摘要： 針對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中存在中介軸承波紋度的問題，以含變截面外轉(zhuǎn)子的雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)為研究對象，考慮中介軸承滾動(dòng)體和內(nèi)、外圈滾道波紋度，基于有限元法建立了雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，采用四階Runge?Kutta數(shù)值解法求解方程，分析了波紋度激勵(lì)對系統(tǒng)頻譜特征和幅頻響應(yīng)曲線的影響。結(jié)果表明：內(nèi)、外圈滾道存在波紋度時(shí)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)內(nèi)、外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻和保持架轉(zhuǎn)頻的組合頻率，滾動(dòng)體存在波紋度時(shí)系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)偶數(shù)倍的滾動(dòng)體自轉(zhuǎn)頻率；考慮轉(zhuǎn)子不平衡激勵(lì)，外圈滾道波紋度會(huì)增大外轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的共振區(qū)域的振動(dòng)，且隨著波紋度幅值的增加，系統(tǒng)的振動(dòng)會(huì)在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)增大，而內(nèi)圈滾道波紋度與不平衡激勵(lì)兩者的振動(dòng)響應(yīng)會(huì)在內(nèi)轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的第二次共振區(qū)域出現(xiàn)近似同頻反相的現(xiàn)象，系統(tǒng)的振動(dòng)會(huì)隨著波紋度幅值的增加而降低，在其他區(qū)域的振動(dòng)會(huì)增大，相對于高轉(zhuǎn)速區(qū)域，滾動(dòng)體波紋度對低轉(zhuǎn)速區(qū)域的振動(dòng)特性會(huì)有較大影響。

關(guān)鍵詞： 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)； 雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)； 中介軸承； 波紋度； 幅頻響應(yīng)

中圖分類號(hào)： O347.6； TH113； TH133 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）09-1523-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.09.009

引 言

現(xiàn)代燃?xì)廨啓C(jī)和航空發(fā)動(dòng)機(jī)一般采用有中介軸承支承的雙轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)形式，中介軸承（一般為圓柱滾子軸承或深溝球軸承）［1］的存在增大了高、低壓轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)耦合效應(yīng)。由于機(jī)械加工誤差不可避免，中介軸承內(nèi)圈、外圈滾道和滾動(dòng)體表面會(huì)產(chǎn)生波紋度，而波紋度又是轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)振動(dòng)的重要激勵(lì)源之一，會(huì)使雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)表現(xiàn)出更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性。因此，有必要對含中介軸承波紋度的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性展開研究。

對于單轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)，顧曉輝等［2］考慮了球軸承內(nèi)、外圈滾道波紋度、徑向游隙和非線性赫茲力，研究了波紋度最大幅值和轉(zhuǎn)速對單轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)非線性振動(dòng)的影響，并用關(guān)聯(lián)維數(shù)判別了系統(tǒng)波紋度故障的程度。Wang等［3］考慮了滾子軸承的波紋度和徑向游隙，建立了轉(zhuǎn)子?滾動(dòng)軸承的四自由度動(dòng)力學(xué)方程，通過分岔圖、龐加萊截面圖和頻譜圖等分析了系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)定性。Zhang等［4］考慮了球軸承波紋度、不平衡力和滾動(dòng)體的變?nèi)岫日駝?dòng)，提出了一個(gè)全面的轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，深入討論了軸承波紋度的幅值和初相角、轉(zhuǎn)子偏心、軸承預(yù)緊力和旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)阻尼對系統(tǒng)失穩(wěn)區(qū)域的影響。康鋒等［5］考慮了薄壁滾動(dòng)軸承內(nèi)、外圈滾道波紋度、徑向間隙等非線性因素，建立了薄壁軸承?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，分析了系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)特性。劉永葆等［6］以某船用燃?xì)廨啓C(jī)低壓轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，建立了軸承波紋度故障下的雙跨三支承滾動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，研究了波紋度最大幅值和波紋度個(gè)數(shù)對系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性影響規(guī)律。余登亮等［7］建立了球軸承內(nèi)、外圈表面的波紋度模型，研究了含波紋度滾動(dòng)軸承支撐下裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生碰摩故障時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性。Nan等［8］考慮軸承波紋度故障、不平衡激勵(lì)、非線性Hertz接觸力、變?nèi)岫日駝?dòng)以及軸材料的物理非線性剛度等，建立了一種新的滾動(dòng)軸承支承的非線性轉(zhuǎn)子模型，研究了波紋度、間隙和質(zhì)量偏心對動(dòng)力學(xué)行為的影響。Harsha等［9］考慮了球軸承內(nèi)、外圈滾道波紋度和滾珠與滾道之間的非線性接觸力，對球軸承支承的剛性轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。

在雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)方面，考慮軸承波紋度的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的研究較少，Lu等［10］、Ma等［11］基于有限元法建立了雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，考慮中介軸承的徑向游隙等非線性因素，分析了徑向游隙對系統(tǒng)非線性振動(dòng)的影響，沒有考慮中介軸承波紋度的影響。侯磊等［12］考慮了中介軸承內(nèi)、外圈滾道波紋度，用單個(gè)正弦函數(shù)表達(dá)波紋度波形，應(yīng)用拉格朗日方程建立了雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，主要從分岔圖和龐加萊截面圖角度分析了轉(zhuǎn)速、波紋度幅值等參數(shù)對系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為。李靜等［13］建立了考慮中介軸承內(nèi)圈滾道波紋度的雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，將波紋度模型簡化為單個(gè)正弦函數(shù)形式，從時(shí)變剛度曲線、幅頻響應(yīng)曲線、分岔圖以及龐加萊截面圖方面，對比分析了理想中介軸承和考慮內(nèi)圈滾道波紋度時(shí)雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)波紋度使雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)更加復(fù)雜。

上述研究工作主要分析了單轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)存在波紋度時(shí)的振動(dòng)特性，少量工作針對雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)探索了內(nèi)、外圈滾道波紋度對系統(tǒng)分岔和混沌特性的影響規(guī)律，對雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的研究都鮮有考慮到滾動(dòng)體波紋度的影響。本文將以雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)為研究對象，考慮中介軸承滾動(dòng)體和內(nèi)、外圈滾道的波紋度，將波紋度模型簡化為多個(gè)周期性的余弦函數(shù)的疊加，利用有限元法建立了含變截面外轉(zhuǎn)子的雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，對波紋度激勵(lì)下雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)的振動(dòng)頻譜特征和幅頻響應(yīng)特性開展研究。

1 雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模

1.1 中介軸承波紋度模型的建立

理想滾動(dòng)軸承的內(nèi)、外圈滾道和滾動(dòng)體表面為光滑曲面，但由于機(jī)械加工誤差，實(shí)際會(huì)產(chǎn)生帶波紋度的軸承表面。此時(shí)滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈滾道接觸面的曲率半徑是時(shí)變的，導(dǎo)致接觸力也是時(shí)變的。本文研究的中介軸承為滾珠軸承，軸承外圈滾道剛性固定在外轉(zhuǎn)子上，隨外轉(zhuǎn)子同速轉(zhuǎn)動(dòng)，內(nèi)圈滾道剛性固定在內(nèi)轉(zhuǎn)子上，隨內(nèi)轉(zhuǎn)子同速轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖1所示為軸承內(nèi)圈、外圈滾道和滾動(dòng)體波紋度模型的示意圖。將軸承波紋度簡化為多個(gè)余弦函數(shù)的疊加［3］，疊加的數(shù)目和波紋度的階數(shù)有關(guān)。

建立波紋度模型之前，首先通過理論力學(xué)推導(dǎo)滾動(dòng)體的自轉(zhuǎn)速度，假設(shè)滾動(dòng)體與滾道之間為純滾動(dòng)，無滑動(dòng)，在接觸點(diǎn)上兩表面的線速度相等，接觸角為0°。如圖2所示為滾動(dòng)體和內(nèi)、外圈滾道之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖。

設(shè)軸承內(nèi)、外圈滾道同向旋轉(zhuǎn)，外圈滾道轉(zhuǎn)速大于內(nèi)圈滾道轉(zhuǎn)速；，兩點(diǎn)分別為滾動(dòng)體與外圈滾道和內(nèi)圈滾道的接觸點(diǎn)，為滾動(dòng)體中心；，，分別為，，三點(diǎn)的線速度；，，分別為內(nèi)圈、外圈滾道和保持架轉(zhuǎn)速，，，分別表示它們的大小；為滾動(dòng)體自轉(zhuǎn)速度；CA代表由C點(diǎn)指向A點(diǎn)的矢量；CB代表由C點(diǎn)指向B點(diǎn)的矢量；，，分別為內(nèi)圈、外圈滾道半徑和滾動(dòng)體半徑，則由剛體平面運(yùn)動(dòng)可得：

（1）

則內(nèi)、外圈滾道同向旋轉(zhuǎn)時(shí)滾動(dòng)體自轉(zhuǎn)速度大小和保持架的旋轉(zhuǎn)速度大小分別為：

（2）

（3）

對于波紋度模型，設(shè)單個(gè)余弦函數(shù)的表達(dá)式為：

（4）

式中 j為單個(gè)余弦函數(shù)模型的波紋度階數(shù)；為波紋度的幅值；為波紋度波紋的波長；為某時(shí)刻距離參考點(diǎn)的弧長；為波紋度的初始接觸角；內(nèi)圈、外圈滾道和滾動(dòng)體的波紋度參數(shù)表達(dá)式如下：

（5）

式中 為滾動(dòng)體編號(hào)；為滾動(dòng)體個(gè)數(shù)；，分別為某時(shí)刻第個(gè)滾動(dòng)體和內(nèi)圈、外圈滾道接觸點(diǎn)相對滾動(dòng)體參考點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；，分別為某時(shí)刻第個(gè)滾動(dòng)體和內(nèi)圈、外圈滾道接觸點(diǎn)相對內(nèi)圈、外圈滾道參考點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；，，分別為內(nèi)圈、外圈滾道和滾動(dòng)體波紋度波紋的波長。

滾動(dòng)軸承工作時(shí)，由于滾動(dòng)體的旋轉(zhuǎn)路徑不可預(yù)測，假設(shè)滾動(dòng)體表面波紋度僅具有平面運(yùn)動(dòng)，和分別為第個(gè)滾動(dòng)體與內(nèi)圈、外圈滾道接觸時(shí)的滾動(dòng)體波紋度，和分別為第個(gè)滾動(dòng)體與內(nèi)圈、外圈滾道接觸時(shí)內(nèi)圈和外圈滾道的波紋度，則將式（5）代入式（4），并疊加多個(gè)余弦函數(shù)可得內(nèi)圈、外圈滾道以及滾動(dòng)體的波紋度表達(dá)式為［3］：

（6）

式中 為多個(gè)余弦函數(shù)疊加模型的波紋度階數(shù)，在后文中簡稱為波紋度階數(shù)；，，分別為內(nèi)圈、外圈滾道和滾動(dòng)體的波紋度幅值；，，分別為內(nèi)圈、外圈滾道和滾動(dòng)體波紋度的初始接觸角度。

1.2 考慮波紋度的中介軸承彈性恢復(fù)力建模

考慮中介軸承為深溝球軸承，根據(jù)滾動(dòng)軸承Hertz接觸理論，第個(gè)球與內(nèi)、外圈滾道接觸時(shí)的接觸力為［14］：

（7）

式中 為第個(gè)滾動(dòng)體與滾道之間的彈性變形；為滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈滾道之間的等效Hertz接觸剛度；為Heaviside階躍函數(shù)。

設(shè)軸承徑向游隙為，內(nèi)圈滾道在方向和方向移動(dòng)了距離和，外圈滾道在方向和方向移動(dòng)了距離和，則考慮軸承波紋度的彈性變形為：

（8）

式中 為中介軸承第個(gè)滾動(dòng)體的位置角，即，則可得軸承的總彈性恢復(fù)力在方向和方向的分力為：

（9）

1.3 雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

參考文獻(xiàn)［15］，建立了本文的雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)模型，如圖3所示。軸承1和2為內(nèi)轉(zhuǎn)子的支承軸承，軸承3為外轉(zhuǎn)子的支承軸承，軸承4為中介軸承。根據(jù)圓盤和軸承的位置，將內(nèi)轉(zhuǎn)子劃分為6個(gè)節(jié)點(diǎn)，外轉(zhuǎn)子劃分為4個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中8，9節(jié)點(diǎn)之間的軸段單元為變截面形式。

等截面和變截面軸段單元示意圖如圖4所示，變截面軸段采用錐形梁單元。設(shè)軸段單元的長度為，密度為，拉壓彈性模量為，泊松比為，剪切彈性模量為，橫截面面積為，截面對中性軸的慣性矩為，為截面剪切系數(shù)，即：

（10）

式中 ，分別為圓截面的內(nèi)徑和外徑。

引入剪切參數(shù)，等截面軸段的剪切參數(shù)為一個(gè)常數(shù)，等截面軸段采用考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的Timoshenko梁模型；而變截面軸段的剪切參數(shù)隨著軸向位置是變化的，不再是常數(shù)，比較復(fù)雜，由于本文模型僅考慮了一個(gè)變截面軸段，其剪切效應(yīng)對計(jì)算結(jié)果影響很小可忽略，因此變截面軸段采用考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的Rayleigh梁模型。

在單元上取一微元，由拉格朗日方程可得等截面梁單元移動(dòng)慣性矩陣、轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩陣和陀螺力矩矩陣、剛度矩陣分別為：

（11）

（12）

（13）

式中 ，為單元形函數(shù)［16］。

推導(dǎo)變截面梁單元矩陣時(shí)，橫截面面積、截面對中性軸的慣性矩不再是一個(gè)常數(shù)，而是根據(jù)截面形狀隨著軸向位置變化的?？蓪卧獌?nèi)參數(shù)隨著軸向距離的變化關(guān)系式展開為多項(xiàng)式的形式，再進(jìn)行積分累加可得到變截面梁單元矩陣［17］。建立變截面梁問題的關(guān)鍵在于將軸段截面的變化參數(shù)展開為多項(xiàng)式的形式，和根據(jù)截面變化形狀可直接展開為多項(xiàng)式或者通過泰勒展開得到其多項(xiàng)式如下：

（14）

（15）

式中 和分別表示S和I展開多項(xiàng)式的最高次數(shù)；n表示多項(xiàng)式連加求和中的一個(gè)過程變量?？紤]變截面梁為線性變化，由拉格朗日方程可得線性錐形梁單元移動(dòng)慣性矩陣、轉(zhuǎn)動(dòng)慣性矩陣、陀螺力矩矩陣、剛度矩陣分別為：

（16）

（17）

（18）

利用有限元法單元組合規(guī)則，可得雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

（19）

式中 ，，分別為內(nèi)、外轉(zhuǎn)子的總質(zhì)量矩陣、總回轉(zhuǎn)矩陣和總剛度矩陣；為瑞利阻尼矩陣；，為轉(zhuǎn)子的不平衡力；為圓盤的重力；，為軸承非線性彈性恢復(fù)力；，為內(nèi)、外轉(zhuǎn)子的廣義位移向量，即：

（20）

2 有限元模型驗(yàn)證及求解方法

2.1 有限元模型驗(yàn)證

內(nèi)、外轉(zhuǎn)子參數(shù)如表1所示。圓盤1和2的參數(shù)相同，質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為9.683 kg，0.049 kg·m2，0.0245 kg·m2；圓盤3和4的參數(shù)相同，質(zhì)量、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和直徑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為9.139 kg，0.04878 kg·m2，0.02439 kg·m2；內(nèi)、外轉(zhuǎn)子材料密度為7800 kg/m3；泊松比為0.3；拉壓彈性模量為2.11011 Pa。將支承軸承線性化處理，x和y方向的剛度相同，支承軸承1，2，3的剛度分別為，， N/m。中介軸承為深溝球軸承6005，基本幾何參數(shù)如表2所示，其等效接觸剛度kb由文獻(xiàn)［1］中的方法計(jì)算為8.4922×109 N/m1.5。

為驗(yàn)證本文所編寫的雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)有限元計(jì)算程序是有效可行的，將使用ANSYS軟件計(jì)算雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速和本文編寫有限元程序計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對比，先假設(shè)中介軸承兩個(gè)方向的剛度均為8.75106 N/m［15］，內(nèi)、外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速比為1.5。如圖5所示為ANSYS建立的雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)有限元模型，轉(zhuǎn)子采用BEAM188單元模擬，軸承采用COMBI214單元模擬，圓盤采用MASS21單元模擬。如圖6所示為以內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為橫軸的Campbell圖，圖中斜率為ki和ko的直線分別代表內(nèi)、外專子的同步激勵(lì)線，A點(diǎn)和B點(diǎn)分別為內(nèi)轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的前兩階臨界轉(zhuǎn)速，C點(diǎn)和D點(diǎn)分別為外轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的前兩階臨界轉(zhuǎn)速，臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算結(jié)果如表3所示?？芍疚那蠼獾呐R界轉(zhuǎn)速和ANSYS求解的結(jié)果最大誤差為1.31%，證明了本文所編寫的有限元計(jì)算程序的正確性。

2.2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)求解方法

由于系統(tǒng)方程中含中介軸承非線性恢復(fù)力，四階Runge?Kutta數(shù)值積分法可以直接應(yīng)用于非線性系統(tǒng)，本文采用四階Runge?Kutta法求解方程，設(shè)系統(tǒng)振動(dòng)微分方程為：

（21）

式中 分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、外力向量和所求位移向量。

首先需要將方程降階，即定義一個(gè)新的向量，并對求導(dǎo)，即：

（22）

（23）

設(shè)步長為，在時(shí)刻處計(jì)算的遞推公式為：

（24）

3 波紋度對系統(tǒng)響應(yīng)頻譜特征分析

為研究波紋度激勵(lì)對雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)響應(yīng)頻譜特征的影響，以內(nèi)圈滾道波紋度、外圈滾道波紋度和滾動(dòng)體波紋度為控制變量分別分析，設(shè)內(nèi)圈、外圈滾道波紋度幅值均為5 μm，滾動(dòng)體波紋度幅值為2 μm，內(nèi)圈、外圈滾道和滾動(dòng)體波紋度初始接觸角度分別為，和，軸承徑向游隙為4 μm，內(nèi)、外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速比為1.5，取圖3中內(nèi)轉(zhuǎn)子節(jié)點(diǎn)2處的垂直方向振動(dòng)響應(yīng)為研究對象。

3.1 外圈滾道波紋度的影響

僅考慮外圈滾道波紋度時(shí)，取內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為7200 r/min，波紋度階數(shù)為1～20階的三維譜圖如圖7所示。外圈滾道波紋度階數(shù)為1時(shí)，頻譜圖中會(huì)出現(xiàn)外圈旋轉(zhuǎn)頻率，其他頻率成分不明顯。在計(jì)算的不同階數(shù)下，隨著階數(shù)的增加，頻譜圖中均出現(xiàn)了相同的外圈滾道波紋度引起的特征頻率。

為進(jìn)一步分析頻譜特征，取波紋度的階數(shù)為10，滾動(dòng)體個(gè)數(shù)為8和10的頻譜圖如圖8所示。發(fā)現(xiàn)頻率成分均存在和保持架旋轉(zhuǎn)速度頻率的組合頻率以及倍頻，即，，和等頻率，這些頻率多數(shù)和滾動(dòng)體的個(gè)數(shù)Z具有一定關(guān)系，這是因?yàn)檩S承受載區(qū)滾動(dòng)體的數(shù)目和位置變化而導(dǎo)致支承剛度是時(shí)變的，系統(tǒng)是在這種時(shí)變剛度下產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)。另外本文波紋度激勵(lì)為一個(gè)多頻激勵(lì)問題，當(dāng)非線性系統(tǒng)受到多頻激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)了激勵(lì)頻率倍數(shù)之和或者之差的組合振動(dòng)現(xiàn)象。繪制兩種工況下的時(shí)域曲線如圖9所示。對比頻譜和時(shí)域曲線可知滾動(dòng)體個(gè)數(shù)為10時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)相對滾動(dòng)體個(gè)數(shù)為8時(shí)更劇烈，這是因?yàn)榇藭r(shí)波紋度階數(shù)為10，與滾動(dòng)體個(gè)數(shù)相等，這和文獻(xiàn)［18］單轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)得出的結(jié)論相同，即波紋度階數(shù)與滾動(dòng)體個(gè)數(shù)相等時(shí)，系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)較大振動(dòng)。

為更一般化分析系統(tǒng)頻譜特征，如圖10所示為10階外圈滾道波紋度下的三維譜圖。低轉(zhuǎn)速時(shí)頻率成分復(fù)雜，特征頻率不是很明顯，且振動(dòng)幅值比較低，而在較高轉(zhuǎn)速時(shí)波紋度激勵(lì)產(chǎn)生的特征頻率能夠清晰地體現(xiàn)出來，這些頻率隨著轉(zhuǎn)速的逐漸增大而增大，且頻率成分主要分布在外圈旋轉(zhuǎn)頻率和波紋度激勵(lì)特征頻率的兩側(cè)，主要頻率成分可總結(jié)為，其中和為自然數(shù)。

3.2 內(nèi)圈滾道波紋度的影響

僅考慮內(nèi)圈滾道波紋度時(shí)，取內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為2400 r/min，波紋度階數(shù)為10，如圖11所示為考慮內(nèi)圈滾道波紋度的三維譜圖，滾動(dòng)體個(gè)數(shù)為8和10的頻譜如圖12所示。和外圈滾道波紋度計(jì)算結(jié)果類似，在不同階數(shù)下均出現(xiàn)了波紋度引起的特征頻率，但與外圈滾道引起的特征頻率不同，此時(shí)頻率成分主要包括內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)頻率以及其和的組合頻率，即，，等頻率成分。

對比頻譜圖可知滾動(dòng)體個(gè)數(shù)為10時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)比滾動(dòng)體個(gè)數(shù)為8時(shí)的大，這和波紋度階數(shù)有關(guān)。由圖10可知低轉(zhuǎn)速時(shí)系統(tǒng)的特征頻率不明顯，隨著轉(zhuǎn)速的升高，特征頻率能明顯的體現(xiàn)出來，主要頻率成分可總結(jié)為，其中和為自然數(shù)。另外在考慮波紋度激勵(lì)時(shí)，軸承的變?nèi)岫日駝?dòng)頻率（）不能明顯體現(xiàn)，會(huì)被波紋度激勵(lì)引起的振動(dòng)所淹沒。

3.3 滾動(dòng)體波紋度的影響

僅考慮滾動(dòng)體波紋度時(shí)，取波紋度階數(shù)為10，認(rèn)為所有滾動(dòng)體具有相同的波紋度，如圖13所示為考慮滾動(dòng)體波紋度的三維譜圖。系統(tǒng)在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)存在偶數(shù)倍的球自轉(zhuǎn)頻率和一些100 Hz以內(nèi)的其他低頻頻率，這些低頻頻率是系統(tǒng)考慮波紋度而產(chǎn)生的系統(tǒng)共振頻率，和此時(shí)刻系統(tǒng)的固有特性有關(guān)。繪制系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線如圖14所示。發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在0～2000 r/min轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)振動(dòng)比較復(fù)雜，且振動(dòng)相對高轉(zhuǎn)速時(shí)較大，從瀑布圖中看出振動(dòng)頻率成分主要為偶數(shù)倍的球自轉(zhuǎn)頻率，系統(tǒng)共振頻率的幅值較小；而在2760～3900 r/min和4920～6600 r/min區(qū)域內(nèi)的振動(dòng)頻率主要為系統(tǒng)的共振頻率，偶數(shù)倍球自轉(zhuǎn)頻率的振動(dòng)幅值較小。

本文從軸承恢復(fù)力的角度分析系統(tǒng)在0～2000 r/min低轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)比高轉(zhuǎn)速時(shí)振動(dòng)相對較大的原因，內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速分別為300 r/min和4800 r/min時(shí)考慮波紋度與不考慮波紋度的軸承恢復(fù)力時(shí)域和頻域圖如圖15，16所示。由于波紋度的存在，內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為300 r/min時(shí)的軸承彈性恢復(fù)力會(huì)在一段時(shí)間內(nèi)較平緩，然后會(huì)突然變化劇烈，類似沖擊一樣的變化趨勢，導(dǎo)致低轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)振動(dòng)過大；而在較高轉(zhuǎn)速如內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為4800 r/min時(shí)，軸承的彈性恢復(fù)力是相對比較連續(xù)的，沒有明顯沖擊特征。另外球的自轉(zhuǎn)頻率是隨著轉(zhuǎn)速的增大而增大的，低轉(zhuǎn)速時(shí)球波紋度波峰和內(nèi)、外圈滾道接觸時(shí)間間隔相對高轉(zhuǎn)速時(shí)較長，導(dǎo)致在相同時(shí)間段高轉(zhuǎn)速和低轉(zhuǎn)速時(shí)的軸承恢復(fù)力時(shí)域曲線特征有差別，從而影響系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。

對軸承彈性恢復(fù)力進(jìn)行傅里葉變換，不考慮軸承波紋度時(shí)的軸承恢復(fù)力頻率主要為軸承變?nèi)岫日駝?dòng)頻率及其倍頻，而考慮軸承波紋度比不考慮波紋度時(shí)的頻譜成分豐富且復(fù)雜，主要有系統(tǒng)的共振頻率，還有，，等偶數(shù)倍的球自轉(zhuǎn)頻率，出現(xiàn)偶數(shù)倍是因?yàn)闈L動(dòng)體不僅和內(nèi)圈接觸，還和外圈接觸，波紋度激勵(lì)由兩部分激勵(lì)共同組成。

通過上述分析，滾動(dòng)體存在波紋度時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)偶數(shù)倍的球自轉(zhuǎn)頻率，低轉(zhuǎn)速時(shí)頻率成分幅值較大，高轉(zhuǎn)速時(shí)頻率成分幅值較小，且會(huì)存在和系統(tǒng)共振的頻率成分。

4 波紋度對系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

本節(jié)考慮內(nèi)、外轉(zhuǎn)子的不平衡力，設(shè)內(nèi)轉(zhuǎn)子2節(jié)點(diǎn)有9.68310-5的不平衡量，外轉(zhuǎn)子8節(jié)點(diǎn)上有9.13910-5的不平衡量，初相位均為0，波紋度模型參數(shù)同前文所述，分別對僅考慮波紋度、僅考慮不平衡力以及同時(shí)考慮兩者的幅頻響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，探究考慮波紋度激勵(lì)下系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。

4.1 考慮外圈滾道波紋度對系統(tǒng)響應(yīng)的影響

如圖17所示為考慮外圈滾道波紋度和轉(zhuǎn)子不平衡激勵(lì)時(shí)的幅頻曲線對比圖。高轉(zhuǎn)速時(shí)主要是由轉(zhuǎn)子不平衡引起的振動(dòng)，軸承的波紋度對振動(dòng)響應(yīng)特性影響較小；而在低轉(zhuǎn)速時(shí)波紋度激勵(lì)會(huì)在一些轉(zhuǎn)速下引起共振，不能忽略其對系統(tǒng)的影響。

僅考慮轉(zhuǎn)子不平衡力時(shí)，在一定轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，幅頻響應(yīng)曲線中會(huì)出現(xiàn)四個(gè)共振峰，是由內(nèi)、外轉(zhuǎn)子不平衡引起的共振，在線性領(lǐng)域內(nèi)可解釋為由內(nèi)轉(zhuǎn)子和外轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的前兩階臨界轉(zhuǎn)速引起的共振，即共振峰對應(yīng)的轉(zhuǎn)速可稱為臨界轉(zhuǎn)速。

僅考慮軸承外圈滾道波紋度時(shí)，低轉(zhuǎn)速下會(huì)出現(xiàn)幾個(gè)振動(dòng)較大的區(qū)域，這是由波紋度激勵(lì)引起的，振動(dòng)頻率成分主要為外圈滾道波紋度故障對應(yīng)的特征頻率。但隨著轉(zhuǎn)速的升高，轉(zhuǎn)子不平衡力逐漸增大，對系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用，而波紋度激勵(lì)引起的振動(dòng)會(huì)趨于平緩，對系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)影響較小。高轉(zhuǎn)速下波紋度激勵(lì)引起的振動(dòng)響應(yīng)中存在很多高頻成分，且可認(rèn)為滾動(dòng)體滾過波紋度波峰或波谷的時(shí)間較短，軸承恢復(fù)力較為連續(xù)，波紋度對系統(tǒng)振動(dòng)影響較小。

同時(shí)考慮轉(zhuǎn)子不平衡力和外圈滾道波紋度時(shí)，圖17中出現(xiàn)了7個(gè)共振峰，對應(yīng)轉(zhuǎn)速分別為：780，1380，1920，3000，3960，4920，7500 r/min。其中780，1380和3960 r/min時(shí)的振動(dòng)主要是由保持架轉(zhuǎn)頻和外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻的組合頻率引起的系統(tǒng)共振。如圖18所示為這三個(gè)共振點(diǎn)的頻譜分析，其主導(dǎo)的頻率分別為，以及。

而1920 r/min和4920 r/min時(shí)的振動(dòng)是外轉(zhuǎn)子不平衡和外圈滾道波紋度激勵(lì)共同引起的，主要頻率成分為，這兩個(gè)轉(zhuǎn)速附近分別可稱為外轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的第一次和第二次共振區(qū)域；3000 r/min和7500 r/min時(shí)主要是由內(nèi)轉(zhuǎn)子不平衡引起的振動(dòng)，主要頻率成分為，這兩個(gè)轉(zhuǎn)速附近分別可稱為內(nèi)轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的第一次和第二次共振區(qū)域，此時(shí)外圈滾道波紋度激勵(lì)對這兩個(gè)區(qū)域的振動(dòng)幾乎沒有影響。通過上述分析，在考慮外圈滾道波紋度時(shí)，系統(tǒng)振動(dòng)特性變得更復(fù)雜，波紋度激勵(lì)不僅會(huì)增大低轉(zhuǎn)速區(qū)域的振動(dòng)，還會(huì)對外轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的共振區(qū)域振動(dòng)產(chǎn)生影響。

4.2 考慮內(nèi)圈滾道波紋度對系統(tǒng)響應(yīng)的影響

如圖19所示為考慮內(nèi)圈滾道波紋度和轉(zhuǎn)子不平衡激勵(lì)時(shí)的幅頻曲線對比圖。和考慮外圈滾道波紋度結(jié)果類似，系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線中也出現(xiàn)了多個(gè)共振峰，共振峰的出現(xiàn)主要由轉(zhuǎn)子的不平衡力和內(nèi)圈滾道波紋度激勵(lì)引起。出現(xiàn)的共振峰對應(yīng)的轉(zhuǎn)速分別為720，960，1320，1920，3000，4920，7500 r/min。其中720，960以及1320 r/min時(shí)的振動(dòng)主要是由保持架轉(zhuǎn)頻和內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻的組合頻率引起的系統(tǒng)共振，如圖20所示為這三個(gè)共振點(diǎn)的頻譜分析，其主導(dǎo)的頻率分別為，以及。

外轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的第一次共振區(qū)域（1920 r/min附近）和第二次共振區(qū)域（4920 r/min附近）的振動(dòng)主要是由外轉(zhuǎn)子不平衡引起的，內(nèi)圈滾道波紋度的影響較小。而在內(nèi)轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的第一次共振區(qū)域（3000 r/min附近）和第二次共振區(qū)域（7500 r/min附近）的振動(dòng)主要是由內(nèi)轉(zhuǎn)子不平衡和內(nèi)圈滾道波紋度引起的，但是發(fā)現(xiàn)在第二次共振區(qū)域內(nèi)圈滾道波紋度激勵(lì)降低了轉(zhuǎn)子不平衡引起的振動(dòng)，為分析這個(gè)現(xiàn)象，如圖21所示為7500 r/min時(shí)三種工況的時(shí)域曲線。由圖21可知僅考慮內(nèi)圈滾道波紋度和僅考慮轉(zhuǎn)子不平衡力時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)可近似認(rèn)為同頻反相，因此兩種激勵(lì)共同作用時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)會(huì)降低。

通過上述分析，可知考慮內(nèi)圈滾道波紋度時(shí)，共振峰同樣會(huì)在低轉(zhuǎn)速區(qū)域增多，而且內(nèi)圈滾道波紋度激勵(lì)會(huì)對內(nèi)轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的共振區(qū)域振動(dòng)產(chǎn)生較大影響，而對外轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的共振區(qū)域影響較小。

4.3 考慮滾動(dòng)體波紋度對系統(tǒng)響應(yīng)的影響

如圖22所示為考慮滾動(dòng)體波紋度影響的三種工況的幅頻響應(yīng)對比圖。對比發(fā)現(xiàn)低轉(zhuǎn)速時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)主要是由滾動(dòng)體波紋度激勵(lì)引起的，會(huì)引起系統(tǒng)產(chǎn)生幾個(gè)振動(dòng)較大區(qū)域，此時(shí)轉(zhuǎn)子的不平衡力對系統(tǒng)響應(yīng)影響較小。而高轉(zhuǎn)速情況下則相反，系統(tǒng)的響應(yīng)主要是由轉(zhuǎn)子不平衡引起的，滾動(dòng)體波紋度激勵(lì)引起的振動(dòng)響應(yīng)幾乎可以忽略。這是因?yàn)檗D(zhuǎn)子的不平衡力是隨著轉(zhuǎn)速的升高而增大的，低轉(zhuǎn)速時(shí)轉(zhuǎn)子的不平衡力相對滾動(dòng)體波紋度激勵(lì)較弱。

另外圖中共振峰對應(yīng)的轉(zhuǎn)速分別為240，480，660，1320，1920，3000，4920，7500 r/min。其中前四個(gè)轉(zhuǎn)速振動(dòng)過大主要是由波紋度激勵(lì)頻率與此時(shí)系統(tǒng)的固有頻率相近引起的系統(tǒng)的共振，如圖23所示為這四個(gè)共振點(diǎn)的頻譜分析，其主導(dǎo)的頻率主要為偶數(shù)倍的滾動(dòng)體自轉(zhuǎn)頻率。其他四個(gè)共振峰是由轉(zhuǎn)子不平衡引起的。結(jié)合圖13三維譜圖可知，雖然滾動(dòng)體波紋度激勵(lì)會(huì)引起高轉(zhuǎn)速下的一些區(qū)域產(chǎn)生系統(tǒng)共振，但是在考慮轉(zhuǎn)子不平衡力時(shí)，波紋度對高轉(zhuǎn)速區(qū)域振動(dòng)的影響較小，而對低轉(zhuǎn)速區(qū)域的振動(dòng)則有一定程度的影響。

5 波紋度幅值對振動(dòng)響應(yīng)的影響

轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)在正常運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，由于軸承摩擦、潤滑以及疲勞等原因，軸承波紋度的幅值可能會(huì)發(fā)生變化，因此研究波紋度幅值變化對系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響很有必要。

5.1 波紋度幅值對特征頻率響應(yīng)的影響

為研究波紋度幅值對波紋度激勵(lì)下的響應(yīng)特征頻率幅值的影響，設(shè)內(nèi)圈滾道、外圈滾道和滾動(dòng)體波紋度幅值分別為5，4，3，2和1 μm，考慮內(nèi)、外圈滾道波紋度時(shí)的轉(zhuǎn)速與上文相同，考慮滾動(dòng)體波紋度時(shí)取非共振區(qū)域內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為2400 r/min。計(jì)算得到相應(yīng)特征頻率的振動(dòng)幅值隨波紋度幅值的變化規(guī)律如圖24所示。

5.2 波紋度幅值對振動(dòng)幅頻響應(yīng)的影響

由于滾動(dòng)體波紋度對高轉(zhuǎn)速區(qū)域幅頻響應(yīng)影響較小，本小節(jié)主要研究內(nèi)、外圈滾道波紋度幅值對在波紋度激勵(lì)下系統(tǒng)振動(dòng)幅頻響應(yīng)的影響，設(shè)內(nèi)、外圈滾道波紋度幅值分別為2，4，6，8和10 μm，如圖25所示為不同波紋度幅值下的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)圖，為方便比較，圖中僅繪制了三個(gè)波紋度幅值下的幅頻響應(yīng)曲線。

不同波紋度幅值下幅頻響應(yīng)曲線的共振響應(yīng)對比如圖26所示，其中峰值偏差為位移最大值與平均值的差。發(fā)現(xiàn)隨著外圈滾道波紋度幅值的增加，轉(zhuǎn)速為780，1920，3960以及4920 r/min對應(yīng)的振動(dòng)峰值偏差會(huì)有明顯的增加，這是因?yàn)椴y度激勵(lì)對這些共振峰的形成具有較大貢獻(xiàn)，然而對于轉(zhuǎn)速3000 r/min和7500 r/min時(shí)的共振峰影響較小，因?yàn)楫a(chǎn)生此共振峰的原因主要是內(nèi)轉(zhuǎn)子的不平衡力，外圈滾道波紋度的影響較小。隨著內(nèi)圈滾道波紋度幅值的增加，低轉(zhuǎn)速區(qū)域的振動(dòng)和內(nèi)轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的第一次共振區(qū)域振動(dòng)會(huì)明顯增大，然而在內(nèi)轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的第二次共振區(qū)域則相反，波紋度幅值越大，響應(yīng)越小。結(jié)合前文分析，這是因?yàn)樵诖斯舱駞^(qū)域內(nèi)波紋度激勵(lì)和轉(zhuǎn)子不平衡引起的振動(dòng)響應(yīng)可近似認(rèn)為同頻反相，波紋度激勵(lì)引起的振動(dòng)響應(yīng)增大，轉(zhuǎn)子不平衡振動(dòng)響應(yīng)不變，這將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)降低。

總體來看，軸承波紋度幅值對系統(tǒng)振動(dòng)會(huì)有一定的影響，可能會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)振動(dòng)過大的現(xiàn)象，在一些區(qū)域也有可能會(huì)降低系統(tǒng)振動(dòng)，因此在實(shí)際工作情況下，為減小轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲，控制波紋度幅值具有一定的必要性。

6 結(jié) 論

本文考慮中介軸承內(nèi)圈、外圈滾道和滾動(dòng)體波紋度，基于有限元法建立了含變截面外轉(zhuǎn)子的雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)，分別研究了內(nèi)圈、外圈滾道和滾動(dòng)體波紋度激勵(lì)下的頻譜特征，分析了波紋度激勵(lì)對系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響，得出如下結(jié)論：

（1）考慮內(nèi)、外圈滾道波紋度時(shí)，低轉(zhuǎn)速時(shí)特征頻率成分不太明顯，而較高轉(zhuǎn)速時(shí)頻率成分會(huì)明顯體現(xiàn)出來，為內(nèi)、外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)頻和保持架轉(zhuǎn)頻的組合頻率。

（2）外圈滾道存在波紋度時(shí)，其故障特征頻率可總結(jié)為；內(nèi)圈滾道存在波紋度時(shí)，其故障特征頻率可總結(jié)為；滾動(dòng)體存在波紋度時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)偶數(shù)倍的球自轉(zhuǎn)頻率，低轉(zhuǎn)速時(shí)頻率幅值較大，高轉(zhuǎn)速時(shí)頻率成分幅值較小且會(huì)存在和系統(tǒng)共振的頻率成分。和為自然數(shù)，當(dāng)和取較小值時(shí)，頻率成分較明顯；當(dāng)和取較大值時(shí)，頻率成分存在，但不明顯。

（3）考慮轉(zhuǎn)子不平衡和軸承波紋度兩種激勵(lì)時(shí)，較低轉(zhuǎn)速時(shí)內(nèi)、外圈滾道和滾動(dòng)體波紋度均會(huì)對系統(tǒng)的振動(dòng)有較大影響，會(huì)增大系統(tǒng)的振動(dòng)。而在較高轉(zhuǎn)速時(shí)，滾動(dòng)體波紋度對系統(tǒng)響應(yīng)的影響可以忽略，外圈滾道波紋度會(huì)增大外轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的共振區(qū)域的振動(dòng)，內(nèi)圈滾道波紋度會(huì)增大內(nèi)轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的第一次共振區(qū)域的振動(dòng)，而在內(nèi)轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的第二次共振區(qū)域兩種激勵(lì)引起的振動(dòng)響應(yīng)近似同頻反相，會(huì)降低系統(tǒng)的振動(dòng)。

（4）隨著外圈滾道波紋度幅值的增加，系統(tǒng)在整個(gè)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的振動(dòng)會(huì)增大，隨著內(nèi)圈滾道波紋度幅值的增加，在內(nèi)轉(zhuǎn)子主激勵(lì)的第二次共振區(qū)域的振動(dòng)會(huì)降低，其他轉(zhuǎn)速區(qū)域內(nèi)的振動(dòng)會(huì)增大。

本文以雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)為研究對象，分析了中介軸承滾動(dòng)體和內(nèi)、外圈滾道波紋度下系統(tǒng)的振動(dòng)特性，并對比分析了滾動(dòng)體波紋度故障與內(nèi)、外圈滾道波紋度故障的特征差異，可為雙轉(zhuǎn)子?軸承系統(tǒng)的故障診斷、振動(dòng)控制以及結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供參考意見。

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Analysis of vibration characteristics of a dual rotor system with inter-shaft bearing waviness

LIU Kun-peng1， LIU Hong-da2， SHI Xiu-jiang1， WANG Dong-hua1， LI Wan-you1

（1.College of Power and Energy Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China； 2.No.703 Research Institute of CSSC， Harbin 150078， China）

Abstract： Aiming at the issue of inter-shaft bearing waviness in a dual rotor system， the dual rotor-bearing system of external rotor with variable cross section was taken as the research case. The dynamic model of the dual rotor-bearing system was established based on the Finite Element Modeling （FEM）. The waviness of the inner and outer ring raceways and the rolling body of the inter-shaft bearing were considered in the model. The fourth order Runge-Kutta numerical method was used to solve the equations， and the influence of waviness excitation on the amplitude-frequency response curve and spectral characteristics of the system was analyzed. The results show that when there is waviness in the inner and outer ring raceways， the system exhibits a combination frequency of the inner and outer rotor rotation speed frequency as well as cage rotation speed frequency. And when there is waviness in the rolling body， the system has an even times of the rolling body self-rotation speed frequency. When the rotor is unbalanced， the outer ring raceway waviness will amplify vibrations in the resonance region of the outer rotor main excitation. The vibration of the system will increase in the whole speed range with the increase of the waviness amplitude， while the vibration responses of the inner ring raceway waviness and the unbalanced excitation will appear similar to the same frequency and reverse phase phenomenon in the second resonance region of the inner rotor main excitation. The vibration of the system will decrease with the increase of waviness amplitude， while the vibration in other regions will increase. Compared with the high rotating speed region， the waviness of the rolling body significantly impacts on the vibration characteristics in the low rotating speed region.

Key words： dynamics of rotor；dual rotor system；inter-shaft bearing；waviness；amplitude-frequency response

作者簡介： 劉坤鵬（2000―），男，博士研究生。電話：（0451）82588833；E-mail：liukunpeng@hrbeu.edu.cn。

通訊作者： 王東華（1981―），男，博士，副教授。電話：（0451）82589199；E-mail：wangdonghua@hrbeu.edu.cn。