學習進階視角下項目式學習的實踐與思考

摘 要：綜合與實踐活動是培養(yǎng)學生綜合運用知識和方法解決實際問題能力的重要載體. 以“包裝紙盒的設計”為項目主題，借助具有挑戰(zhàn)性和開放性的驅(qū)動性問題，營造一個開放且有意義的探究空間，闡述基于學習進階理論的數(shù)學項目式學習的實踐與思考．

關鍵詞：包裝紙盒設計；項目式學習；數(shù)學核心素養(yǎng)

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）10-0009-07

引用格式：許笑笑，黃信永. 學習進階視角下項目式學習的實踐與思考：以“包裝紙盒的設計”為例［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2024（10）：9-15.

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）提出，初中階段綜合與實踐領域，可采用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數(shù)學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數(shù)學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術(shù)中遇到的現(xiàn)實問題. 由此可見，項目式學習是課程深化和時代發(fā)展的需求. 以“包裝紙盒的設計”為主題，賦予學生“包裝紙盒設計師”的角色，以項目學習任務群為主線落實數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展.

一、對學習進階的理解

在《標準》中，“進階”一詞共出現(xiàn)了4次，主要聚焦于學習目標進階、知識進階和核心素養(yǎng)進階. 基于學習進階理論的初中數(shù)學項目式學習旨在揭示學生在學習和探索某一主題時，對該主題的思考和理解，以及實踐活動經(jīng)驗在相當長一段時間內(nèi)是如何從簡單到復雜、從低水平到高水平、從新手到專家逐漸發(fā)展的，以提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)為重點，強調(diào)學習思維的遞進.“學習進階”包含6個基本要素，如表1所示.

表1 學習進階的6個要素

[要素 內(nèi)容 進階起點 在學生開始學習和探究某一內(nèi)容或?qū)嵺`前具備的實際水平 進階終點 學習進階的最高水平（頂點），是某一階段學習結(jié)束時期望學生達到的學科理解能力 進階維度 學科內(nèi)或科學實踐過程中的核心概念，通過追蹤學生在這些維度上的水平可以了解其整體學習進程 進階水平 指在學習進階所追蹤的發(fā)展路徑上存在多個相互關聯(lián)的中間步驟，這些步驟反映了學生思維發(fā)展過程的普遍階段 學業(yè)表現(xiàn) 指處于特定理解水平的學生在完成某類任務時所應有的表現(xiàn) 學業(yè)測評 用于追蹤學生在預期進階路徑上的發(fā)展情況 ]

二、項目主題的確定

在確定項目主題的過程中，需要考慮問題背景、核心知識、學生學情等因素，基于此建立項目式學習與學科文化、數(shù)學元素及人文社會的廣泛聯(lián)系. 項目主題是項目式學習活動開展的“心臟”，涉及一個待解決的實際問題和對學生具有一定挑戰(zhàn)性的驅(qū)動性問題.《標準》指出，讓學生借助折疊紙盒等活動經(jīng)驗，認識立體圖形展開圖，建立立體圖形與展開后的平面圖形之間的聯(lián)系，培養(yǎng)空間觀念和空間想象能力. 因此，“包裝紙盒的設計”項目重點探究如何在給定材料的情況下，設計、繪制出一個容積盡可能大的包裝紙盒.

三、基于學習進階理論的項目實施過程

1. 進階起點

由表2可知，“包裝紙盒的設計”與第三學段和第四學段的核心知識具有緊密聯(lián)系.

表2 學生的學習進階起點（知識儲備）

[學段 核心知識 《標準》要求 第三學段 展開圖 借助折疊紙盒等活動經(jīng)驗，認識立體圖形展開圖，培養(yǎng)空間觀念和空間想象能力 第四學段 二元一次方程組 能根據(jù)二元一次方程組的特征，選擇代入消元法或加減消元法解二元一次方程組 等腰三角形

直角三角形 探索并掌握等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理 一元二次方程 能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程 相似三角形 了解相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理 展開圖 能根據(jù)展開圖想象和制作模型；通過實例，了解展開圖在現(xiàn)實生活中的應用 ]

該項目是以初中數(shù)學核心知識為基點，在學生學完立體圖形的展開圖之后，開展的綜合與實踐活動. 此時，學生具備了一定的發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力，擁有一定的應用意識、創(chuàng)新意識和實踐能力，初步掌握了問題解決的基本步驟，為項目程序的開展奠定了基礎.

2. 進階終點

包裝紙盒在生活中隨處可見，其中蘊含著數(shù)學、科學、美學等學科知識. 因此，設計包裝紙盒具有豐富的價值和意義. 基于數(shù)學核心素養(yǎng)導向，教學目標自始至終統(tǒng)領著項目程序的設定、項目活動的組織、項目過程的優(yōu)化和項目質(zhì)量的評價. 根據(jù)布盧姆的教育目標分類法，給出學習進階終點的三個目標——基礎知識目標、綜合能力目標和精神品質(zhì)目標，如表3所示.

表3 學習進階終點

[進階終點 描述 基礎知識目標 在設計、繪畫和制作包裝紙盒實物模型的過程中，掌握相似三角形、等腰直角三角形、立體圖形表面展開圖、二元一次方程組和一元二次方程等核心知識，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，提高運算能力、數(shù)據(jù)觀念和幾何直觀等核心素養(yǎng) 綜合能力目標 在拆解和分析包裝紙盒的過程中，學會用數(shù)學的眼光觀察包裝紙盒的不同形狀，感受不同設計方案的差異性，在將立體圖形展開為平面圖形的過程中，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思想 在決策最優(yōu)方案過程中，學會用數(shù)學的思維思考剪裁策略，用數(shù)學的方式反思生活實踐，培養(yǎng)推理能力和運算能力，作出合理決策 在總結(jié)和撰寫課題報告的過程中，學會用數(shù)學的語言表達剪裁方案的設計原理，從理論到實踐再從實踐到理論，培養(yǎng)幾何直觀和抽象能力等核心素養(yǎng) 精神品質(zhì)目標 在項目化問題解決過程中，全面培養(yǎng)動手能力、交流能力和合作能力，通過滲透節(jié)能減排的德育和紙盒繪制的美育，落實育人價值 ]

3. 進階維度

該項目通過追蹤學生對立體圖形表面展開圖和相似三角形的發(fā)展水平，了解學生整體的學習進程，提升數(shù)學核心素養(yǎng).

4. 進階水平

（1）進階階段1：課前導學，任務前置.

情境1：眾所周知，紙張的生產(chǎn)是以破壞環(huán)境為代價的. 資料顯示，目前我國每生產(chǎn)1噸紙就要耗費約20棵大樹、100立方米水. 如果每人每天浪費1張紙，全國每天就要浪費約2 700噸紙、54 000棵大樹、270 000噸水.

任務1：收集和認識包裝紙盒，記錄相關資料.

任務2：拆解和分析包裝紙盒，探究結(jié)構(gòu)特征.

任務3：在5 × 5的方格紙中，探究棱長為1的密閉立方體包裝紙盒的表面展開圖有哪幾種. 在預學單中畫出各類不同的表面展開圖.

學業(yè)表現(xiàn)：能夠基于情境1，樹立節(jié)能減排的環(huán)保意識；在任務1中，能夠?qū)嵨锪Ⅲw圖形抽象為數(shù)學中的理想幾何體，并從數(shù)學的角度分析其結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)抽象能力；在任務2中，能夠用數(shù)學的思維反思生活實物，培養(yǎng)幾何直觀和空間觀念，尋找生活中的數(shù)學韻味；在任務3中，能夠?qū)ζ矫鎺缀螆D形的位置擺放進行構(gòu)思，畫出密閉立方體的展開圖，培養(yǎng)空間觀念.

表4給出了課前導學階段所需要的數(shù)學知識和技能、活動形式及成果建議.

表4 課前導學階段所需的數(shù)學知識和技能、活動形式

和成果建議

[類別 內(nèi)容 數(shù)學知識和技能 （1）能辨認長方體、正方體、圓柱等立體圖形；

（2）能辨認長方形、正方形、圓等平面圖形；

（3）能直觀描述并記錄這些立體圖形和平面圖形的特征，能根據(jù)描述的特征對圖形進行簡單分類，形成空間觀念；

（4）認識立體圖形表面展開圖，建立立體圖形與展開后的平面圖形之間的聯(lián)系；

（5）有對包裝紙盒的觀察能力和審美能力 活動形式 用數(shù)學的眼光觀察包裝紙盒，描述觀察到的數(shù)學元素及其特征 成果建議 以作品展區(qū)（推薦）或課件等形式展示收集的作品，并簡單描述涉及的數(shù)學知識 ]

【教學說明】勤儉節(jié)約是中華民族的傳統(tǒng)美德. 利用情境1滲透德育，推進“大思政”建設. 任務1和任務2中的開放性問題設計，通過讓學生用數(shù)學的眼光“看”包裝紙盒，發(fā)現(xiàn)包裝紙盒中的數(shù)學元素，使學生感受幾何圖形的對稱之美、變換之美和組合之趣，實現(xiàn)“低起點、多層次”的個性化教學. 任務3可以喚醒學生對立體圖形的表面展開圖知識點的記憶，激發(fā)學生學習的主觀能動性，減輕課中的學習壓力.

（2）進階階段2：積累經(jīng)驗，初探項目.

小組合作展示：課中展示任務1、任務2和任務3的課前預學成果.

學業(yè)表現(xiàn)：用數(shù)學的眼光“看”包裝紙盒，描述看到的數(shù)學元素及其特征，能夠剖析尋找立體圖形展開圖的思考路徑.

【教學說明】借助學具（正方形磁力片），鼓勵學生動手操作、動腦想象，感知立體圖形和平面圖形之間的轉(zhuǎn)化及這兩類圖形的關聯(lián). 通過小組的課前探究和師生、生生的課中合作，確定密閉立方體包裝紙盒的表面展開圖種類，為下一環(huán)節(jié)的畫圖設計和計算論證作鋪墊.

（3）進階階段3：創(chuàng)設情境，呈現(xiàn)項目.

情境2：某公司推出一款環(huán)保包裝盒，一個包裝盒由一張卡紙折疊而成，其組裝過程更加節(jié)省勞動力. 根據(jù)計算，一個紙盒的設計最高能降低40%的包裝成本，還能避免過度包裝帶來的資源浪費.

任務4：用一張邊長為20 cm的正方形紙片，探究如何剪裁出一張展開圖，并將這張展開圖折疊、制作成一個容積盡可能大的密閉立方體包裝紙盒.（不計黏合處、不重疊.）

學業(yè)表現(xiàn)：在情境2和任務4中，能感受到在原材料有限的情況下，設計容積盡可能大的包裝紙盒對節(jié)能減排的意義和價值.

【教學說明】教師通過微視頻展示情境2及學生手工制作密閉立方體包裝紙盒的過程. 借助短視頻的個e28320c3d0f36aa840c9c759fac8e174b2c1071bde4b508619c1a5cda122a562性化制作，既能起到示范性作用，又符合學生多樣化的審美需求. 通過任務4，可以串聯(lián)各學段的學科核心知識，特別是相似三角形和立體圖形的知識，其知識結(jié)構(gòu)如圖1所示. 該知識結(jié)構(gòu)圖為數(shù)學項目學習的開展和問題的解決提供了豐富的素材.

[立體圖形][幾何辨別][直觀圖][三視圖] [幾何計算][體積][表面積] [結(jié)構(gòu)特征][圓柱][棱柱] [其他][頂點數(shù)][棱數(shù)] [面數(shù)] [圖1 立體圖形知識結(jié)構(gòu)圖]

（4）進階階段4：設計方案，探究項目.

小組合作探究1：（拆解項目，特例設計，巧設基礎性問題）在邊長為20 cm的正方形紙片中，將表面展開圖橫向放置.

學業(yè)表現(xiàn)：能夠借助學具拼圖及計算發(fā)現(xiàn)容積盡可能大的正方體表面展開圖設計方案.

如圖2，當將表面展開圖橫向放置時，密閉立方體包裝紙盒的棱長為4 cm或5 cm.

[（a）][（b）][（c）][（d）][（e）][圖2 部分橫向放置的作品設計

]

小組合作探究2：（推進項目，優(yōu)化設計，巧設發(fā)展性問題）在邊長為20 cm的正方形紙片中，將正方體表面展開圖斜向放置.

學業(yè)表現(xiàn)：借助正方形磁力片，猜想容積盡可能大的裁剪方案并進行理論計算.

如圖3，當將正方體表面展開圖斜向放置時，密閉立方體包裝紙盒的棱長分別為[1023 cm，] [4345 cm，][202619 cm]，[552 cm]，[42 cm].

[（e）] [（b）] [（d）] [（a）] [（c）][圖3 部分斜向放置的作品設計

]

小組合作探究3：（深化項目，創(chuàng)新設計，巧解挑戰(zhàn)性問題）探究容積更大的設計方案.

學業(yè)表現(xiàn)：借助等腰直角三角形、矩形和正方形磁力片，部分學生尋找到了容積更大的設計方案.

如圖4，密閉立方體包裝紙盒的棱長分別為4 cm，[52 cm]，[42 cm]，[407 cm].

[（a）] [（c）] [（b）] [（d）][圖4 部分學生的創(chuàng)新作品設計

]

表5給出了課中研學階段所需的數(shù)學知識和技能、活動形式和成果建議.

表5 課中研學階段所需的數(shù)學知識和技能、活動形式

和成果建議

[類別 內(nèi)容 數(shù)學知識和技能 （1）了解相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理；

（2）掌握等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理；

（3）掌握二元一次方程組的解法；

（4）運用勾股定理解決問題；

（5）發(fā)展抽象能力、推理能力、運算能力、幾何直觀、模型觀念、數(shù)據(jù)觀念和創(chuàng)新意識 活動形式 用數(shù)學的眼光觀察包裝紙盒，借助學具進行猜想、驗證、推理和擇優(yōu) 成果建議 從建模到解模，從猜想到驗證，描述包裝紙盒的設計全過程 ]

【教學說明】從橫向放置展開圖這一特例入手，呈現(xiàn)指向明確、計算簡單的基礎性問題，使得每名學生都能獲得一定的數(shù)學知識，不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展. 在探究1中的設計經(jīng)驗的基礎上，利用探究2將學生的學習重心轉(zhuǎn)移到計算上來. 通過分析正方形中直角折線段長度的求法，有利于培養(yǎng)學生的抽象能力和運算能力. 立足學生思維的最近發(fā)展區(qū)，考慮學生在探究1和探究2中已經(jīng)達到的水平，通過探究3發(fā)展學生的高階思維，培養(yǎng)學生的空間觀念和創(chuàng)新意識.

（5）進階階段5：課后延學，學業(yè)測評.

任務5：（發(fā)展項目，迭代設計，巧探延學性問題）在一張長為36 cm、寬為24 cm的矩形紙片中，如何剪裁出一張正方體的表面展開圖，并將這張展開圖折疊制作成一個容積盡可能大的無蓋立方體包裝紙盒？（不計黏合處、不重疊.）

針對上述問題，各小組合作探究并匯報探究過程中遇到的困難及解決的辦法，呈現(xiàn)小組的最優(yōu)設計方案.

任務6：制作包裝紙盒，并展示和介紹包裝紙盒.

任務7：撰寫課題報告，并進行小組匯報.

學業(yè)測評：針對該項目成果，采取三維立體定量評價和定性評價相結(jié)合的評價方式. 定量評價包括學生自評、小組互評和教師評價三個維度，涉及過程性評價和結(jié)果性評價兩個部分. 項目成果立體評價如表6所示.

表6 項目成果立體評價表

[評價標準 優(yōu)秀得4分，良好得3分，一般得2分，合格得1分 評價內(nèi)容 評價分數(shù) 自評 互評 師評 項目過程評價 能綜合運用數(shù)學知識和技能，積極主動地參與方案的設計及包裝紙盒的制作 能正確表達自己的想法 尊重他人的建議并能進行有效溝通 具有創(chuàng)新能力和批判能力，遇到困難不退縮、不放棄 能利用各種資源解決問題 活動過程記錄清晰、完整 項目結(jié)果評價 能根據(jù)問題尋求包裝紙盒設計方案 包裝紙盒有圖案和文字的美術(shù)設計 匯報表達流暢、語言邏輯清晰 撰寫課題研究報告 綜合評定 ]

定性評價的內(nèi)容如圖5所示.

[在本次項目活動中，用文字進一步描述在該項目活動過程中，

你的困惑： ；

你的收獲： ；

你的建議： ；

你運用到的數(shù)學知識和能力： ；

你的最優(yōu)方案： ][圖5]

學業(yè)表現(xiàn)：在任務5中，能夠借助正方形磁力片猜想體積盡可能大的裁剪方案并進行計算驗證.

如圖6，無蓋立方體包裝紙盒的棱長分別為[9 cm]，[62 cm]，[45 cm]，[45 cm]，[3237 cm].

[（a）] [（b）] [（c）] [（d）] [（e）][圖6 部分學生的作品設計

]

在任務6中，能夠運用跨學科知識（美學知識、語言知識、勞動技術(shù)知識和廣告學知識等）自制精美包裝紙盒，將知識運用到現(xiàn)實情境中，培養(yǎng)幾何直觀和動手實踐能力. 在任務7中，能夠?qū)椖炕瘑栴}解決的全過程進行總結(jié)，提升對數(shù)學知識的研究意識和應用意識.

表7給出了課后延學階段所需的數(shù)學知識和技能、活動形式和成果建議.

表7 課后延學階段所需的數(shù)學知識和技能、活動形式

和成果建議

[類別 內(nèi)容 數(shù)學知識和技能 （1）了解相似三角形的性質(zhì)定理和判定定理；

（2）掌握等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)定理和判定定理；

（3）掌握二元一次方程組的解法；

（4）運用勾股定理解決問題；

（5）發(fā)展抽象能力、推理能力、運算能力、幾何直觀、模型觀念、數(shù)據(jù)觀念和創(chuàng)新意識 活動形式 用數(shù)學的思維設計和繪制包裝紙盒，用數(shù)學的語言撰寫課題報告 成果建議 展示設計的包裝紙盒作品，并撰寫設計說明，注明姓名和作品名稱；制作課件，簡明扼要地介紹包裝紙盒設計和制作的全過程，并描述涉及的數(shù)學知識和方法 ]

【教學說明】類比課前情境和課中情境的學習過程，本環(huán)節(jié)對無蓋立方體包裝紙盒的設計和繪制方案進行再梳理、再鞏固. 在決策最優(yōu)方案的過程中，學會用數(shù)學的思維思考剪裁策略，用數(shù)學的方式反思生活實踐，培養(yǎng)了學生的推理能力和運算能力. 在繪制包裝紙盒實物模型的過程中，運用平面設計等知識技能，滲透紙盒繪制中的美育，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識. 在撰寫課題報告的過程中，學會用數(shù)學的語言表達剪裁方案的設計原理，從理論到實踐再從實踐到理論，培養(yǎng)了學生的幾何直觀和抽象能力，使學生積累了基本思想、基本方法和基本活動經(jīng)驗.

四、項目反思

1. 關注進階路徑，培養(yǎng)高階思維

在“包裝紙盒的設計”項目中，學生經(jīng)歷了三個階段的進階路徑（如圖7），實現(xiàn)了從項目驅(qū)動、項目設計到成果生成的目的. 學生通過計算、探究、表征、合作、直觀想象、動手操作和繪圖設計等過程，經(jīng)歷觀察包裝紙盒、設計包裝紙盒、優(yōu)化方案設計、制作包裝紙盒、撰寫設計報告和交流展示成果等環(huán)節(jié)，最終完成包裝紙盒產(chǎn)品制作. 本項目用事實性知識支撐概念性知識的形成，以實現(xiàn)從低階認知到高階認知的跨越.

2. 重視數(shù)學建模，提升核心素養(yǎng)

傳統(tǒng)的數(shù)學教育往往是針對數(shù)學問題進行解決，而適應未來需求的教育應該是在真實的情境中去解決真實問題.《標準》指出，項目學習教學所涉及的問題主要是現(xiàn)實世界中具有開放性的問題，問題解決需要將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題. 由此可見，“真情境”是衡量項目優(yōu)劣的首要指標，而數(shù)學建模是聯(lián)系數(shù)學與現(xiàn)實生活的基本途徑. 該項目中，從現(xiàn)實問題中的情境1和情境2出發(fā)提出項目主題，設置開放性任務4和任務5. 在學生分組合作完成探究1、探究2和探究3后，教師及時引導學生進行提煉和總結(jié)，生成圖8，同時借助圖8完成任務5、任務6和任務7，得到包裝紙盒裁剪問題的可視化解決策略.

3. 構(gòu)建任務驅(qū)動，優(yōu)化進階模式

教學有法，貴在得法. 針對本項目形成了基于任務驅(qū)動的“三場四環(huán)”遞進式學習模式（如圖9），即以課前場景、課中場景、課后場景為三個主要板塊，以任務驅(qū)動、任務挑戰(zhàn)、任務迭代、任務進階為四個基本環(huán)節(jié). 考慮到項目式學習需要具備小組合作探究和設置開放性問題等特點，本項目力求做足課前場景，做實課中場景，做優(yōu)課后場景. 在課前場景中，教師下發(fā)預學單，分析學生的進階起點，明確學生的進階終點. 在課中場景中，通過導學單的引領，明確學生的進階水平，全程追蹤進階維度，分析學生的學業(yè)表現(xiàn). 在課后場景中，通過延學單的設計，助力學生生成研究成果，助力教師開展學業(yè)測評.

作者簡介：許笑笑（1992— ），女，中學一級教師，主要從事數(shù)學教學研究；

黃信永（1989— ），男，中學一級教師，主要從事初中數(shù)學課堂教學研究.