【摘要】“做數(shù)學(xué)”是以問題為導(dǎo)向，從數(shù)學(xué)實(shí)踐、數(shù)學(xué)操作與數(shù)學(xué)活動(dòng)入手，學(xué)生通過動(dòng)手操作、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考的一系列自主實(shí)踐活動(dòng)，從而總結(jié)出數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)律.在初中代數(shù)教學(xué)中，通過“做數(shù)學(xué)”讓運(yùn)算法則具體化，從而使學(xué)生深刻理解法則的選擇和原理，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力；通過“做數(shù)學(xué)”讓學(xué)生探究數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，在深入體驗(yàn)概念的生成過程中深化概念理解.

【關(guān)鍵詞】“做數(shù)學(xué)”；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)實(shí)踐

長久以來，人們基于“數(shù)學(xué)是高度抽象的思維活動(dòng)”的認(rèn)識(shí)，重視通過紙筆進(jìn)行計(jì)算、分析、推理等靜坐式的學(xué)習(xí). 在教學(xué)過程中，普遍存在單一的教師講授學(xué)生聽講模式. 在基礎(chǔ)教育課程改革中，教育概念創(chuàng)新層出不窮，如“項(xiàng)目式學(xué)習(xí)”“深度學(xué)習(xí)”“大單元教學(xué)”等等，無不在突顯學(xué)生的主體地位.正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版》指出，強(qiáng)化課程綜合性和實(shí)踐性，推動(dòng)育人方式改革，著力發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)［1］.“做數(shù)學(xué)”正是讓學(xué)生通過觀察實(shí)驗(yàn)、動(dòng)手操作、分析思考中經(jīng)歷概念的理解、知識(shí)的發(fā)生發(fā)展、體系的建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

1 “做數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵和意義

在新課程改革二十年的時(shí)間節(jié)點(diǎn)上，育人任務(wù)更為明確地落在了學(xué)科的肩上，由此驅(qū)動(dòng)了更深層次的學(xué)科實(shí)踐創(chuàng)新，“做數(shù)學(xué)”便是其中的一大代表［2］.

“做數(shù)學(xué)”不是人們?nèi)粘Ｋf的做數(shù)學(xué)題，而是以問題為導(dǎo)向，從數(shù)學(xué)實(shí)踐、數(shù)學(xué)操作與數(shù)學(xué)活動(dòng)入手，學(xué)生通過動(dòng)手操作、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考的一系列自主實(shí)踐活動(dòng)，從而總結(jié)出數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)律.學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過豐富的“做數(shù)學(xué)”的過程積累直接經(jīng)驗(yàn)，從而總結(jié)出數(shù)學(xué)知識(shí)，再引導(dǎo)學(xué)生通過不斷地修正加工和概括，將數(shù)學(xué)知識(shí)整理成數(shù)學(xué)概念或命題，從而建構(gòu)完整的知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程，建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的知識(shí)系統(tǒng).

在“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生通過積極思考、實(shí)踐操作、大膽猜測、小心求證、自主探索、合作交流等方式主動(dòng)參與數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，通過動(dòng)手“做”而獲得親身感悟，激活高階思維；學(xué)生的知識(shí)不是由老師直接告知，而是經(jīng)由學(xué)生探究獲得，給足學(xué)生時(shí)間進(jìn)行感悟和思考，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和主動(dòng)性，從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展和深度學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn). 基于“做數(shù)學(xué)”的深度學(xué)習(xí)能夠引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)內(nèi)容遷移到新情境中，綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決新問題.

2 基于“做數(shù)學(xué)”的代數(shù)教學(xué)實(shí)踐研究

代數(shù)的核心思想是符號(hào)系統(tǒng)抽象和基于符號(hào)的運(yùn)算及推理.代數(shù)的發(fā)展是以數(shù)為基礎(chǔ)的，由字母代表數(shù)進(jìn)行一般化，在符號(hào)化的過程，將現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系抽象而得到研究對(duì)象.由于代數(shù)的抽象性，在代數(shù)教學(xué)中普遍存在教師講解概念和運(yùn)算法則后學(xué)生則進(jìn)行大量練習(xí)固化的教學(xué)模式；學(xué)習(xí)過程單一，沒有營造環(huán)境讓學(xué)生思考知識(shí)的內(nèi)在思想，只關(guān)注對(duì)客觀知識(shí)的記憶.越是抽象的科學(xué)，越要從實(shí)踐中汲取營養(yǎng)和力量.同樣，抽象知識(shí)的學(xué)習(xí)也要從親身實(shí)踐中獲得體驗(yàn)，要從具體事例的共性、規(guī)律的認(rèn)知入手［3］.“做數(shù)學(xué)”通過活動(dòng)讓抽象可視化，賦予抽象運(yùn)算直觀上的意義，從而使學(xué)生深刻理解法則的選擇和原理，發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力；在代數(shù)概念的教學(xué)中，也可通過“做數(shù)學(xué)”探究數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，在深入體驗(yàn)概念的生成過程中深化概念理解.

2.1 在“做數(shù)學(xué)”中將運(yùn)算法則具體化

基于“做數(shù)學(xué)”的要求，運(yùn)算法則的教學(xué)，首先要讓學(xué)生感知法則由來的過程，通過親身經(jīng)歷法則的探究過程，感受法則的合理性，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想方法，或者掌握一類數(shù)學(xué)問題的研究路徑. 在情境創(chuàng)造中，可以是從實(shí)際生活情境中抽象出算式，或者立足數(shù)學(xué)本身的觀察歸納總結(jié)，但無論哪一種，都離不開學(xué)生親歷法則的獲得過程.通過操作體驗(yàn)活動(dòng)讓抽象的運(yùn)算可視化，賦予抽象運(yùn)算直觀上的意義，從而理解法則的發(fā)生與發(fā)展，在潛移默化中發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，激活創(chuàng)新意識(shí).

例如 人教版“1.3.1有理數(shù)的加法”這一課時(shí)教學(xué)過程中探究了加法法則，這是學(xué)生進(jìn)入初中階段以來接觸的第一個(gè)運(yùn)算法則. 先前新引入的負(fù)數(shù)對(duì)學(xué)生來說已經(jīng)是比較抽象，這節(jié)課學(xué)生還需要從符號(hào)和絕對(duì)值兩方面來進(jìn)行運(yùn)算結(jié)果的確定，這對(duì)他們來說是比較復(fù)雜的探究任務(wù).教材即傳統(tǒng)的教學(xué)設(shè)計(jì)采用讓學(xué)生思考一個(gè)物體在數(shù)軸上兩次運(yùn)動(dòng)的最后結(jié)果，寫出相應(yīng)的算式.基于“做數(shù)學(xué)”的理念，在實(shí)際教學(xué)中，可讓學(xué)生用筆尖在數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)代替物體的運(yùn)動(dòng)，如下實(shí)驗(yàn)1：把筆尖放在數(shù)軸的原點(diǎn)，沿著數(shù)軸先向右移動(dòng)5個(gè)單位長度，再向右移動(dòng)3個(gè)單位長度，這時(shí)筆尖停在“8”的位置上，接著實(shí)驗(yàn)2進(jìn)行求兩次向左的結(jié)果，由學(xué)生觀察兩次同向運(yùn)動(dòng)后表示結(jié)果的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊、右邊或者位于原點(diǎn)，以及表示結(jié)果的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，確定出兩次運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，概括出同號(hào)相加的法則，完成有理數(shù)加法中較簡單情況的討論.接著通過設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)3和4提出討論異號(hào)相加的討論，讓學(xué)生仿照同號(hào)相加的探究過程，自行完成異號(hào)相加的探究.通過筆尖的運(yùn)動(dòng)，豐富操作體驗(yàn)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷兩次連續(xù)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的移動(dòng)方向和距離對(duì)最后結(jié)果的影響.該實(shí)驗(yàn)人人都可上手操作，由形的變化到數(shù)的變化，為驗(yàn)證有理數(shù)的加法法則積累操作經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)了手腦協(xié)同的“做數(shù)學(xué)”理念.對(duì)于學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生，歸納出法則便可以通過步驟化“一定符號(hào)二定絕對(duì)值”直接運(yùn)用，加快運(yùn)算速度；而對(duì)于學(xué)習(xí)能力較薄弱的學(xué)生，在進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，由于經(jīng)歷先前的操作環(huán)節(jié)，腦海中會(huì)建立具體的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，從而提高運(yùn)算的準(zhǔn)確度，實(shí)現(xiàn)不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展.此關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)的操作體驗(yàn)也為后續(xù)“有理數(shù)的乘法”提供了教學(xué)范式.

2.2 在“做數(shù)學(xué)”中將數(shù)學(xué)概念可視化

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象來源于生活，數(shù)學(xué)概念也是基于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界具有共性特征事物的概括.數(shù)學(xué)概念的教學(xué)直接決定了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解，概念教學(xué)普遍存在教師簡單介紹概念，通過變式辨析概念的現(xiàn)象.上述模式的教學(xué)只停留在概念的機(jī)械學(xué)習(xí)或表層學(xué)習(xí)，學(xué)生沒有經(jīng)歷概念生成的過程，無法內(nèi)化概念知識(shí)，更不用談促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展和深度學(xué)習(xí).

早在20世紀(jì)90年代，陳重穆先生就提出“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”的主張，他指出：“概念要靠直觀演示、具體操作，使學(xué)生領(lǐng)悟.要通過學(xué)生實(shí)際去‘做’，具體去‘用’，加深領(lǐng)悟，才能逐步掌握”［3］.基于“做數(shù)學(xué)”的要求，安排動(dòng)眼觀察、動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考的實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生在做中探索數(shù)學(xué)概念的自然生成，理解概念所需的“事實(shí)”，感悟數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的合理性和必要性，從而理解概念本質(zhì).

雖然數(shù)學(xué)概念都源于現(xiàn)實(shí)生活，但并不都是客觀現(xiàn)實(shí)的存在. 比如，在代數(shù)方面，無理數(shù)似乎是實(shí)實(shí)在在的“數(shù)”，但其實(shí)不是學(xué)生容易理解的“事實(shí)”，學(xué)生對(duì)其存在性的感知還是存在一定困難的.

例如 以人教版“6.1平方根”教學(xué)中探究形如2的無理數(shù)為例，第一步，給學(xué)生兩個(gè)面積為1dm2的小正方形紙片，要求學(xué)生通過裁剪拼成一個(gè)面積不變的新的正方形，展示學(xué)生的做法，預(yù)設(shè)如下兩種方法.

法1

法2

第二步，提出問題：這個(gè)新的正方形的邊長應(yīng)該是多少呢？你能求出它的值嗎？

第三步，每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生將熟悉的π用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，如圖1，即將直徑為1個(gè)單位長度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上原先在原點(diǎn)的那點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)O′，則點(diǎn)O′所表示的數(shù)便是π.學(xué)生類比探究將邊長為1的等腰直角三角形放在數(shù)軸上，如圖2，從而借助圓規(guī)在數(shù)軸上表示±2.

本設(shè)計(jì)通過讓學(xué)生動(dòng)手操作拼接正方形真切感受到正方形邊長2的客觀存在性，也感受到了它的大小，然而學(xué)生在求解邊長的過程中發(fā)現(xiàn)無法用現(xiàn)有學(xué)過的數(shù)來表示，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考. 接下來讓學(xué)生經(jīng)歷在數(shù)軸上確實(shí)可以找到表示這些數(shù)的點(diǎn)，進(jìn)一步感知這類數(shù)的真實(shí)存在性，感悟數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的自然性和必要性. 兩次操作體驗(yàn)，都是基于學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知，不僅讓學(xué)生主動(dòng)參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，達(dá)到印象深刻的目的，同時(shí)讓學(xué)生親歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，真切感知到這類好似摸不著的數(shù)的真實(shí)存在，體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題來源于現(xiàn)實(shí)世界，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng).

3 關(guān)于“做數(shù)學(xué)”的幾點(diǎn)思考

教師要更新教育理念，認(rèn)識(shí)到“做數(shù)學(xué)”是以學(xué)生為本的重要落實(shí)方式，能夠有效促進(jìn)學(xué)生的深度理解，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人，從而落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).

3.1 培養(yǎng)學(xué)生的高階思維

學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)中經(jīng)歷完整的探究過程，將自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)果轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)，在歸納和總結(jié)中探究事物本質(zhì)和規(guī)律，既讓學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)知識(shí)，也進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情.在“做數(shù)學(xué)”的過程中，學(xué)生學(xué)會(huì)貫通思想方法，在進(jìn)行充分思考的過程中激發(fā)學(xué)生的深層質(zhì)疑；同時(shí)調(diào)動(dòng)了好奇心和學(xué)習(xí)熱情，這些積極的情感體驗(yàn)是激發(fā)靈感的強(qiáng)大動(dòng)力，從而發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維，激活了學(xué)生的高階思維，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造.

3.2 實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人

“做數(shù)學(xué)”使用的是體驗(yàn)式學(xué)習(xí)方式，學(xué)生在操作體驗(yàn)中獲得親身感悟，在充分經(jīng)歷“感知—感悟—知識(shí)”的過程中［4］，建立已有經(jīng)驗(yàn)與未知經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，從而更容易將所學(xué)內(nèi)容遷移應(yīng)用到新情境中，綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決問題. 這種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的改變，使得學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣去思考，在理解數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的過程中，實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展.學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中調(diào)動(dòng)了多種感官參與數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)，手要?jiǎng)?，眼要看，口要說，腦要思考，啟迪了心智；學(xué)生主動(dòng)參與了探究過程，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神和探索精神，實(shí)現(xiàn)了學(xué)科育人價(jià)值.

【本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度課題“基于‘做數(shù)學(xué)’的初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)教學(xué)實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：FJJKZX22-295）的階段性成果】

參考文獻(xiàn)：

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［2］董林偉.走向?qū)W科育人：“做數(shù)學(xué)”的時(shí)代建構(gòu)與實(shí)踐創(chuàng)新［J］.教育發(fā)展研究，2021（08）：7-16

［3］章建躍.“做數(shù)學(xué)”的育人價(jià)值探討［J］.教育研究與評(píng)論，2021（03）：27-29.

［4］郭慶松.在“做數(shù)學(xué)”中促進(jìn)深度理解［J］.教育研究與評(píng)論，2021（03）：30-35.