【摘要】中考試題中的小壓軸題常常以平面幾何的最值問題呈現(xiàn).平面幾何的最值問題中，常?？疾橐浴半[圓”為背景的試題.要解決這類試題，需要根據(jù)題意挖掘“隱圓”，然后利用圓的性質(zhì)，有時(shí)也會(huì)結(jié)合軸對(duì)稱、三角形的相似或全等、兩點(diǎn)之間線段最短等性質(zhì)求解.

【關(guān)鍵詞】平面幾何；最值問題；隱圓

含有“隱圓”的平面幾何最值問題，主要涉及兩類題型.題型1是動(dòng)點(diǎn)為直角三角形的直角頂點(diǎn)[1]，即已知A，B是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，且∠APB=90°.這時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以AB為直徑的圓（或半圓）.題型2是三角形中邊長固定的邊所對(duì)的角為定角，即已知A，B是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，且∠APB是定值，這時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是以AB為弦的圓.

在求解平面幾何最值的過程中，要認(rèn)真審題，善于挖掘題目中的“隱圓”，然后根據(jù)圓的幾何性質(zhì)與相關(guān)平面幾何知識(shí)求解，可縮短解題時(shí)間、提高解題效率[2].

題型1 動(dòng)點(diǎn)為直角三角形的直角頂點(diǎn)

例1 如圖1，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EAB=∠EBC．連接AE，BE，PD，PE，則PD+PE的最小值為（ ）

（A）213－2. （B）45－2.

（C）43－2.（D）215－2.

分析 先證明∠AEB=90°，即可得點(diǎn)E在以AB為直徑的半圓上移動(dòng)，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，作正方形ABCD關(guān)于直線BC對(duì)稱的正方形CFGB，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，連接FO交BC于P，交半圓O于E，根據(jù)對(duì)稱性有PD=PF，則有PE+PD=PE+PF，則線段EF的長即為PE+PD的長度最小值，問題隨之得解．

解析 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

所以∠ABC=90°，

所以∠ABE+∠EBC=90°.

因?yàn)椤螮AB=∠EBC，

所以∠EAB+∠EBA=90°，

所以∠AEB=90°，

所以點(diǎn)E在以AB為直徑的半圓上移動(dòng)，如圖2，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，

作正方形ABCD關(guān)于直線BC對(duì)稱的正方形CFGB，則點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是F，

連接FO交BC于點(diǎn)P，交半圓O于點(diǎn)E，

根據(jù)對(duì)稱性有PD=PF，

則有PE+PD=PE+PF.

則線段EF的長即為PE+PD的長度最小值.

因?yàn)椤螱=90°，F(xiàn)G=BG=AB=4，

所以O(shè)G=6，OA=OB=OE=2，

所以O(shè)F=FG2+OG2=213，

所以EF=OF－OE=213－2，

故PE+PD的長度最小值為213－2.

故選（A）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱、最短路線問題，正方形的性質(zhì)和勾股定理等.根據(jù)題意得出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路線是以AB為直徑的半圓是解題的關(guān)鍵，然后根據(jù)對(duì)稱性，利用最短路線問題求出最值即可.

題型2 三角形中邊長固定的邊所對(duì)的角為定角

例2 如圖3，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為直線BC上動(dòng)點(diǎn)，B、G關(guān)于EF對(duì)稱，連接AG，點(diǎn)P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，滿足∠APB=12∠AGB，則DP的最小值 ．

分析 由題意可知，∠AGB=90°，可得∠APB=12∠AGB=45°，可知點(diǎn)P在以AB為弦，圓周角∠APB=45°的圓上，要使DP最小，則點(diǎn)P要靠近點(diǎn)D，即點(diǎn)P在AB的右側(cè).

解析 設(shè)EF與BG交于點(diǎn)H，因?yàn)锽，G關(guān)于EF對(duì)稱，

所以BH=GH，且EF⊥BG.

因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，則EH為△ABG的中位線，

所以EH∥AG，

所以∠AGB=90°.

因?yàn)椤螦PB=12∠AGB，

即∠APB=12∠AGB=45°，

所以點(diǎn)P在以AB為弦，圓周角∠APB=45°的圓上，要使DP最小，則點(diǎn)P要靠近點(diǎn)D，即點(diǎn)P在AB的右側(cè).

如圖4，設(shè)圓心為O，連接OA，OB，OE，OP，OD，過點(diǎn)O作OQ⊥AD，

則OA=OB=OP.

因?yàn)椤螦PB=45°，

所以∠AOB=90°，則△AOB為等腰直角三角形，

所以O(shè)A=22AB=22=OP.

又因?yàn)镋為AB中點(diǎn)，

所以O(shè)E⊥AB，

OE=12AB=AE=BE.

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，

所以∠BAD=90°，AD=BC=8，

所以四邊形AEOQ是正方形，

所以AQ=OQ=22OA=2，

QD=AD－AQ=6，

所以O(shè)D=OQ2+QD2=210，

由三角形三邊關(guān)系可得DP≥OD－OP=210－22，當(dāng)點(diǎn)P在線段OD上時(shí)取等號(hào).

所以DP的最小值為210－22.

故答案為210－22．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，隱圓，三角形三邊關(guān)系，正方形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，等等，綜合性較強(qiáng).根據(jù)∠APB=12∠AGB=45°得知點(diǎn)P在以AB為弦，圓周角∠APB=45°的圓上是解決問題的關(guān)鍵．

結(jié)語

平面幾何中的最值問題，是中考的一個(gè)難點(diǎn).命題人在命制試題時(shí)，常常以圓的背景來命制，但題中又沒有提到圓.這就需要考生分析問題，挖掘出試題中的“隱圓”，然后利用圓的性質(zhì)和相關(guān)的平面幾何知識(shí)求解.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉桂景.初中數(shù)學(xué)幾何最值問題的解題思路分析[J].數(shù)理天地（初中版），2024（01）：49-50.

[2]崔懷勝.平面幾何中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問題[J].數(shù)理天地（初中版），2022（19）：21-22.

[3]劉賢華.中考最值問題分析及解題技巧[J].數(shù)理天地（初中版），2022（19）：29-30.