【摘要】在數(shù)學和工程領域，最值問題是一個重要的研究課題．特別是在函數(shù)實際問題中，最值問題的解決對于優(yōu)化系統(tǒng)性能、提高效率以及降低成本等方面具有重要意義．本文探討函數(shù)實際問題中的最值問題，并提供一些有效的解決方法．

【關鍵詞】初中數(shù)學；函數(shù)實際問題；最值問題

最值問題是指在特定條件下，尋求某個變量取值的最大值或最小值的問題．在函數(shù)實際問題中，最值問題通常涉及函數(shù)的最大值、最小值、穩(wěn)定性以及邊界條件等因素．這些因素對于優(yōu)化系統(tǒng)性能、控制誤差以及提高效率等方面具有重要影響．

1 函數(shù)最值在幾何問題中的應用

例1 如圖1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB+AC=4，將△ABC繞點C順時針旋轉120°得到△DEC，則AD2的取值范圍是（ ）

（A）0<AD2<16． （B）12≤AD2<48．

（C）12≤AD2<16． （D）16<AD2<48．

解析 連接AE，如圖2，

由旋轉的性質可知△ABC≌△EDC，

所以AC=CE，AB=DE，

因為∠ACE=120°，

所以∠AED=120°－12（180°－∠ACE）=90°，

因為AB+AC=4，

所以設AB=DE=x，AC=CE=4－x，

作CF⊥AE，則AF=EF，

所以CF=124－x，

所以AF=4－x2－124－x2=

324－x，

所以AE=34－x，

因為AD2=AE2+DE2，

所以AD2=34－x2+x2=4x－32+12≥12，

因為0<x<4，

所以12≤AD2<16．

故選（C）．

點評 本題主要考查全等三角形的性質、函數(shù)思想求最值問題等．正確作出輔助線，設AB=DE=x，根據(jù)幾何關系找到AD2關于x的函數(shù)關系，根據(jù)配方法即可求得其最值．

2 函數(shù)最值在生活中的應用

例2 某單位打算在A，B兩家電視臺打廣告，因單位經(jīng)費限制（不超過9萬元），廣告總時間要控制在5小時之內．A，B兩家電視臺給該單位的廣告定價分別為500元/分鐘、200元/分鐘，對應的收益分別為3000元/分鐘、2000元/分鐘．問：該單位怎樣分配廣告時間，才能使收益最大化？并求出最大收益．

解析 設A，B兩家電視臺廣告時間分別為x分鐘、y分鐘，帶來的總收益為z元，

則x+y≤300500x+200y≤90000x≥0，y≥0，

即x+y≤3005x+2y≤900x≥0，y≥0，

目標函數(shù)z=3000x+2000y，

作出二元一次不等

式組所表示的平面

區(qū)域，即陰影部分

，如圖3所示.作直線l：3000x+2000y=0，并平移，當l過點M時z取最大值，

聯(lián)立x+y=3005x+2y=900，

得x=100y=200，

所以點M的坐標為（100，200）

所以z=3000x+2000y=700000 （元）．

點評 本題考查了運用圖解法處理線性規(guī)劃問題，解題的突破口是已知條件，找出題目中隱含的約束條件，確定目標函數(shù)．通過將題中的量分類，理順思路，然后列出相關不等式組尋求其約束條件，并就題中所述找出目標函數(shù)關系式，然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數(shù)的最優(yōu)解．

3 函數(shù)最值在解決線段長度問題中的應用

例3 已知拋物線C1：y=－x2－3x+4和拋物線c2：y=x2－3x－4交于A，B兩點，在點A與點B之間存在兩點P，Q，且P在C1上，Q在C2上．已知坐標系中兩點Ax1，y1，Bx2，y2間的距離可用公式AB=x1－x22+y1－y22求出.

（1）求線段AB的長；

（2）若PQ∥y軸，求PQ長度的最大值．

解析 （1）聯(lián)立兩方程y=－x2－3x+4y=x2－3x－4，

解得x1=－2，y1=6，x2=2，y2=－6，

所以AB=（2+2）2+（6+6）2=410．

（2）如圖4，若PQ∥y軸，

設Pt，－t2－3t+4，Qt，t2－3t－4（－2<t<2），

可得PQ=2（4-t2）≤8，

當t=0時，等號成立．

所以PQ的最大值為8．

點評 本題給出了兩點Ax1，y1，Bx2，y2之間的距離公式：AB=x1－x22+y1－y22，根據(jù)這個公式可找到解題的突破口（求點的坐標）．

4 結語

綜上所述，函數(shù)實際問題中的最值問題是一個重要而復雜的研究課題．通過對影響因素的分析和解決方法的研究，可以更好地解決實際問題，提高效率，降低成本．通過對實際應用案例的分析，可以更好地了解最值問題在實際情況中的應用效果，為實際問題的解決提供參考．

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