【摘要】二元一次方程組是一種重要的數(shù)學(xué)工具，它在日常生活、生產(chǎn)實(shí)踐中具有廣泛的應(yīng)用．本文將探討二元一次方程組在解決行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、銷售和利潤(rùn)問(wèn)題中的應(yīng)用，旨在為讀者提供對(duì)這一數(shù)學(xué)工具更深入的理解和認(rèn)識(shí)．

【關(guān)鍵詞】二元一次方程組；實(shí)際問(wèn)題；應(yīng)用

二元一次方程組在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用非常廣泛，解決這類問(wèn)題的基礎(chǔ)是熟練地解二元一次方程組，并理解各種解法的意義，才能在實(shí)際問(wèn)題中根據(jù)題目要求列出二元一次方程組．

1 運(yùn)用二元一次方程組解決行程問(wèn)題

例1 隨著人們健康意識(shí)提升，運(yùn)動(dòng)鍛煉需求增多，越來(lái)越多的人愿意為保持健康付出更多努力．跑步作為老少皆宜的運(yùn)動(dòng)方式，進(jìn)入門檻低，吸引了大量群眾加入，掀起全民跑步熱潮．甲、乙兩人相約去環(huán)形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)進(jìn)行跑步鍛煉，繞環(huán)形運(yùn)動(dòng)場(chǎng)跑步一圈的里程為400米．

（1）甲進(jìn)行變速跑訓(xùn)練．先以一定的速度繞運(yùn)動(dòng)場(chǎng)跑完2圈后立即提速20%并以該速度跑完2圈后停止跑步，若提速后所用的時(shí)間比提速前少1603秒，求甲提速前每秒跑多少米？

（2）甲、乙同時(shí)同起點(diǎn)出發(fā)（甲、乙兩人分別以一定的速度勻速跑步）．若同向而行，640秒后兩人第一次相遇；若相向而行，6409秒后兩人第一次相遇．已知甲比乙跑得慢，求甲、乙兩人每秒各跑多少米？

解析 （1）設(shè)甲每秒跑步m米，由題意可得，

2×400m－2×4001.2m=1603．解得m=52．

經(jīng)檢驗(yàn)，m=52是原方程的解．

所以，甲每秒跑步2.5米；

（2）設(shè)甲、乙每秒分別跑步為x米，y米，由題意可得

（x+y）×6409=400（y－x）×640=400，

解得，x=52，y=258．

所以，甲、乙每秒分別跑步為52米，258米．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二元一次方程組在處理行程問(wèn)題中的應(yīng)用．第（1）問(wèn)中，需要先表示出提速前所用的時(shí)間，提速后所用的時(shí)間，再根據(jù)時(shí)間差為1603列出分式方程，再求出解即可；第（2）問(wèn)中，根據(jù)兩人所跑的路程和等于400，再根據(jù)兩人所跑的路程差等于400列出方程組，再求出解即可．

2 運(yùn)用二元一次方程組解決就工程問(wèn)題

例2 某工程由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)施工，工程小組綜合比較兩工程隊(duì)發(fā)現(xiàn)，甲工程隊(duì)施工2天的費(fèi)用比乙工程隊(duì)施工3天的費(fèi)用少0.3萬(wàn)元，甲、乙兩工程隊(duì)合作施工一天的費(fèi)用為2.6萬(wàn)元．單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)剛好如期完成，乙工程隊(duì)要比規(guī)定日期多用5天，初步計(jì)算，若單獨(dú)請(qǐng)甲工程隊(duì)需付30萬(wàn)元．

（1）請(qǐng)計(jì)算甲、乙工程隊(duì)每天所需的施工費(fèi)用各是多少萬(wàn)元？

（2）為降低工程施工費(fèi)用，甲、乙兩工程隊(duì)先合作施工若干天，再由乙工程隊(duì)全部完成，求甲、乙兩工程隊(duì)合作施工多少天時(shí)，在不耽誤工期的情況下，施工費(fèi)用最低．

解析 （1）設(shè)甲工程隊(duì)每天所需的施工費(fèi)x萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天所需的施工費(fèi)y萬(wàn)元，

依題意列方程得：2x+0.3=3yx+y=2.6，

解得：x=1.5y=1.1，

所以，甲工程隊(duì)每天所需的施工費(fèi)用為1.5萬(wàn)元，乙工程隊(duì)每天所需的施工費(fèi)用為1.1萬(wàn)元；

（2）根據(jù)題得：?jiǎn)为?dú)完成這項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)剛好如期完成，甲工程隊(duì)單獨(dú)施工需：30÷1.5=20（天），則工期為20天，

所以單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需20天，乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需20+5=25天，

設(shè)甲、乙兩工程隊(duì)先合作施工a天，則乙工程隊(duì)需單獨(dú)施工20－a天，

根據(jù)題意得：120+125a+12520－a≥1，

解得：a≥4，

總費(fèi)用為：1.1+1.5a+1.120－a=22+1.5a，

當(dāng)a=4時(shí)，總費(fèi)用最少，為22+1.5×4=28（萬(wàn)元），

所以，甲、乙兩工程隊(duì)合作施工4天時(shí)，在不耽誤工期的情況下，施工費(fèi)用最低．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二元一次方程組在處理工程問(wèn)題中的應(yīng)用．解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組及不等式求解．第（1）問(wèn)中，設(shè)出兩工程隊(duì)每天所需的施工費(fèi)，根據(jù)題意，甲工程隊(duì)施工2天的費(fèi)用比乙工程隊(duì)施工3天的費(fèi)用少0.3萬(wàn)元，甲、乙兩工程隊(duì)合作施工一天的費(fèi)用為2.6萬(wàn)元，列出方程組即可求解；第（2）問(wèn)中，單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，甲工程隊(duì)剛好如期完成，甲工程隊(duì)單獨(dú)施工需20天，乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需20+5=25天，設(shè)乙工程隊(duì)施工a天，設(shè)甲、乙兩工程隊(duì)先合作施工a天，則乙工程隊(duì)需單獨(dú)施工20－a天，根據(jù)甲乙合作的工作量加上乙單獨(dú)完成的工作量大于等于總工作量，列出不等式，求解即可，最終找到最優(yōu)解．

3 運(yùn)用二元一次方程組解決銷售和利潤(rùn)問(wèn)題

例3 青少年近視已經(jīng)成為困擾我國(guó)中小學(xué)生的嚴(yán)重問(wèn)題，根據(jù)《兒童青少年學(xué)習(xí)用品近視防控衛(wèi)生要求》中對(duì)學(xué)生用品——護(hù)目燈的光照度、色溫、藍(lán)光、頻閃等參數(shù)都有明確的合格要求，某企業(yè)生產(chǎn)的A，B兩種型號(hào)的護(hù)目燈均符合要求．已知出售1件A型號(hào)和3件B型號(hào)護(hù)目燈共收入1100元，出售2件A型號(hào)和5件B型號(hào)護(hù)目燈共收入1900元．

（1）求A型號(hào)和B型號(hào)每件護(hù)目燈的售價(jià)；

（2）若出售A，B兩種型號(hào)（均有銷售，且總件數(shù)不超過(guò)13件）共收入3000元，則出售A，B兩種型號(hào)的護(hù)目燈各幾件？

解析 （1）設(shè)A型號(hào)的售價(jià)x元，B型號(hào)的售價(jià)y元，由題意得

x+3y=11002x+5y=1900，解得x=200y=300，

所以，A型號(hào)的售價(jià)200元，B型號(hào)的售價(jià)300元；

（2）設(shè)出售A型號(hào)a件，則出售B型號(hào)b件，

由題意得200a+300b=3000，化簡(jiǎn)得2a+3b=30，

因?yàn)閍，b為正整數(shù)，且a+b≤13，

所以a=3b=8或a=6b=6或a=9b=4，

所以出售A型號(hào)3件，B型號(hào)8件或A型號(hào)出售6件，B型號(hào)出售6件或A型號(hào)出售9件，B型號(hào)出售4件．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二元一次方程組在處理銷售和利潤(rùn)問(wèn)題中的應(yīng)用．第（1）問(wèn)中，設(shè)A型號(hào)的護(hù)目燈的售價(jià)x元，B型號(hào)的護(hù)目燈的售價(jià)y元，根據(jù)出售1件A型號(hào)的護(hù)目燈和3件B型號(hào)的護(hù)目燈共收入1100元，出售2件A型號(hào)的護(hù)目燈和5件B型號(hào)的護(hù)目燈共收入1900元，列出方程組進(jìn)行求解即可；

第（2）問(wèn)中，設(shè)出售A型號(hào)的護(hù)目燈a件，則出售B型號(hào)的護(hù)目燈b件，根據(jù)題意列出二元一次方程進(jìn)行求解即可．可以看出，二元一次方程組能幫助企業(yè)實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)的最大化．

4 結(jié)語(yǔ)

二元一次方程組作為一種簡(jiǎn)單而實(shí)用的數(shù)學(xué)工具，在解決實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用．在工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、銷售問(wèn)題、人口預(yù)測(cè)和資源分配中，它都發(fā)揮了重要的作用．因此，應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)二元一次方程組的了解和應(yīng)用，以更好地解決實(shí)際問(wèn)題．盡管二元一次方程組在實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用，但仍有許多領(lǐng)域可以進(jìn)一步研究．例如，如何利用計(jì)算機(jī)技術(shù)和算法優(yōu)化，提高二元一次方程組的求解速度和精度；如何將二元一次方程組與其他數(shù)學(xué)工具和模型相結(jié)合，解決更復(fù)雜的問(wèn)題等．這些都是未來(lái)研究的重要方向．二元一次方程組在實(shí)際問(wèn)題中非常重要和實(shí)用，希望本文能對(duì)讀者了解和應(yīng)用二元一次方程組提供有益的參考．

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