［摘 要］ 將信息技術(shù)合理應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域是時(shí)代發(fā)展的必然趨勢(shì)，它可滿(mǎn)足可視化教學(xué)的需求. 文章從GeoGebra軟件、可視化教學(xué)、GeoGebra與可視化三個(gè)核心主題的界定出發(fā)，探討GeoGebra軟件在可視化教學(xué)中的應(yīng)用需遵循信息組塊避免冗余效應(yīng)、多元聯(lián)系踐行深度學(xué)習(xí)、動(dòng)態(tài)探索激發(fā)高階思維三個(gè)原則，并從概念生成、命題發(fā)現(xiàn)、問(wèn)題解決三個(gè)方面具體談一談GeoGebra軟件在可視化教學(xué)中的實(shí)踐.

［關(guān)鍵詞］ GeoGebra軟件；可視化教學(xué)；實(shí)施原則

隨著信息技術(shù)在教育領(lǐng)域的普及，當(dāng)代數(shù)學(xué)教學(xué)模式與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式相比，發(fā)生了翻天覆地的改變，信息技術(shù)已廣泛應(yīng)用到課堂教學(xué)中. 在學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷較重的背景下，教師需綜合考慮教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)技術(shù)等因素，選擇行之有效的教學(xué)方式提升教學(xué)效率. GeoGebra軟件具有代數(shù)運(yùn)算、幾何作圖與數(shù)據(jù)處理等作用，為可視化數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了更多便利.

核心主題界定

1. GeoGebra軟件

GeoGebra是一個(gè)結(jié)合代數(shù)、幾何、微積分的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件. 教師可在該軟件上直接畫(huà)點(diǎn)、線(xiàn)段、直線(xiàn)、向量、曲線(xiàn)、多邊形或函數(shù)圖象等，也可通過(guò)輸入方程和點(diǎn)坐標(biāo)獲得相應(yīng)圖象. GeoGebra軟件界面有幾何窗口與代數(shù)窗口，兩者具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，如改變代數(shù)數(shù)據(jù)，幾何圖象隨之發(fā)生改變，反之亦然. 因此，這是一種具備同時(shí)處理幾何圖形與代數(shù)數(shù)據(jù)功能的軟件.

2. 可視化教學(xué)

1987年美國(guó)自然科學(xué)基金會(huì)提出“可視化（Visualization）”一詞，指借助一定的手段處理數(shù)據(jù)，使之形成可視化的圖形或圖象展示出來(lái). 可視化教學(xué)是指教師借助信息技術(shù)手段，如GeoGebra或幾何畫(huà)板等軟件的演示功能，將學(xué)生難以理解的知識(shí)轉(zhuǎn)化成具體的圖形或動(dòng)畫(huà)，使學(xué)生能更好地接受抽象的知識(shí). 這種教學(xué)手段省略了很多煩瑣冗長(zhǎng)的教學(xué)過(guò)程，有效提高了課堂教學(xué)效率.

3. GeoGebra與可視化

俗話(huà)說(shuō)“一圖勝千文”. 數(shù)學(xué)可視化教學(xué)可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀(guān)地展示在學(xué)生面前，幫助學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)、理解與建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí). GeoGebra軟件的介入，使代數(shù)方程或坐標(biāo)與圖形同步變化，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解更加直觀(guān)，從真正意義上實(shí)現(xiàn)了“數(shù)與形”的有機(jī)結(jié)合. 同時(shí)，在GeoGebra軟件中輸入代數(shù)指令可為學(xué)生呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)的圖形演示過(guò)程，讓學(xué)生能更好地洞察數(shù)學(xué)世界，感知數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力.

例如，對(duì)于式子++…++=1-的證明，從代數(shù)的角度應(yīng)用等比數(shù)列求和法或錯(cuò)位相減法固然可以求證，但若借助GeoGebra軟件，通過(guò)圖形展示（見(jiàn)圖1）進(jìn)行“無(wú)字證明”，可讓學(xué)生從可視化的圖形中對(duì)該式一目了然，帶給學(xué)生耳目一新之感.

由此可見(jiàn)，GeoGebra軟件是實(shí)現(xiàn)可視化教學(xué)的重要工具之一，而可視化又是展示GeoGebra軟件優(yōu)勢(shì)的重要方式，將兩者有機(jī)地融合在一起對(duì)提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率具有重要意義.

實(shí)施原則

1. 信息組塊避免冗余效應(yīng)

視覺(jué)表征以可視化為載體，課堂借助動(dòng)畫(huà)影像、圖象等直觀(guān)形式，向?qū)W生展示抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生感知教學(xué)內(nèi)容的豐富和直觀(guān)，使學(xué)生更容易在內(nèi)心建構(gòu)形象化的數(shù)學(xué)信息，為實(shí)際應(yīng)用奠定基礎(chǔ). 因此，視覺(jué)表征屬于一種富有表現(xiàn)力的展示形式，學(xué)生從中能接收到豐富的信息. 值得注意的是，“讀圖”雖能有效提高學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解程度，但過(guò)于復(fù)雜的圖象會(huì)帶來(lái)負(fù)面效應(yīng)，讓學(xué)生感到視覺(jué)疲勞.

究竟該如何降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，借助GeoGebra軟件提高課堂可視化的教學(xué)成效呢？一方面需要關(guān)注可視化的效果，如利用曲線(xiàn)的動(dòng)靜結(jié)合、構(gòu)圖元素的疏密錯(cuò)落、豐富的色彩等提升學(xué)生的視覺(jué)感受；另一方面借助GeoGebra軟件對(duì)可視化內(nèi)容進(jìn)行信息組塊，借助多元方式調(diào)配組合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，提高學(xué)生的理解能力.

2. 多元聯(lián)系踐行深度學(xué)習(xí)

基于數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)看，學(xué)生在課堂中所接觸到的新知相對(duì)而言都比較抽象，執(zhí)意用一種方法描述新知，不同認(rèn)知水平的學(xué)生接受時(shí)難免出現(xiàn)偏差，而且單一的描述形式也不能揭露知識(shí)本質(zhì). 事實(shí)上，課堂上單一或不恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)方式也是導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)思維卡殼的關(guān)鍵因素. 為了突破這一障礙，最好的辦法就是在課堂上應(yīng)用豐富的圖文等多種形式表達(dá)知識(shí)內(nèi)涵，如此不僅能深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，還能幫助學(xué)生構(gòu)建完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，不斷優(yōu)化學(xué)生的解題策略. 然而，表征系統(tǒng)間的轉(zhuǎn)譯并非一件容易的事情，若想充分發(fā)揮好多元表征在教學(xué)中的優(yōu)勢(shì)，可利用各種表征間有意義的聯(lián)系進(jìn)行，以便系統(tǒng)內(nèi)化外在的數(shù)學(xué)符號(hào).

如圖2所示，此為祖暅原理的可視化呈現(xiàn)，即用3D繪圖區(qū)的立體圖形展示祖暅原理，讓學(xué)生從平面的視圖中感知數(shù)值情況，體會(huì)兩者間的聯(lián)系，從真正意義上理解“冪勢(shì)既同，則積不容異”的內(nèi)涵，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

3. 動(dòng)態(tài)探索激發(fā)高階思維

多變的幾何位置關(guān)系，以及代數(shù)內(nèi)容的豐富性導(dǎo)致數(shù)形關(guān)系復(fù)雜化，構(gòu)建動(dòng)態(tài)聯(lián)系的視覺(jué)化情境，不僅能讓學(xué)生在知識(shí)的動(dòng)態(tài)變化中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，還能感知知識(shí)的內(nèi)涵與外延，為靈活應(yīng)用做鋪墊. 事實(shí)上，數(shù)學(xué)表征的動(dòng)態(tài)聯(lián)系，可將表征信息元素與整體關(guān)系精細(xì)地展示出來(lái)，還能將信息元素的結(jié)構(gòu)關(guān)系與交互性暴露出來(lái)，促使學(xué)生對(duì)此產(chǎn)生關(guān)注，實(shí)現(xiàn)表征系統(tǒng)的互相轉(zhuǎn)譯，發(fā)展思維的縝密性與跳躍性，這也是高階思維的形成基礎(chǔ)［1］.

研究發(fā)現(xiàn)，動(dòng)態(tài)探索需建立在數(shù)形結(jié)合上，學(xué)生通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的探索與構(gòu)建，自主發(fā)現(xiàn)解題思路與策略，從圖形與數(shù)量之間的關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)的一般結(jié)構(gòu)與規(guī)律，從而在問(wèn)題解決過(guò)程中有效提升數(shù)學(xué)高階思維與核心素養(yǎng).

實(shí)施途徑

1. 應(yīng)用在概念生成過(guò)程中

概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維構(gòu)成的基石，關(guān)注核心概念的教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑. 每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的表達(dá)可以有多重方式，各種表征方式可促使學(xué)生產(chǎn)生不一樣的數(shù)學(xué)思維. 實(shí)踐證明，多元表征數(shù)學(xué)概念有助于學(xué)生多角度理解，深化掌握. 將GeoGebra平臺(tái)靈活應(yīng)用在概念生成的過(guò)程中，不僅與新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“關(guān)注過(guò)程性教學(xué)”理念相契合，還讓學(xué)生能明確認(rèn)知概念的形成與發(fā)展. 多角度表征概念，能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念聯(lián)系性的理解，在無(wú)形中助力學(xué)生靈活應(yīng)用概念來(lái)分析與解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

案例1 “任意角的三角函數(shù)”的教學(xué).

學(xué)生在探索任意角的三角函數(shù)之前就已經(jīng)有了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，新知的建構(gòu)需基于原有認(rèn)知體系進(jìn)行. 因此，在課堂的導(dǎo)入階段可帶領(lǐng)學(xué)生回顧舊知，為建構(gòu)新概念做鋪墊. 新舊知識(shí)銜接的過(guò)程就是在知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)處引導(dǎo)學(xué)生思考的過(guò)程. 值得注意的是，新知的建構(gòu)需突破原有認(rèn)知體系引發(fā)的思維定式，同時(shí)對(duì)角的終邊上的任意點(diǎn)的聯(lián)系產(chǎn)生明確認(rèn)識(shí).

如圖3所示，借助GeoGebra軟件引導(dǎo)學(xué)生基于可視化情境，對(duì)銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的特征產(chǎn)生清晰認(rèn)識(shí)，并從角的動(dòng)態(tài)變化中幫助學(xué)生理清如何應(yīng)用點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)定義三角函數(shù)，讓學(xué)生在坐標(biāo)度量的結(jié)論下認(rèn)同“用點(diǎn)定義卻與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)”的觀(guān)念，令表征三角函數(shù)線(xiàn)的刻畫(huà)變得更加合乎情理.

本例提示數(shù)學(xué)概念的形成與建構(gòu)，學(xué)生的思維需要經(jīng)歷“由直觀(guān)到抽象、由抽象到應(yīng)用”的變化過(guò)程，有時(shí)還需要經(jīng)過(guò)循環(huán)反復(fù)才能實(shí)現(xiàn). 借助GeoGebra軟件對(duì)概念進(jìn)行可視化演示，可讓概念獲得“原型”支持.

2. 應(yīng)用在命題發(fā)現(xiàn)過(guò)程中

數(shù)學(xué)命題是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象關(guān)系或性質(zhì)關(guān)系的判斷句，其語(yǔ)言結(jié)構(gòu)為“條件—結(jié)論”，屬于一種以邏輯形式刻畫(huà)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本方法. 若將數(shù)學(xué)命題安排在其發(fā)生與發(fā)展的大背景下，不僅可以幫助學(xué)生理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，還能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想變遷的原委產(chǎn)生深刻理解，從真正意義上實(shí)現(xiàn)“知其然且知其所以然”.

數(shù)學(xué)命題的教學(xué)就是將命題的邏輯意義轉(zhuǎn)化成個(gè)體心理意義，概念學(xué)習(xí)與符號(hào)表征是數(shù)學(xué)命題的前提. “析理以辭，解體用圖”均需意象與語(yǔ)言的雙重編碼來(lái)編制網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)成結(jié)構(gòu)圖式，學(xué)生從整體的角度有序檢索信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)命題理解的融會(huì)貫通，此為命題關(guān)聯(lián)性特征的基本體現(xiàn).

案例2 解題認(rèn)知圖式的構(gòu)建.

問(wèn)題：已知橢圓C：+=1（a>b>0）的焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)恰巧構(gòu)成一個(gè)直角三角形，橢圓C與直線(xiàn)l：y=-x+3有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)T.

（1）求橢圓C的方程，并寫(xiě)出點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（2）若坐標(biāo)原點(diǎn)為點(diǎn)O，直線(xiàn)l′與OT平行，并與橢圓C分別相交于點(diǎn)A，B，與直線(xiàn)l相交于點(diǎn)P，證明存在常數(shù)λ可讓AP2=λAP·BP，并求λ的值.

本題為一道綜合題，學(xué)生初次接觸難以入手. 教師借助GeoGebra軟件將問(wèn)題中的動(dòng)態(tài)變化直觀(guān)地暴露在學(xué)生面前，用仿射變換揭露圓的幾何性質(zhì)在圓錐曲線(xiàn)中的推廣，通過(guò)問(wèn)題源與流的探索，構(gòu)建新的命題網(wǎng)（見(jiàn)圖4）：①橫向的類(lèi)比推理與縱向的歸納思考，其中類(lèi)比推理主要是從圓的切割線(xiàn)定理出發(fā)，分析圓錐曲線(xiàn)中的定制規(guī)律；歸納思考則從橢圓切割線(xiàn)定理和相交弦定理發(fā)現(xiàn)定值背后的冪定理，經(jīng)過(guò)整合，歸納出圓錐曲線(xiàn)冪定理；②強(qiáng)、弱抽象，強(qiáng)抽象是指從冪定理到切割線(xiàn)定理的探索，弱抽象是將拋物線(xiàn)冪與橢圓冪中的定向參照弱化為圓錐曲線(xiàn)冪.

此類(lèi)應(yīng)用屬于難度系數(shù)較高的數(shù)學(xué)探索，如果離開(kāi)信息技術(shù)的輔助，學(xué)生很難通過(guò)獨(dú)立思考揭露解題核心，而有圖有真相的技術(shù)參與，則顯著弱化了問(wèn)題難度，將問(wèn)題發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程完全暴露出來(lái)，促使學(xué)生自主構(gòu)建完整的認(rèn)知圖式.

3. 應(yīng)用在問(wèn)題解決過(guò)程中

學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度或?qū)W習(xí)能力的高低均體現(xiàn)在解題過(guò)程中，解題還能錘煉學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的綜合素養(yǎng). 想要幫助學(xué)生更好地掌握問(wèn)題的數(shù)形結(jié)構(gòu)，借助GeoGebra軟件研究問(wèn)題的已知條件與結(jié)論之間的因果邏輯關(guān)系，探尋層次分明、邏輯清晰、規(guī)范表達(dá)的支持策略尤為重要.

案例3 問(wèn)題情境圖的構(gòu)建.

問(wèn)題：已知△ABC中的AB=6，AC=8，若△ABC的外心為O，則·的值是多少？

如圖5所示，借助GeoGebra軟件拖動(dòng)點(diǎn)B，以改變?nèi)切蔚男螤睿瑥臄?shù)值表征中發(fā)現(xiàn)數(shù)量積的不變性特點(diǎn)，因而從一般退化至特殊，即為直角三角形時(shí)，點(diǎn)O位于BC上，獲得結(jié)論；若從特殊到一般進(jìn)行逆向分析，可通過(guò)向量分解（=+），實(shí)現(xiàn)解題.

該過(guò)程在可視性支架的輔助下，實(shí)現(xiàn)了“特殊與一般”的雙向轉(zhuǎn)化，隨著實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的輸入，學(xué)生的思維也豁然開(kāi)朗. 因此，將GeoGebra軟件應(yīng)用在問(wèn)題解決過(guò)程中，可進(jìn)一步優(yōu)化解題思路，發(fā)展學(xué)生的高階思維.

總之，可視化教學(xué)的開(kāi)展，使得學(xué)生有更多機(jī)會(huì)經(jīng)歷從具體到抽象的數(shù)學(xué)演變過(guò)程，尤其是GeoGebra軟件的應(yīng)用，既能讓學(xué)生看見(jiàn)問(wèn)題背后的數(shù)據(jù)，又能讓學(xué)生看透問(wèn)題所蘊(yùn)含的內(nèi)容，這是發(fā)展學(xué)生“三會(huì)”能力的基礎(chǔ)，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑.

參考文獻(xiàn)：

張志勇. 高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué)：原則、途徑與策略——基于GeoGebra平臺(tái)［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（07）.