［摘 要］ 文章以“祖暅原理及其應(yīng)用”的教學(xué)為例，分別從“問題導(dǎo)入，揭露主題”與“實驗探究，深入理解”兩個環(huán)節(jié)具體闡述數(shù)學(xué)教學(xué)如何用問題驅(qū)動學(xué)生探究，以實驗啟發(fā)學(xué)生思維，并通過適當(dāng)?shù)狞c撥幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法.

［關(guān)鍵詞］ 問題；實驗；數(shù)學(xué)思想方法本文認(rèn)為，以“問題驅(qū)動探究，實驗啟發(fā)思維”的方式實施教學(xué)，不僅能激活學(xué)生的探索欲，還能讓學(xué)生親歷知識的“再創(chuàng)造”過程，主動提煉數(shù)學(xué)思想方法，形成可持續(xù)發(fā)展的能力.

教學(xué)簡錄

1. 問題導(dǎo)入，揭露主題

（1）提出問題

師：如圖1所示，半徑均為a的兩個圓柱的軸垂直相交（正交），其公共部分是一個怎樣的幾何體？

排除正方體、圓柱、球體后，在學(xué)生一籌莫展時，教師揭露：這是我們之前沒有接觸過的幾何體——數(shù)學(xué)家劉徽所研究的“牟合方蓋”. 然后要求學(xué)生回顧之前探尋簡單幾何體體積公式的方法，嘗試將這些方法遷移到“牟合方蓋”體積的探索中來.

（2）介紹祖暅原理

板書教學(xué)主題：祖暅原理及其應(yīng)用.

借助信息技術(shù)播放數(shù)學(xué)家祖暅的相關(guān)事跡，著重強(qiáng)調(diào)祖暅原理的提出比國外早一千多年，以激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，同時強(qiáng)調(diào)祖暅和祖沖之的關(guān)系（祖暅?zhǔn)亲鏇_之之子），激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時拓寬學(xué)生的視野，起到滲透數(shù)學(xué)文化的作用.

設(shè)計意圖 兩個相同圓柱正交公共部分幾何體的形狀問題成功引發(fā)了學(xué)生認(rèn)知沖突，這是驅(qū)動學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)動機(jī)的催化劑，為揭露教學(xué)主題奠定了基礎(chǔ). 祖暅?zhǔn)妨系牟シ?，一方面激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷，使學(xué)生帶著良好的情感深入學(xué)習(xí).

2. 實驗探究，深入理解

（1）初識原理

與學(xué)生一起回顧導(dǎo)學(xué)案中提到的“冪勢既同，則積不容異”這句話，分別探索“冪、勢、積”的實際含義. 冪為面積，勢為高，積就是體積，意思是“兩個高與底面積均相等的幾何體的體積相等”.

師：有不同意見嗎？

生1：這么解釋不對，兩個底面積與高相等的圓柱與圓錐的體積顯然是不等的.

學(xué)生用反例提出明確的反對意見，并思考：究竟在什么條件下，可得兩個幾何體的體積相等的結(jié)論呢？基于圓柱與圓錐的啟發(fā)，有學(xué)生提出：“兩個等底等高的幾何體，在等高處的截面積恒相等，則它們的體積相等.”教師肯定學(xué)生的說法，并帶領(lǐng)學(xué)生探索這個結(jié)論（祖暅原理）.

（2）探究原理

師：現(xiàn)在請大家借助身邊的事物來舉例說明祖暅原理.

生2：如圖2所示，將兩摞數(shù)量、大小完全一樣的書本疊放在一起，形成直棱柱與斜棱柱兩個幾何體，這是兩個等底等高的幾何體，且等高處的橫截面也是一樣的（因為本子大小一樣），結(jié)合祖暅原理可確定這兩個幾何體的體積相等.

師：如果將這兩摞書本重新疊放，形成高度一樣，但形狀不同的任意兩個柱體，此時兩個柱體的體積依然一樣嗎？理由是什么？

生3：根據(jù)祖暅原理，疊放形成的兩個幾何體在等高的基礎(chǔ)上，被平行于底面的平面截取而來的截面積都是相等的，那么它們的體積必然也是相等的.

師：若將“高相等”這個條件轉(zhuǎn)化為“兩個幾何體夾在兩個平行的平面間”，此時所形成的兩個柱體的體積依然相等嗎？

答案是肯定的. 教師趁機(jī)提出：祖暅原理又被稱為等積原理，也就是夾在兩個平行的平面間的兩個幾何體，被平行于兩個平面的平面截取而來的截面積恒相等，就可以確定這兩個幾何體的體積相等.

設(shè)計意圖 書本是學(xué)生唾手可得的物品，以此作為課堂教學(xué)探究的資源不僅方便，還接地氣，便于學(xué)生操作與理解. 通過不同擺放方法的探索，學(xué)生不僅深刻理解了祖暅原理，還體會了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

為了進(jìn)一步深化學(xué)生的認(rèn)識，教師取出三摞完全一樣的書本，將兩摞擺放在一起形成一個幾何體，第三摞單獨擺放成一個幾何體，形成兩個高相等、形狀不規(guī)則、底面積不相等的幾何體進(jìn)行比較. 要求學(xué)生思考：平行于這兩個幾何體底面的平面截取而來的截面積一樣嗎？

生4：不一樣，第一個幾何體（由兩摞書本擺放的幾何體）的截面積是第二個幾何體（由一摞書本單獨擺放的幾何體）的2倍.

師：由此能獲得怎樣的體積關(guān)系？

生5：第一個幾何體的體積是第二個幾何體的2倍.

由此獲得結(jié)論：夾在兩個平行的平面間的兩個幾何體，被平行于兩個平面的平面截取而來的截面積之比恒為t，就可認(rèn)為這兩個幾何體的體積之比是t.

設(shè)計意圖 拓展祖暅原理，引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗數(shù)學(xué)類比推理思想，這是提升學(xué)生學(xué)力的重要過程.

（3）實際應(yīng)用

師：看來大家已經(jīng)深入了解了祖暅原理，現(xiàn)在咱們就一起來嘗試應(yīng)用它解決實際問題. 在這之前，我們用祖暅原理來推導(dǎo)柱體的體積公式，如圖3所示，與長方體等底等高的柱體的體積公式是什么呢？

學(xué)生一致認(rèn)為“柱體體積=底面積×高”，教師板書“V=Sh”. 這是將未知幾何體轉(zhuǎn)化成學(xué)生熟悉的幾何體后求體積的過程，即“化未知為已知”的過程，屬于數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 在此基礎(chǔ)上，教師帶領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用祖暅原理來推導(dǎo)椎體的體積公式，要求學(xué)生解決以下問題.

問題1 如圖4所示，此為底面積與高均相等的兩個椎體，它們的體積是否相等呢？理由是什么？

生6：這兩個椎體的高是一樣的，而且它們被平行于底面的平面截取而來的截面積相等，由此可確定這是兩個體積一樣的椎體.

問題2 如圖5所示，分析椎體的體積與它等底等高的柱體的體積之比. （要求小組合作交流）

學(xué)生通過合作學(xué)習(xí)，并借助自制道具分析問題：將三棱柱拆分成3個體積相等的棱錐，確定三棱柱體積是三棱錐的3倍，推導(dǎo)出公式V=V=Sh.

教師充分肯定學(xué)生的探究能力與結(jié)論，并評釋“等體積轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想方法，強(qiáng)化學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識. 同時，要求學(xué)生結(jié)合上述探索方法，課后自主探尋球體體積公式.

設(shè)計意圖 這是深化學(xué)生對祖暅原理理解與應(yīng)用的過程，促使學(xué)生體會化空間為平面的思想，感知“等體積轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想. 對轉(zhuǎn)化思想的滲透與應(yīng)用，為發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識奠定了基礎(chǔ).

（4）實驗操作

師：如圖6所示，這是兩根水管正交交接與機(jī)械零件加工過程，從中都能發(fā)現(xiàn)“牟合方蓋”，下面我們用祖暅原理來探尋“牟合方蓋”的體積公式.

設(shè)計意圖 以生活實際中的“牟合方蓋”來激發(fā)學(xué)生的探索欲，讓學(xué)生體驗本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容與生活之間的聯(lián)系，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識.

師：接下來請同學(xué)們以小組合作的方式用花泥切出“牟合方蓋”，研究它究竟是個什么樣的幾何體.

學(xué)生自主實驗，教師加強(qiáng)巡視、適當(dāng)指導(dǎo). 當(dāng)學(xué)生切出“牟合方蓋”后，教師要求學(xué)生到講臺上進(jìn)行展示匯報. 學(xué)生展示匯報的“牟合方蓋”是接近于球體的幾何體，顯然無法直接求出它的體積. 為此，教師要求學(xué)生觀察“牟合方蓋”模型，思考以下幾個問題.

問題3 能否找到我們熟悉的簡單幾何體，使“牟合方蓋”滿足下列條件：①等高，被平行的平面所截的截面積恒等；②等高，被平行的平面所截的截面積之比恒等？

學(xué)生經(jīng)思考與交流，認(rèn)為截面積相等的幾何體找不到，但與球的截面積之比可能是相等的.

問題4 倘若截取“牟合方蓋”的圓柱半徑是a，想使得“牟合方蓋”和球等高，則球的半徑選擇多少最恰當(dāng)？

學(xué)生猜想：球的半徑為a. 為了驗證猜想，教師利用3D動畫，結(jié)合模型自制實驗引導(dǎo)學(xué)生觀察與分析，確定該猜想是正確的.

設(shè)計意圖 教育信息化是時代發(fā)展的需要，它能將抽象的知識直觀地演示出來，這對培養(yǎng)空間感知能力，建立空間觀有重要價值與意義.

問題5 “牟合方蓋”與球體被平行的平面所截的截面分別是什么圖形？

毫無異議，球體的截面是圓，但“牟合方蓋”不同位置的截面各不一樣. 經(jīng)合作探究，學(xué)生一致認(rèn)為“研究水平截面”更合適. 如圖7所示，教師在學(xué)生交流討論的基礎(chǔ)上播放微視頻，讓問題可視化.

通過師生共同實驗與探究，最終獲得球體與“牟合方蓋”的截面面積之間的關(guān)系為：===. 結(jié)合祖暅原理，得兩個立體圖形的體積之比為=，因此V=V=a3.

通過球體體積的轉(zhuǎn)化，獲得了“牟合方蓋”的體積，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想. 整個過程遵循實驗探究的一般流程，即實驗—觀察—猜想—驗證—總結(jié).

3. 歸納總結(jié)，鞏固提升

（略）

教學(xué)思考

1. 問題驅(qū)動探究

問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂. 本節(jié)課安排在學(xué)生剛接觸立體幾何之后，此時學(xué)生的空間想象能力還不夠豐富，想要讓學(xué)生掌握抽象的祖暅原理，就需要借助問題來驅(qū)動學(xué)生的探究意識，讓學(xué)生帶著明確的方向去探索.

課堂伊始，教師以兩個圓柱正交的問題激發(fā)學(xué)生的探索欲，將學(xué)生的注意力成功集中在課堂活動中. 隨著祖暅原理背景的探索與其形成過程的展示，激發(fā)了學(xué)生的問題意識. 在問題的驅(qū)動下，學(xué)生通過獨立思考與合作交流，不僅掌握了本節(jié)課的教學(xué)重點，還突破了本節(jié)課的教學(xué)難點. 因此，問題驅(qū)動是增強(qiáng)學(xué)生空間想象能力，提升學(xué)生思維能力的原動力.

2. 實驗啟發(fā)思維

新課標(biāo)提出：數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生掌握結(jié)論，更重要的是要讓學(xué)生明確知識的形成與發(fā)展過程. 祖暅原理的應(yīng)用比較復(fù)雜，若教師單純地以“注入式”方式授課，則學(xué)生難以從根本上理解知識內(nèi)涵，到綜合應(yīng)用時難免漏洞百出.

“實驗操作”環(huán)節(jié)的設(shè)計，使學(xué)生通過自主操作，不僅獲得了球體與“牟合方蓋”之間的關(guān)系，還鍛煉并增強(qiáng)了操作能力與思維能力，積累了活動經(jīng)驗，為后續(xù)探索其他問題奠定了方法基礎(chǔ).

3. 點撥提煉思想

眾所周知，學(xué)生在課堂中所獲得的知識與技能會隨著時間的流逝而淡忘，但數(shù)學(xué)思想方法的形成卻能成為學(xué)生的“骨肉”，鐫刻在學(xué)生的大腦中，形成一種能力，應(yīng)用到生活的方方面面.

本節(jié)課的每一個環(huán)節(jié)，教師都關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的滲透，并在恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)進(jìn)行點撥，成為課堂的點睛之筆，如轉(zhuǎn)化思想、類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等在本節(jié)課都有所體現(xiàn)，這是促進(jìn)學(xué)生發(fā)展學(xué)習(xí)能力的根本，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的重要措施.

總之，基于“以生為本”教學(xué)理念，借助問題驅(qū)動學(xué)生探究，用實驗啟發(fā)學(xué)生思維是發(fā)展學(xué)生空間想象能力的重要舉措. 教師在恰當(dāng)?shù)臅r機(jī)進(jìn)行點撥，幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法，不僅能提高教學(xué)成效，還能促使學(xué)生形成可持續(xù)發(fā)展的能力.