【摘要】數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)教育和學(xué)習(xí)的一個(gè)重要組成部分，對(duì)于全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和推進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育具有深遠(yuǎn)影響.本文通過結(jié)合具體的教學(xué)案例，總結(jié)出數(shù)學(xué)建模在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體實(shí)踐路徑，主要有構(gòu)建函數(shù)模型，體會(huì)數(shù)量關(guān)系；構(gòu)建方程組模型，探索問題的本質(zhì)；構(gòu)建幾何模型，進(jìn)行變式訓(xùn)練；構(gòu)建概率與統(tǒng)計(jì)模型，激發(fā)學(xué)生思辨能力；構(gòu)建不等式模型，培養(yǎng)發(fā)散思維.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)在生活中無處不在，從簡單的購物計(jì)算到復(fù)雜的工程設(shè)計(jì)，都需要數(shù)學(xué)的支持，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行求解的過程，這個(gè)過程需要抽象思維、邏輯推理和創(chuàng)新能力，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)具有重要意義.這也有助于培養(yǎng)他們的邏輯思維能力、創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 構(gòu)建函數(shù)模型，體會(huì)數(shù)量關(guān)系

數(shù)學(xué)建模思想確實(shí)是一種強(qiáng)大的工具，能夠?qū)?fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為簡化的數(shù)學(xué)形式，以便于分析和解決.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)建模，教師可以選取一些與學(xué)生生活密切相關(guān)的問題作為建模對(duì)象.例如，可以探討如何通過數(shù)學(xué)建模來優(yōu)化學(xué)校的時(shí)間表安排，或者預(yù)測(cè)某種商品的銷售趨勢(shì)等.

例如 以一次函數(shù)的應(yīng)用為例，這一章節(jié)的任務(wù)旨在讓學(xué)生理解并掌握一次函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，學(xué)會(huì)從實(shí)際問題中抽象出一次函數(shù)模型，并通過不同的信息來源（如文字描述、數(shù)據(jù)表格、圖像等）來確定一次函數(shù)的表達(dá)式.這一章節(jié)的學(xué)習(xí)不僅為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的函數(shù)（如反比例函數(shù)、二次函數(shù)等）打下基礎(chǔ)，而且通過實(shí)際問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和問題解決能力.如某體重秤稱重有效范圍是0～100kg，體重x（kg）與指針的轉(zhuǎn)過角度y的對(duì)應(yīng)值如下表1所示：

請(qǐng)問，如果小華的體重是60kg，他站在體重秤上后，指針會(huì)指向哪里？通過這樣的問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的信息，幫助他們理解體重和指針位置之間的一次函數(shù)關(guān)系.通過表格，學(xué)生可以直觀地看到數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，從而更容易理解一次函數(shù)的概念和性質(zhì)；在這個(gè)過程中，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生利用描點(diǎn)畫圖的方式來分析函數(shù)表達(dá)式，這種教學(xué)方式不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性，還能夠培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力和探索精神，通過這個(gè)過程，學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)知識(shí)由表象到本質(zhì)的深化，真正理解和掌握一次函數(shù)的應(yīng)用.

2 構(gòu)建方程組模型，探索問題的本質(zhì)

方程模型是數(shù)學(xué)中一種非常重要的工具，廣泛應(yīng)用于各種實(shí)際問題中，這種轉(zhuǎn)化過程不僅有助于學(xué)生更深入地理解問題的本質(zhì)，還能夠提高他們的創(chuàng)造性思維能力.為了幫助學(xué)生更好地掌握這種能力，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中可以通過設(shè)置分層分類的問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生選擇和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、公式和定理等構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來描述變量之間的關(guān)系，這種教學(xué)方式不僅有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)技能，還能夠培養(yǎng)他們的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力.

例如 以應(yīng)用二元一次方程組為例，以增收節(jié)支教學(xué)為例，教師采取了一個(gè)富有創(chuàng)意和實(shí)用性的教學(xué)策略，即將學(xué)生引入實(shí)際生活的場(chǎng)景，通過收集和分析家庭水費(fèi)數(shù)據(jù)，理解并掌握如何應(yīng)用二元一次方程組來解決實(shí)際問題.在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生將這種方法應(yīng)用到更復(fù)雜的實(shí)際問題中，如公司利潤的計(jì)算，通過分析去年的利潤、今年的總產(chǎn)值和總支出的變化率，學(xué)生需要列出二元一次方程組來求解去年的總產(chǎn)值和總支出.“某公司去年的利潤（總產(chǎn)值—總支出）為200萬元.今年總產(chǎn) 值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元.去年的總產(chǎn)值、總支出分別是多少萬元？”為了解決這個(gè)問題，我們需要使用數(shù)學(xué)模型.設(shè)去年的總產(chǎn)值為 x 萬元，總支出為 y 萬元.根據(jù)題目，我們可以建立以下方程：

去年的利潤是x－y=200 萬元（總產(chǎn)值-總支出）；

今年的總產(chǎn)值比去年增加了20%，即今年的總產(chǎn)值為1.2x 萬元；

今年的總支出比去年減少了10%，即今年的總支出為0.9y 萬元；

今年的利潤是1.2x－0.9y=780萬元；由此，我們得出一元二次方程組：

x－y=2001.2x－0.9y=780

通過解決這類實(shí)際問題，學(xué)生不僅可以掌握方程模型這一有效的數(shù)學(xué)工具，還可以增強(qiáng)他們的經(jīng)濟(jì)意識(shí)和資源意識(shí)，這種綜合性的學(xué)習(xí)實(shí)踐過程對(duì)于促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展和提高他們的綜合素質(zhì)具有重要意義.

3 構(gòu)建幾何模型，進(jìn)行變式訓(xùn)練

初中數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含了豐富的模型思想，尤其是在幾何圖形的學(xué)習(xí)中，幾何圖形，如三角形、四邊形和圓等，不僅是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的重要載體.為了幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)建模的思想和方法，教師可以通過不斷地練習(xí)和反思，學(xué)生可以逐漸學(xué)會(huì)培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和問題解決能力.

例如 初中數(shù)學(xué)幾何中的勾股定理，李叔叔檢測(cè)石獅雕塑底座，如圖1所示：

李叔叔想確定正面的AC邊和BD邊是否都垂直于底邊AB.他只帶了一個(gè)卷尺，已測(cè)得AC=30厘米，AB=40厘米，BC=50厘米.我們?nèi)绾螏椭钍迨迮袛郃C邊是否垂直于AB邊呢？另外，如果小亮只有一個(gè)20厘米的刻度尺，他能否用這個(gè)工具來檢測(cè)AC和BD邊是否垂直于AB邊？

對(duì)于李叔叔的情況，我們可以使用勾股定理來驗(yàn)證，如果AC2+AB2=BC2，那么AC邊就是垂直于AB邊的.我們計(jì)算得到：AC2+AB2=2500，BC2=2500，所以AC邊是垂直于AB邊的.

對(duì)于小亮的情況，他有一個(gè)20厘米的刻度尺，要檢驗(yàn)AC邊是否垂直于AB邊，他可以嘗試以下方法：

如果AC的長度小于20厘米，他可以直接在AC上測(cè)量一個(gè)點(diǎn)E，使得AE的長度為10厘米（因?yàn)?0厘米的一半是10厘米）；

然后，小亮使用刻度尺從A點(diǎn)沿著AB方向測(cè)量10厘米到點(diǎn)F；檢查EF是否與AB垂直.如果EF與AB垂直，那么由于AE和AF的長度相等，并且都是10厘米，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，AC也應(yīng)該與AB垂直.

對(duì)于BD邊是否垂直于AB邊，小亮同樣可以使用類似的方法，但這次他需要在BD上測(cè)量.

在勾股定理的模型應(yīng)用中，教師應(yīng)該注重學(xué)生的探索和實(shí)踐能力，設(shè)計(jì)一些與現(xiàn)實(shí)生活相關(guān)的問題情境，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解決，從而提高他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和問題解決能力.

4 構(gòu)建概率與統(tǒng)計(jì)模型，激發(fā)學(xué)生思辨能力

統(tǒng)計(jì)建模和概率建模是數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，特別是在處理大量數(shù)據(jù)和隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，在初中階段，學(xué)生開始接觸這些概念，為他們?cè)诟邔哟紊系膶W(xué)習(xí)和將來的職業(yè)生涯打下基礎(chǔ).統(tǒng)計(jì)建模是一個(gè)系統(tǒng)的過程，它包括數(shù)據(jù)的收集、整理、分析和解釋.這個(gè)過程旨在從數(shù)據(jù)中提取有用的信息，建立數(shù)學(xué)模型以預(yù)測(cè)或解釋某些現(xiàn)象.在初中階段，學(xué)生通常會(huì)學(xué)習(xí)如何進(jìn)行抽樣調(diào)查，如何計(jì)算基本的統(tǒng)計(jì)量（如平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等），以及如何繪制圖表（如條形圖、折線圖、餅圖等）來直觀地展示數(shù)據(jù).概率建模則關(guān)注隨機(jī)事件發(fā)生的可能性.概率是一種數(shù)學(xué)工具，用于描述隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果.在初中階段，學(xué)生將學(xué)習(xí)基本的概率概念，如事件、隨機(jī)事件、獨(dú)立事件、互斥事件等，此外，學(xué)生還將學(xué)習(xí)如何使用概率來解決實(shí)際問題，如預(yù)測(cè)比賽結(jié)果、評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)等.

例如 為了估計(jì)池塘的螃蟹數(shù)量，我們采用了“抓、放、抓”的方法，首先，我們抓上來n只螃蟹，給它們打上標(biāo)記，然后再放回池塘，之后，我們?cè)俅芜M(jìn)行捕撈，并觀察每a只螃蟹中有b只是有標(biāo)記的，目標(biāo)是利用這些信息來估算池塘中總的螃蟹數(shù)量.根據(jù)題目，我們可以建立以下模型：

第一次捕撈并標(biāo)記了n只螃蟹；

第二次捕撈時(shí)，每a只螃蟹中有b只是有標(biāo)記的；

因此，我們可以得出以下結(jié)論：

在第二次捕撈的a只螃蟹中，有標(biāo)記的螃蟹所占的比例應(yīng)該與池塘中所有有標(biāo)記的螃蟹所占的比例相近，即：nT≈ba.現(xiàn)在我們要來解這個(gè)方程，找出 T 的值，計(jì)算結(jié)果為：T=anb.

通過這個(gè)問題，學(xué)生可以體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，并且學(xué)習(xí)到如何運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和邏輯思維來解決實(shí)際問題.在解決這個(gè)問題時(shí)，他們首先需要理解問題的本質(zhì)，即如何通過有限的樣本信息來估計(jì)總體的數(shù)量；然后運(yùn)用統(tǒng)計(jì)和概率的知識(shí)來建立數(shù)學(xué)模型.這種從具體到抽象、從簡單到復(fù)雜的教學(xué)方法有助于學(xué)生逐步深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，并培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)建模能力.

5 構(gòu)建不等式模型，培養(yǎng)發(fā)散思維

不等式模型是數(shù)學(xué)中一種強(qiáng)大的工具，特別適用于解決現(xiàn)實(shí)世界中那些涉及不確定數(shù)值或需要確定某個(gè)量變化范圍的問題，這些問題通常存在于各種實(shí)際場(chǎng)景中，如最佳方案選擇、交通運(yùn)輸規(guī)劃、生產(chǎn)規(guī)劃以及方案設(shè)計(jì)等.在這些領(lǐng)域中，不等式模型能夠幫助我們理解和分析問題的本質(zhì).這種方法不僅有助于我們更全面地理解問題，還可以為制定決策提供科學(xué)依據(jù).

例如 某工廠計(jì)劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，其中A產(chǎn)品的利潤為每件30元，B產(chǎn)品的利潤為每件20元.工廠的總投資為100000元，且用于生產(chǎn)A產(chǎn)品的資金不能超過總投資的60%.同時(shí)，工廠每天最多能生產(chǎn)A產(chǎn)品100件和B產(chǎn)品150件.如果工廠想要最大化總利潤，應(yīng)該如何安排生產(chǎn)？

解決這個(gè)問題首先要定義變量，設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品的數(shù)量為x件，生產(chǎn)B產(chǎn)品的數(shù)量為y件，總利潤為Z，之后構(gòu)建不等式模型：

利潤最大化，Z=30x+20y（總利潤是A產(chǎn)品和B產(chǎn)品利潤之和）；

資金限制，30x+20y≤60000（A產(chǎn)品和B產(chǎn)品的總成本不能超過總投資的60%）；

生產(chǎn)能力限制，x≤100和y≤150（每天最多能生產(chǎn)A產(chǎn)品100件和B產(chǎn)品150件）.

這個(gè)例題展示了如何使用不等式模型來解決一個(gè)涉及資源分配和利潤最大化的實(shí)際問題，通過構(gòu)建合適的不等式模型，我們可以找到滿足各種限制條件的最佳解決方案.

6 結(jié)語

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)多元化且廣泛應(yīng)用的領(lǐng)域，它可以從不同的角度進(jìn)行分類，為了更有效地增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，初中數(shù)學(xué)教師可以從學(xué)生日常生活中熟悉的問題入手，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解，幫助學(xué)生形成一個(gè)數(shù)學(xué)建模的框架，提升他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并為他們未來的學(xué)習(xí)和職業(yè)生涯打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

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［2］雷業(yè)紅，王小琪.滲透建模思想，強(qiáng)化數(shù)學(xué)能力——初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生建模素養(yǎng)發(fā)展路徑［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2024，（02）：16-17.