21（f3）、Penalized1（f4）、Rosenbrock（f5）、Step（f6）、Quartic（f7）、Rastrigin（f8）、Ackley（f9）、Griewank（f10），理論最優(yōu)解均為0，這些函數(shù)既有單峰函數(shù)也有多峰函數(shù)，在不同搜索空間有不同特性，能充分測(cè)試算法性能。將IGWO算法與CS算法、PSO算法、DE算法、基本GWO算法進(jìn)行性能對(duì)比，設(shè)置函數(shù)的變量維度為30，取值范圍為［-100，100］，N為40，[tmax]為500，[a]初始值為2，[k1]和[k2]分別取0.5和1.5，其他參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表1。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

采用Python進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)同一測(cè)試函數(shù)，每種算法獨(dú)立運(yùn)行20次，對(duì)比結(jié)果如表2所示。從表2可以看出：IGWO算法表現(xiàn)良好，具有更高的收斂精度，其中對(duì)函數(shù)f1和f5均收斂到了0，對(duì)其他函數(shù)的求解結(jié)果也接近于0，證明了IGWO算法良好的優(yōu)化求解能力；而且標(biāo)準(zhǔn)差也非常小，說(shuō)明具有較強(qiáng)的魯棒性。CS算法與PSO算法在求解高維函數(shù)優(yōu)化時(shí)的尋優(yōu)成功率較低，且求解精度也差一些，DE算法和GWO算法相對(duì)較高，但和IGWO算法總體比較起來(lái)，成功率和穩(wěn)定性略差一些。函數(shù)f1～f4仿真結(jié)果的收斂曲線如圖4所示，可以看出，CS算法與PSO算法進(jìn)化后期收斂曲線不再下降，很快陷入局部解，而IGWO算法的收斂速度更快，能較好地跳出局部最優(yōu)值，收斂精度也明顯提高。從上述仿真結(jié)果可以看出：IGWO算法能快速收斂于全局最優(yōu)解或近似最優(yōu)解，收斂也比較穩(wěn)定，能很好地跳出局部最優(yōu)，說(shuō)明了真有效性。

3.3 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

使用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)方法來(lái)檢驗(yàn)IGWO算法和其他算法的運(yùn)行結(jié)果是否有顯著性差別，結(jié)果如表3所示。設(shè)顯著性水平[為0.05]，當(dāng)[p大于0.05]時(shí)，算法的運(yùn)行結(jié)果沒(méi)有顯著差異，否則認(rèn)為差異顯著。檢驗(yàn)結(jié)果表明，IGWO算法在收斂速度、求解精度和魯棒性上都有明顯提升。

3.4 工程實(shí)際應(yīng)用

工程實(shí)際問(wèn)題為壓力容器設(shè)計(jì)，優(yōu)化目的是使生產(chǎn)成本最小化，涉及4個(gè)需要優(yōu)化的變量，分別具有線性或非線性不等式約束，數(shù)學(xué)模型如下：

[minf（x）=0.6624x1x3x4+1.7781x1x23+ " " " " " " " " " " "3.1661x21x4+19.84x21x3s.t. g1（x）=0.0193x2-x1≤0 " " " g2（x）=0.00954x3-x2≤0 " " " g3（x）=-πx23x4-4πx33 "3+1 296 000≤0 " " " g4（x）=x4-240≤0 " " " x1， x2∈0，100; x3， x4∈10，200] （11）

式中：[x1]為殼體厚度；[x2]為半球形部分的厚度；[x3]和[x4]分別為內(nèi)半徑和圓柱零件的長(zhǎng)度。

參考實(shí)驗(yàn)仿真參數(shù)設(shè)置，與其他算法的求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。種群規(guī)模為40，進(jìn)化代數(shù)設(shè)為80，每種算法獨(dú)立運(yùn)行30次后，記錄相應(yīng)的最優(yōu)解，結(jié)果如表4所示。由表4可知，針對(duì)低維度優(yōu)化問(wèn)題，各算法在尋優(yōu)結(jié)果上較相似，但I(xiàn)GWO算法能在尋優(yōu)精度上更進(jìn)一步。從圖5也可以看出，在其他算法接近收斂的時(shí)候，IGWO算法曲線仍然在下降，表現(xiàn)出局部搜索的優(yōu)勢(shì)。

3.5 消融實(shí)驗(yàn)

對(duì)上述10個(gè)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行消融實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)了6種不同的組合方式。組合1～3采用單獨(dú)的改進(jìn)策略，分別為混沌映射、非線性收斂因子、反向?qū)W習(xí)；組合4～5采用2種改進(jìn)策略，分別是混沌映射+非線性收斂因子、混沌映射+反向?qū)W習(xí)；組合6采用3種改進(jìn)策略，即文中算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5所示，大多數(shù)情況下算法的求解精度保持不變或略有提升，組合3的效果較好，求解精度有顯著提升，證明了IGWO算法的有效性。

4 結(jié)論

GWO算法在求解復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，會(huì)陷入局部最優(yōu)，算法收斂性降低。文中IGWO算法在迭代進(jìn)化計(jì)算的過(guò)程中引入收斂停滯的監(jiān)測(cè)機(jī)制，檢測(cè)到陷入局部最優(yōu)時(shí)，對(duì)陷入停滯的個(gè)體進(jìn)行位置重新更新，采用反向?qū)W習(xí)策略替代傳統(tǒng)變異方式，同時(shí)設(shè)置了鄰域大小和縮放因子的動(dòng)態(tài)更新機(jī)制，合理調(diào)控算法的全局搜索和局部開(kāi)發(fā)能力，增加了種群多樣性，有利于種群跳出局部最優(yōu)解，提高了算法的收斂精度。在種群初始化時(shí)引入混沌映射，使個(gè)體分布更加均勻，利于進(jìn)化過(guò)程的進(jìn)行，在計(jì)算代價(jià)增加不大的情況下，較大程度提升了算法全局優(yōu)化能力，仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)也表明IGWO算法的求解質(zhì)量更好。

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