力與曲線運動的考點主要有平拋運動的規(guī)律應(yīng)用、圓周運動的規(guī)律應(yīng)用、萬有引力定律在天體運動中的應(yīng)用等．與此相關(guān)的高考試題著重考查學(xué)生的知識遷移能力和方法綜合應(yīng)用能力，注重將曲線運動知識與實際情境相結(jié)合，特別關(guān)注我國在航空航天以及空間技術(shù)領(lǐng)域所取得的成就．本文來討論力與曲線運動中同學(xué)們經(jīng)常產(chǎn)生疑問的幾點內(nèi)容．

１ 有阻力作用的拋體運動

拋體運動指物體只受到重力，忽略空氣阻力情況下的運動．同學(xué)們對拋體運動的規(guī)律和利用對稱思想解決該類問題都非常熟悉了．當(dāng)實際問題不能忽略阻力時，如何根據(jù)物體的受力情況，分析其運動情況或能量變化呢？

例１ 如圖１所示，是用頻閃相機拍攝的投籃機器人在某次測試中投出的籃球在空中的運動軌跡圖．已知頻閃相機的頻率不變，假設(shè)籃球在空中所受空氣阻力始終與速度方向相反，并且大小不變，忽略籃球的轉(zhuǎn)動效果，則籃球在空中運動時（ ）．

A．加速度不斷減小

B．在最高點時的速度最小

C．運動軌跡關(guān)于最高點左右對稱

D．圖中任意兩相鄰位置間的機械能變化量大小相等

解析

由于存在阻力，籃球運動不再對稱，最高點的速度還最小嗎？ 本題選項B是易錯點．如圖２所示，上升階段，重力與阻力互成銳角，下落階段，互成鈍角，夾角始終逐漸增大，由于阻力大小不變，所以合力逐漸減小，故加速度逐漸減小，選項A正確．曲線運動中，當(dāng)速度與合力成直角時，速度最小．在最高點A 時，雖然籃球所受重力與速度垂直，但合力與速度不垂直，故選項B錯誤．那么，速度最小時大致在哪個位置呢？ 可能是圖２中的B 點．

【提煉】１）求解動力學(xué)問題，首先要分析清楚物體的受力情況，之后進一步分析物體的運動情況;２）曲線運動中，當(dāng)合力與速度垂直時，速度取極值．

拓展１ 北京２０２２年冬奧會極大推動了全國范圍內(nèi)的冰雪運動設(shè)施建設(shè)．如圖３所示為一個開闊、平坦的傾斜雪坡，一個小孩靠推一棵樹獲得大小為v０ 的水平初速度，雪坡的傾角為α，與小孩間的動摩擦因數(shù)為μ，不計空氣阻力，不考慮摩擦力隨速度大小的變化．雪坡足夠大，經(jīng)過足夠長的時間，關(guān)于小孩運動的說法，正確的是（ ）．

A．可能一直做曲線運動

B．可能做勻加速直線運動，與初速度的夾角小于９０°

C．若做勻速運動，則可判斷μ＞tanα

D．若沒有停下，則最終速度的方向一定與初速度方向垂直

解析

此題看上去是個斜面上的運動問題，實質(zhì)是有阻力作用的拋體運動問題．初速度方向水平向右，等效重力加速度為gsinα，方向沿斜面向下，且始終受到與運動方向相反的大小不變的摩擦力．本題分析難點是選項B和D．

設(shè)A 、B 為其運動軌跡上的兩點，受力如圖４所示．摩擦力與速度方向相反，且始終存在水平方向的分量，故水平方向速度不斷減小直至為零，最終小孩速度的方向一定沿斜面向下，若此時摩擦力沿斜面方向的分力小于mgsinα，則小孩做勻加速直線運動，速度方向沿斜面向下，與初速度方向垂直，故選項B錯誤，選項D正確．

小結(jié) 解答本題的基礎(chǔ)還是受力分析．抓住摩擦力與速度方向相反的特點，結(jié)合mgsinα 的方向，在兩個方向上分別討論，問題即可迎刃而解．

拓展２ 物體A 以速度v０ 做平拋運動，落地時水平方向的位移和豎直方向的位移均為L，圖５Ｇ甲中的虛線是A 做平拋運動的軌跡．圖５Ｇ乙中的曲線是一光滑軌道，軌道形狀與圖５Ｇ甲中的虛線相同，讓物體B 從軌道頂端無初速度下滑，B 下滑過程中沒有脫離軌道，物體A 、B 都可以看作質(zhì)點，質(zhì)量均為m ，重力加速度為g，則下列說法正確的是（ ）．

A．A 、B 兩物體落地時的速度方向不同

B．A 、B 兩物體落地時的速度大小相等

C．物體B 落地時水平方向的速度大小為根號下２gL／５

D．物體B 落地時重力的瞬時功率為mg根號下 ２gL

解析

本題的易錯點是選項B和D，難點是選項C．對于物體B，實則也是有阻力的拋體運動，其除了受到重力作用外，還始終受到與速度垂直的支持力．由于物體B 初速度為零，根據(jù)動能定理可得落地時速度大小為vB ＝根號下２gL ．

如圖６所示，對A ，由平拋運動的知識可得水平方向L ＝v０t，豎直方向L＝vy ＋０／２ ·t，可得vy ＝２v０，故A 落地時的速度大小vA ＝ 根號下v２０＋v２y＝根號下５v０．設(shè)A 落地時速度方向與水平方向夾角為θ，則cosθ＝v０／vA ＝ 根號下５／５，故B 水平分速度大小為vBcosθ＝根號下２gL／５，選項C正確;物體B 落地時重力的瞬時功率為PG ＝mgvy ＝mgvBsinθ＝２mg根號下２gL／５ ，故選項D錯誤．

小結(jié) 拓展１中的阻力大小不變，方向不斷變化，拓展２中的支持力大小和方向都不斷變化，但它們有個共同特點：與速度方向的夾角不變．此類問題雖然復(fù)雜，但只要善于抓住變化中的不變量，尋找關(guān)聯(lián)點，同時養(yǎng)成最基本的受力分析習(xí)慣，問題即可得到有效解決．

２ 多個物體的拋體運動

拋體運動的處理方法是運動的分解，但當(dāng)題中出現(xiàn)多個拋體運動的組合時，難度明顯上升．這時該如何處理呢？ 如何尋找它們之間的關(guān)聯(lián)呢？

２.１ 平拋＋斜拋

例２ 如圖７所示，甲同學(xué)在地面上將排球以速度v１ 擊出，排球沿軌跡①運動;經(jīng)過最高點后，乙同學(xué)跳起將排球以水平速度v２ 擊回，排球沿軌跡②運動，恰好落回出發(fā)點．忽略空氣阻力，則排球（ ）．

A．沿軌跡②運動的最大速度可能為v１

B．沿軌跡①運動的最小速度為v２

C．沿軌跡①和軌跡②運動過程的速度變化量大小相同

D．沿軌跡①和軌跡②運動過程的平均速度可能相同

解析

此題的難點是選項A，易錯點是選項D．軌跡①是斜拋運動，軌跡②是平拋運動，由于速度方向不斷變化，可以從能量角度考慮．根據(jù)能量守恒定律，只要乙同學(xué)拋出排球時的速度和接到排球時的速度大小相等，則其最大速度就為v１，選項A 正確．雖然兩次運動的軌跡不同、時間不同，但是兩次運動有個共同點：加速度都為g．抓住這個特點，根據(jù)Δv＝gt容易排除選項C．根據(jù)v＝x／t 可知兩次運動過程平均速度大小不相等，且方向一定相反，故選項D錯誤．

【提煉】對于拋體的組合問題，只要抓住不同運動中的共同點，就找到了解題的突破口．

２.２ 斜拋＋斜拋

例３ 如圖８所示，在湖邊山坡上的同一位置以相同大小的初速度拋出兩石子，速度方向與水平方向的夾角均為θ，一段時間后兩石子落入水中，不計空氣阻力，則（ ）．

A．落至水面時，兩石子速度相同

B．若A 石子先拋出，則兩石子可能在空中相遇

C．夾角θ 越大，兩石子落在水面上的間距越大

D．拋出點位置越高，兩石子在水面上間距越大

解析

此題的難點是選項C 和D．題圖只畫了初速度方向和夾角，卻未畫出運動軌跡．遇到這種問題，我們可以嘗試畫出其軌跡，如圖９所示．通過畫的過程就會很快發(fā)現(xiàn)，由于對稱性，A 落回等高點D 之后的運動軌跡DE 與BC 完全相同，故CE＝BD ，與θ 無關(guān)，與拋出點的高度也無關(guān)，無論θ 和拋出點位置怎樣改變，二者都不可能在空中相遇，選項A 正確，選項B錯誤．夾角越大，則A落回同一高度時的水平位移，即BD 越小，則CE 越小，故選項C錯誤．由于CE 始終等于BD ，故兩石子落在水面上的間距與拋出點位置高度無關(guān)，故選項D錯誤．

小結(jié) 這是斜向上拋和斜向下拋的組合，拋出時速度方向不同，運動時間不同，但是我們抓住了后半段軌跡完全相同這個突破口，問題迎刃而解．

３ 圓周運動中的脫軌問題

豎直平面內(nèi)的圓周運動的脫軌問題我們討論得多，最常討論的是最高點時只有重力提供向心力，輕桿模型下速度最小值為零，輕繩模型下速度最小值v＝根號下gr ，如圖１０所示．但是有一類脫軌問題很隱蔽，發(fā)生在物體向下或向上運動的過程中，其受力和運動特點分析很容易出錯．

３.１ 內(nèi)脫軌

例４ 現(xiàn)有一根長０.４m的剛性輕繩，其一端固定于O 點，另一端系著質(zhì)量為１kg的小球（可視為質(zhì)點），將小球提至O 點正上方的A 點處，此時繩剛好伸直且無張力，如圖１１所示．不計空氣阻力，g 取１０m·s－２，則小球以１m··s－１的速度水平拋出到繩子再次伸直時所經(jīng)歷的時間為多少？

解析

此題的難點和易錯點是小球的運動情況的判KoYr4L1/COFzNts1WrIagTulj5T52VvqgWcsvBm0Rt4=斷．首先要思考小球是否能做完整的圓周運動．最高點時若只有重力提供向心力，由牛頓第二定律得臨界速度v０＝根號下 gR ＝２m·s－１．可見，當(dāng)小球以１m·s－１的速度水平拋出時，先做平拋運動，當(dāng)繩子拉直后，做圓周運動．如圖１２所示，豎直方向y＝１／２gt２，水平方向x ＝vt，由幾何知識得L２ ＝（y －L ）２ ＋x２，聯(lián)立得t＝根號下 ３／５ s．

【提煉】對豎直平面內(nèi)的圓周運動問題，有時已知條件比較隱蔽，要警惕是否能做完整的圓周運動，提升判斷意識．抓住臨界點的受力和運動特點，才能更準(zhǔn)確地作出判斷和決策．

拓展 如圖１３所示，長為L 的輕繩一端固定在O 點，另一端固定一小球（可看成質(zhì)點），現(xiàn)使小球在最低點獲得v０＝２ gL 的水平初速度，重力加速度為g，在此后的運動過程中，輕繩第一次剛好松弛時，其與豎直向上方向夾角的余弦值為多少？

解析

“剛好松弛”指繩子“拉直”但“不拉緊”，即彈力為零．小球做圓周運動，松弛瞬間，恰好是一個臨界點．那么，此時速度是否為零呢？ 如圖１４所示，設(shè)此時的速度大小為v１，輕繩與豎直方向夾角為α，由重力的徑向分力提供向心力，有mgcosα＝m（v２１／L），由動能定理有－mg（L＋Lcosα）＝１／２mv２１－１／２mv２０，聯(lián)立得v１＝根號下２gL／３ ，cosα＝２３．

小結(jié) 例４是向下運動過程的脫軌，拓展是向上運動過程的脫軌，它們都是脫軌后向圓內(nèi)運動，極其隱蔽，但只要我們抓住了臨界點的分析，再結(jié)合能量和數(shù)學(xué)知識，就能輕松“拿捏”了．