【摘要】新時(shí)代發(fā)展視域下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生知識(shí)技能與方法手段的有效掌握，幫助學(xué)生切實(shí)把握問(wèn)題解決的思路和能力，有利于拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的長(zhǎng)遠(yuǎn)學(xué)習(xí)發(fā)展.初中二次函數(shù)問(wèn)題解題方法主要包括待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法以及數(shù)學(xué)建模法三種方法，本文結(jié)合人教版初中數(shù)學(xué)例題對(duì)二次函數(shù)的各種解題方法進(jìn)行簡(jiǎn)要分析.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);二次函數(shù);解題方法

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)課程中的重要板塊，在代數(shù)和幾何范圍內(nèi)都具有重要影響.初中二次函數(shù)常見(jiàn)解題方法中待定系數(shù)法是以二次函數(shù)解析式為基礎(chǔ)的解題方法，主要包括一般式、頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式，數(shù)形結(jié)合法是將二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合起來(lái)的方法，主要包括幾何求解法、輔助線法和三角函數(shù)法，數(shù)學(xué)建模法是以數(shù)學(xué)模型為核心進(jìn)行建構(gòu)求解的解題方法.

1 初中二次函數(shù)中待定系數(shù)法解題應(yīng)用

待定系數(shù)法是指基于二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c進(jìn)行代數(shù)推理的解題方法，旨在引導(dǎo)學(xué)生以充分了解二次函數(shù)為前提利用已知條件進(jìn)行未知量的求解［1］.初中二次函數(shù)的待定系數(shù)法主要包括一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式三種類(lèi)別.

例1 根據(jù)下列條件，分別確定二次函數(shù)的解析式.

（1）拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)（-3，2），（-1，-1），（1，3）；

（2）拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是-12，32，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-5.

解析 本題取自人教版初中數(shù)學(xué)教材九年級(jí)上冊(cè)二次函數(shù)單元小結(jié)復(fù)習(xí)題版塊，是初中二次函數(shù)類(lèi)型題中典型的基礎(chǔ)題型，主要應(yīng)用待定系數(shù)法進(jìn)行函數(shù)求解.其中第（1）問(wèn)應(yīng)用一般式法解題，已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可以直接代入y=ax2+bx+c進(jìn)行求解，可得出y=78x2+2x+18；第（2）問(wèn)可以應(yīng)用待定系數(shù)法中的交點(diǎn)式進(jìn)行解題，已知二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)以及與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以代入y=ax-x1x-x2a≠0交點(diǎn)式，可得出解析式為y=203x2-203x-5.本題充分體現(xiàn)了二次函數(shù)的基礎(chǔ)概念，是待定系數(shù)法在二次函數(shù)求解中的應(yīng)用基礎(chǔ).

2 初中二次函數(shù)中數(shù)形結(jié)合法解題應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備和掌握的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)思想，是發(fā)展學(xué)生抽象性思維的重要舉措［2］.初中二次函數(shù)問(wèn)題不僅在代數(shù)領(lǐng)域，在幾何問(wèn)題中也有廣泛應(yīng)用.初中二次函數(shù)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法主要包括幾何求解法、輔助線法以及三角函數(shù)法三種類(lèi)別.幾何求解法是針對(duì)二次函數(shù)中的幾何圖形，利用幾何學(xué)知識(shí)通過(guò)周長(zhǎng)或面積公式進(jìn)行問(wèn)題求解的方法，有效實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題到幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)換.輔助線法是指在二次函數(shù)坐標(biāo)系中通過(guò)添加輔助線的方式進(jìn)行解題，為問(wèn)題求解提供新的已知量，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)問(wèn)題的求解方法.三角函數(shù)法是針對(duì)二次函數(shù)問(wèn)題中的三角形問(wèn)題，利用三角函數(shù)進(jìn)行問(wèn)題求解的方法.

例2 如圖1，拋物線的解析式為y=-x2-2x+3，在第二象限的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大，并求出P點(diǎn)坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.

解析 針對(duì)P點(diǎn)坐標(biāo)求解問(wèn)題，可以引入三角函數(shù)以及輔助線法的數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行坐標(biāo)求解.過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線l（二次函數(shù)的切線），當(dāng)直線l與拋物線有唯一交點(diǎn)時(shí)，△PBC邊BC上的高最大，則△PBC的面積最大，如圖2.由二次函數(shù)解析式可知直線BC的解析式為y=x+3，則直線l的解析式可設(shè)為y=x+b.由公式可得，x+b=-x2-2x+3，所以x2+3x+b-3=0，由Δ=32-4（b-3）=0，得出b=214，x=-32，M（0，214）.此時(shí)BC上的高h(yuǎn)最大，h=MC×sin∠CMP=MC×sin∠OCB=94× 22=9 28.S△PBC=12BC×h=12×3 2×9 28=278，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-32，154）.

本題通過(guò)結(jié)合題目需求增設(shè)輔助線，借助三角形的幾何性質(zhì)、三角形面積公式以及三角函數(shù)等幾何知識(shí)進(jìn)行二次函數(shù)問(wèn)題的求解，有效助力初中學(xué)生數(shù)形結(jié)合解題思維方法的吸收掌握.

3 初中二次函數(shù)中數(shù)學(xué)建模法解題應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模法是指結(jié)合題目需求進(jìn)行解析模型的構(gòu)建，借助普適性的數(shù)學(xué)模型掌握題目解題規(guī)律，再代入已知量進(jìn)行求解的過(guò)程.數(shù)學(xué)建模法能夠有效促進(jìn)學(xué)生模型思維、建模意識(shí)以及數(shù)學(xué)理性思維的形成與發(fā)展.

例3 某玩具進(jìn)價(jià)8元/件，若售價(jià)為10元/件，則銷(xiāo)售量為100件/天.該店意圖通過(guò)提高售價(jià)增加利潤(rùn)，已知玩具每提高1元售價(jià)，日銷(xiāo)售量就會(huì)減少10件.問(wèn)該店售價(jià)定為多少的情況下能獲得最大利潤(rùn).

解析 將玩具每件提高價(jià)格設(shè)為x元（x≥0），該玩具的利潤(rùn)為y元，則每天銷(xiāo)售額為（10+x）（100-10x）元，進(jìn)貨總價(jià)為8（100-10x）元，因此0≤x≤10.由利潤(rùn)=銷(xiāo)售總價(jià)-進(jìn)貨總價(jià)可以建立數(shù)學(xué)模型為y=（2+x）（100-10x）（0≤x≤10），由此可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解.

利用數(shù)學(xué)模型將應(yīng)用題目轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的基礎(chǔ)題目，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問(wèn)題到簡(jiǎn)單問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，促使學(xué)生將數(shù)學(xué)眼光和數(shù)學(xué)思維應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題解決中來(lái)，充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)建模法的教學(xué)價(jià)值與育人價(jià)值，有助于學(xué)生從根源角度體會(huì)和感受應(yīng)用問(wèn)題中的數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力.

4 結(jié)語(yǔ)

總而言之，新課程標(biāo)準(zhǔn)視域下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生學(xué)科知識(shí)與學(xué)科素養(yǎng)的均衡發(fā)展.初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生多元解題方法的掌握，強(qiáng)調(diào)通過(guò)不同的解題方法幫助學(xué)生深入掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)技能，促進(jìn)初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的形成發(fā)展.本文結(jié)合例題對(duì)待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法以及數(shù)學(xué)建模法進(jìn)行了研究分析，有效助力初中學(xué)生二次函數(shù)版塊問(wèn)題解決能力的發(fā)展提升.

【本論文系白銀市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題《5G時(shí)代推動(dòng)在線教育高質(zhì)量發(fā)展的策略研究》的階段性研究成果.課題批號(hào)：BY【2021】G242號(hào)】

參考文獻(xiàn)：

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