［摘 要］ 抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科的特性之一，其貫穿數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程. 在日常教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際設(shè)計(jì)一些有價(jià)值的探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探尋知識(shí)的由來，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象過程、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 抽象過程；形成過程；抽象素養(yǎng)

眾所周知，數(shù)學(xué)知識(shí)是在生產(chǎn)、生活中抽象而來的，可以說沒有抽象就沒有數(shù)學(xué)研究對(duì)象. 抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科的顯著特征，其決定在數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力的培養(yǎng)，這是學(xué)生理解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)的關(guān)鍵. 不過，學(xué)生抽象思維能力的培養(yǎng)難以靠講授來實(shí)現(xiàn)，它需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中慢慢體驗(yàn)、慢慢感悟. 在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程，深入挖掘蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，以此鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力. 筆者教學(xué)“二項(xiàng)式定理”時(shí)，從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的角度出發(fā)，精心設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，促使學(xué)生在探索中深刻理解知識(shí)的同時(shí)，掌握數(shù)學(xué)研究方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

教學(xué)片段

探索1 利用數(shù)學(xué)知識(shí)估算.

師：無論是在生活中，還是在學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些開方問題，那么你能用數(shù)學(xué)知識(shí)估算嗎？（學(xué)生積極思考、交流）

生1：可以先估算整數(shù)部分，因?yàn)?3=1，23=8，所以的整數(shù)部分為1. 對(duì)于小數(shù)部分該如何估算，我還沒有想好.

師：通過剛才的探索我們已經(jīng)知道的整數(shù)部分為1，不妨設(shè)=1+x，0<x<1，則2=（1+x）3=1+3x+3x2+x3≈1+3x，所以x≈，≈. （筆者呈現(xiàn)分析過程）

師：仿照上述過程，估算和（n≥2，n∈N*）.

生2：的整數(shù)部分為1，設(shè)=1+y，0<y<1，則2=（1+y）2020，不過（1+y）2020的展開式是什么呢？如果知道它的展開式，那么就能估算了.

生3：對(duì)！我估算時(shí)也遇到了同樣的問題. 設(shè)=a+b，則2=（a+b）n. 如果知道（a+b）n的展開式，那么問題就能獲解了.

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生熟悉的內(nèi)容出發(fā)，創(chuàng)設(shè)二項(xiàng)式展開問題引發(fā)認(rèn)知沖突，凸顯學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理的必要性，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，點(diǎn)燃學(xué)生的探究熱情.

探索2 求（a+b）（c+d）和（a+b）·（c+d）（e+f）的展開式.

筆者引導(dǎo)學(xué)生通過列表的形式來呈現(xiàn)展開式（如表1、表2所示）.

表1 （a+b）（c+d）的展開式

[第一個(gè)括號(hào) 第二個(gè)括號(hào) 項(xiàng) a c ac d ad b c bc d bd ]

設(shè)計(jì)意圖 在教學(xué)中，筆者從學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過舊知回顧為新知探索架設(shè)思維“階梯”，使深度學(xué)習(xí)自然而然地發(fā)生. 在解決問題時(shí)，筆者刻意引導(dǎo)學(xué)生用列表的方式呈現(xiàn)展開式，以此借助表格的直觀性使學(xué)生體會(huì)多項(xiàng)式乘法規(guī)律——二項(xiàng)式定理，體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象過程.

探索3 探究（a+b）3的展開式.

設(shè)計(jì)意圖 對(duì)于（a+b）3的展開式學(xué)生并不陌生，學(xué)生可以根據(jù)立方和公式直接給出答案. 不過這里所關(guān)注的不是結(jié)果，而是知識(shí)探索過程. 在教學(xué)中，筆者引導(dǎo)學(xué)生類比前面的探索結(jié)果和方法，根據(jù)計(jì)算結(jié)果總結(jié)展開式中的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)，以及項(xiàng)的特點(diǎn)，由此為二項(xiàng)定理的抽象做鋪墊.

探索4 探究（a+b）6的展開式.

在解決該問題時(shí)，筆者啟發(fā)學(xué)生根據(jù)探索3的經(jīng)驗(yàn)猜想結(jié)果. 從教學(xué)反饋來看，學(xué)生能夠根據(jù)經(jīng)驗(yàn)順利猜出展開式中的項(xiàng)數(shù)，以及項(xiàng)的特點(diǎn)，不過學(xué)生在猜想每一項(xiàng)前面的系數(shù)時(shí)犯難了. 筆者及時(shí)給予啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生從計(jì)算原理的角度對(duì)展開過程進(jìn)行分析，用組合數(shù)表示展開式中的各項(xiàng)系數(shù).

設(shè)計(jì)意圖 隨著冪的次數(shù)逐漸增加，讓學(xué)生意識(shí)到單純利用多項(xiàng)式乘法法則難以高效解決問題，由此增加學(xué)生探索定理的迫切感. 在此過程中，筆者根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在由淺入深的逐層探究中發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的規(guī)律，培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

探索5 探究（a+b）n的展開式.

該探究是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)，不過有了前面的鋪墊，學(xué)生在知識(shí)上、方法上、心理上已經(jīng)做好了充分的準(zhǔn)備. 在該探索中，學(xué)生仿照（a+b）6的展開式的探究方法，得到（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-rbr+…+Cbn（n∈N*）.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷發(fā)展、不斷抽象、不斷完善的過程，較低層次的抽象是高層次抽象的基礎(chǔ). 因此，在探究（a+b）n的展開式時(shí)，促使學(xué)生以已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，仿照（a+b）6的展開式的探究方法自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律并總結(jié)結(jié)果，從而培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng).

探究6 結(jié)合二項(xiàng)式定理（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*），回答以下問題.

（1）二項(xiàng)展開式一共有多少項(xiàng)？（n+1項(xiàng)）

（2）二項(xiàng)展開式的次數(shù)有何特點(diǎn)？（每一項(xiàng)的次數(shù)都是n；a按降次數(shù)排列，次數(shù)由n降到0；b按升次數(shù)排列，次數(shù)由0升到n.）

（3）二項(xiàng)式系數(shù)是什么？（C，k=0，1，…n）

（4）二次展開式的通項(xiàng)是什么？（T=Can-kbk，0≤k≤n，k∈N*，這是展開式的第k+1項(xiàng).）

設(shè)計(jì)意圖 筆者引導(dǎo)學(xué)生解決問題，歸納總結(jié)二項(xiàng)展開式的特征，提高學(xué)生數(shù)學(xué)歸納、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)抽象的能力. 通過對(duì)二項(xiàng)展開式的深度探究，為后續(xù)應(yīng)用做好了充足準(zhǔn)備.

探究7 如何靈活利用二項(xiàng)式定理解決問題？

此環(huán)節(jié)，筆者從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，結(jié)合教學(xué)實(shí)際設(shè)計(jì)例題，讓學(xué)生的解題能力和思維能力在由淺入深、由簡(jiǎn)入繁的探究中逐步提升.

例1 求（b+a）n的展開式.

變式題：求（x-1）4的展開式.

例2 求（2x+1）5的展開式的第4項(xiàng)系數(shù).

變式題：求（2x+1）5的展開式中x3的系數(shù).

例3 求

1+x+

的展開式中x2的系數(shù).

問題給出后，筆者先讓學(xué)生獨(dú)自求解例1、例2及兩道變式題，然后讓學(xué)生通過互評(píng)完善解答過程. 對(duì)于例3，部分學(xué)生因式子煩瑣而出現(xiàn)了畏難情緒. 為了幫助學(xué)生克服畏難情緒，筆者鼓勵(lì)學(xué)生以小組合作的方式探索例3. 在學(xué)生互動(dòng)交流的過程中，筆者給予引導(dǎo)和點(diǎn)撥，學(xué)生通過相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充，給出了三種解法：

解法1 因?yàn)?/p>

1+x+

=

1+x+

1+x+

…

1+x+

，共10個(gè)因式相乘，含x2的項(xiàng)是從2個(gè)括號(hào)中取x，從8個(gè)括號(hào)中取1得到的，所以含x2的項(xiàng)為C·x2=45x2，故x2的系數(shù)為45.

解法2 因?yàn)?/p>

1+x+

=

（1+x）+

，所以其展開式的通項(xiàng)為T=C（1+x）10-k

=C（1+x）10-kx（0≤k≤10，k∈N）. 因?yàn)?≤k≤10，k∈N，當(dāng)k=0時(shí)，則含x2的項(xiàng)為（1+x）10中含x2的項(xiàng)，即Cx2=45x2，故x2的系數(shù)為45.

解法3 設(shè)從10個(gè)括號(hào)中取a個(gè)1，b個(gè)x，c個(gè)，于是有1axb

=xb-2015c. 令a+b+c=10，

b-2015c=2，其中a，b，c∈N，解得a=8，

b=2，

c=0.所以含x2的項(xiàng)為Cx2=45x2. 故x2的系數(shù)為45.

設(shè)計(jì)意圖 提供例題是鞏固知識(shí)、強(qiáng)化技能的必經(jīng)之路，也是發(fā)散數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)能力的重要手段. 因此，在課堂教學(xué)中，筆者利用好例題，充分發(fā)揮其積極作用，促使學(xué)生在例題探索中深刻理解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí). 在例3的探索過程中，學(xué)生給出了多種解題思路，體現(xiàn)不同層次的學(xué)生對(duì)二項(xiàng)式定理的理解程度. 教學(xué)中通過集中展示、對(duì)比分析，幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的落實(shí).

教學(xué)思考

數(shù)學(xué)抽象是重要的數(shù)學(xué)思想方法. 數(shù)學(xué)抽象一般有三個(gè)階段：第一階段為簡(jiǎn)約階段，即通過化繁為簡(jiǎn)、化特殊為一般的轉(zhuǎn)化，把握事物的本質(zhì)屬性；第二階段為符號(hào)階段，即去掉具體內(nèi)容，利用概念、符號(hào)、圖形、關(guān)系等將事物的本質(zhì)屬性用簡(jiǎn)約化的語言表達(dá)出來；第三階段為普適階段，即通過探索、推理、驗(yàn)證等過程建立數(shù)學(xué)模型，并利用數(shù)學(xué)模型解決相關(guān)問題. 可見，數(shù)學(xué)抽象形成于數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用的過程中. 因此，教師要精心設(shè)計(jì)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去探索、去提煉，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng).

數(shù)學(xué)概念具有高度抽象性，它是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的好素材. 在概念教學(xué)中，教師不要急于將概念呈現(xiàn)給學(xué)生，而應(yīng)創(chuàng)設(shè)有效情境引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷概念抽象的過程，以此培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng). 例如，在本節(jié)課教學(xué)中，筆者通過環(huán)環(huán)相扣的問題，引導(dǎo)學(xué)生在逐層探索中認(rèn)識(shí)二項(xiàng)式定理，教會(huì)學(xué)生抽象方式，提高學(xué)生的自主探究能力.

總之，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)時(shí)，切勿急于求成，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)、發(fā)展和應(yīng)用的過程，理解問題的抽象方式，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).