在數(shù)學(xué)中，數(shù)列是以正整數(shù)為定義域的函數(shù)，是一列有序數(shù)．而在某些物理問題中，有的物理量在多次重復(fù)出現(xiàn)的情境中按一定的規(guī)律變化，這種規(guī)律變化往往可以通過數(shù)列的知識來描述，如利用數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和方法進(jìn)行計(jì)算．這類問題通常要求學(xué)生具備較強(qiáng)的分析與綜合能力，需要學(xué)生靈活地將數(shù)學(xué)和物理知識進(jìn)行融合應(yīng)用．?dāng)?shù)列知識在高考物理試題的考查中，多以壓軸題的形式出現(xiàn)，以考查學(xué)生分析與綜合能力、數(shù)學(xué)與物理知識融合應(yīng)用能力．本文對各省市歷年高考物理試題中應(yīng)用數(shù)列知識的壓軸題命題規(guī)律進(jìn)行分析，整理解決此類問題的思路，期望為學(xué)生解決這類問題提供指導(dǎo)．

１ 高考物理應(yīng)用數(shù)列知識命題分析

１.１ 近五年高考物理試題應(yīng)用數(shù)列知識考查情況

１.２ 高考物理應(yīng)用數(shù)列知識的壓軸題命題特點(diǎn)

此類試題綜合性強(qiáng)，難度大，分值高，主要以物體碰撞和帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)為物理模型，往往是同一物理規(guī)律的重復(fù)應(yīng)用，通常會設(shè)計(jì)數(shù)個(gè)問題，引導(dǎo)考生從第一次物理情境分析開始，逐步找到第n次的通項(xiàng)公式．此類試題考查的數(shù)列知識主要有等比、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比、等差數(shù)列的求和，一般規(guī)律的通項(xiàng)公式求解．

２ 力學(xué)中的數(shù)列壓軸題賞析

例１ （２０２４年湖南卷）如圖１所示，半徑為R的圓環(huán)水平放置并固定，圓環(huán)內(nèi)有質(zhì)量為mA 和mB的小球A 和B （mA ＞mB ）．初始時(shí)小球A 以初速度v０ 沿圓環(huán)切線方向運(yùn)動(dòng)，與靜止的小球B 發(fā)生碰撞．不計(jì)小球與圓環(huán)之間的摩擦，兩小球始終在圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)．

（１）若小球A 與B 碰撞后結(jié)合在一起，求碰撞后小球組合體的速度大小及做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小;

（２）若小球A 與B 之間為彈性碰撞，且所有的碰撞位置剛好位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求小球的質(zhì)量比mA／mB ;

（３）若小球A 與B 之間為非彈性碰撞，每次碰撞后的相對速度大小為碰撞前的相對速度大小的e 倍（０＜e＜１），求第１次碰撞到第２n＋１次碰撞之間小球B 通過的路程．

分析 本題以小球的碰撞為載體，融合了彈性碰撞和牛頓運(yùn)動(dòng)定律相關(guān)知識．通過前兩問的分析，對兩小球的運(yùn)動(dòng)情況及何時(shí)何處發(fā)生碰撞有了清晰的推理．第（３）問通過引入恢復(fù)系數(shù)，加大了分析和運(yùn)算的難度．

解析

（３）第一次碰前相對速度大小為v０，第一次碰后的相對速度大小為

v１相＝ev０． ①

第一次碰后與第二次相碰前B 球比A 球多運(yùn)動(dòng)一圈，即B 球相對A 球運(yùn)動(dòng)一圈，有

t１ ＝２πR／v１相． ②

第一次碰撞由動(dòng)量守恒定律得

mAv０ ＝mAvA１ ＋mBvB１， ③