【摘要】全等三角形問(wèn)題是平面幾何問(wèn)題中的一類(lèi)重要題型，解答此類(lèi)問(wèn)題不僅需要有較強(qiáng)的思維能力，還要掌握一些常見(jiàn)的模型構(gòu)造方法.本文根據(jù)幾道例題談全等三角形問(wèn)題中的三個(gè)常見(jiàn)模型，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】全等三角形；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

1 “倍長(zhǎng)中線”模型

例1 如圖1所示，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，AE=2DE，AE=3，BE=5，CE=4，則△ABC的面積為.

解 延長(zhǎng)AD到點(diǎn)F，使ED=DF，連接BF，如圖2.

所以EF=2DE.

因?yàn)锳E=2DE，AE=3，

所以EF=AE=3.

在△BDF和△CDE中，

BD=CD，∠BDF=∠CDE，DF=DE，

所以△BDF≌△CDE，

所以BF=CE=4.

因?yàn)锽E=5，

所以BF2+EF2=42+32=52=BE2，

所以∠BFE=90°.

所以S△BCE=S△BEF=12×3×4=6.

因?yàn)锳E=2DE，

所以S△ABE+S△ACE=2S△BCE=12，

所以S△ABC=18.

評(píng)析 “倍長(zhǎng)中線”模型是構(gòu)造全等三角形時(shí)較為常用的一類(lèi)模型，中線本身帶有線段相等的性質(zhì)，同時(shí)在延長(zhǎng)之后對(duì)頂角相等也可以作為證明全等三角形的條件之一.

2 “K”字模型

例2 在平面直角坐標(biāo)系中，存在兩點(diǎn)A（7，0），B（3，－8），點(diǎn)P為一次函數(shù)y=x－1圖象上的一點(diǎn)，且∠ABP=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解 如圖3所示，過(guò)點(diǎn)B作直線CD∥x軸，作BE⊥AB并截取BE=AB.作AC⊥CD于點(diǎn)C，作ED⊥CD于點(diǎn)D，連接AE，

則由“K”字模型可得△ABC≌△BED.

所以AC=BD=8，BC=DE=4，

所以E（－5，－4）.

設(shè)BP交AE于點(diǎn)F，

則由∠ABP=45°，

BE⊥AB，BE=AB，

可得點(diǎn)F為線段AE的中點(diǎn)，

所以F（1，－2）.

由B（3，－8）和F（1，－2），

易得yBF=－3x+1，

聯(lián)立y=－3x+1y=x－1，

解得x=12y=－12，

所以點(diǎn)P（12，－12）.

評(píng)析 “K”字模型是構(gòu)造全等三角形常用的一類(lèi)模型，其主要是通過(guò)構(gòu)造垂直，從而得到全等三角形.此方法要求構(gòu)造出的直角三角形的斜邊要相等，若不相等，則一般是相似三角形.

3 “半角”模型

例3 如圖4所示，四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上的點(diǎn)，且AE=DF.連接DE、BF交于點(diǎn)G，連接CG、BD.若CG=7，BG=5，則DG=.

解 如圖5所示，延長(zhǎng)FB到點(diǎn)M，使BM=DG，連接CM.

因?yàn)椤螦=60°，AB=AD，

所以△ABD為等邊三角形，

則∠A=∠BDF=60°.

因?yàn)镃D∥AB，

所以∠ADC=180°－∠A=120°，

同理可得∠ABC=120°.

在△AED和△DFB中，AD=DB，

∠A=∠BDF，AE=DF，

所以△AED≌△DFB.

所以∠ADE=∠DBF，∠AED=∠DFB.

因?yàn)锳D∥BC，DC∥AB，

所以∠DFB=∠CBM，∠AED=∠CDG，

所以∠CBM=∠CDG.

因?yàn)椤鱀BC是等邊三角形，

所以CD=CB.

在△CDG和△CBM中，

CD=CB，∠CDG=∠CBM，DG=BM，

所以△CDG≌△CBM.

所以∠DCG=∠BCM，CG=CM，

所以∠GCM=∠DCB=60°，

所以△CGM是等邊三角形，

則CG=GM=BG+BM=BG+DG，

即DG=CG－BG=2.

評(píng)析 “半角”模型的關(guān)鍵在于找到含半角的角度，然后通過(guò)旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)構(gòu)造全等三角形，由全等條件得到邊角條件之后，再進(jìn)行相關(guān)的證明或計(jì)算.

4 結(jié)語(yǔ)

上文通過(guò)三道例題介紹了全等三角形中的三個(gè)常用模型.在平時(shí)解題時(shí)，學(xué)生要學(xué)會(huì)總結(jié)歸納，分清不同模型的特征，抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)，結(jié)合平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)折等操作構(gòu)造全等三角形，再利用全等三角形的邊角關(guān)系來(lái)解答問(wèn)題.