【摘 要】在“倍的認(rèn)識(shí)”一課教學(xué)中，教師基于學(xué)情前測(cè)，提升教學(xué)針對(duì)性，學(xué)生在自主探究、操作感知與對(duì)比抽象中建立量與量之間的關(guān)系，進(jìn)而把握和領(lǐng)悟“倍”的概念本質(zhì)，促進(jìn)高階思維能力的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】多元表征 數(shù)量關(guān)系 倍的認(rèn)識(shí) 概念本質(zhì)

一、關(guān)注學(xué)情，明晰學(xué)生認(rèn)知水平

“倍”是由兩個(gè)數(shù)量相“比較”而產(chǎn)生的，它的本質(zhì)是兩個(gè)量之間的“倍比”關(guān)系。對(duì)于三年級(jí)學(xué)生，“倍”的概念理解起來比較抽象，因此教師要找準(zhǔn)學(xué)生的思維起點(diǎn)，幫助他們打破對(duì)“倍”的錯(cuò)誤認(rèn)知。在教學(xué)前，教師可以設(shè)置相應(yīng)的前測(cè)環(huán)節(jié)。

前測(cè)題1：你認(rèn)為什么是“倍”？請(qǐng)用舉例子或畫圖來表述你的想法。

前測(cè)題2：能用“倍”來說一說蘋果和草莓之間的數(shù)量關(guān)系嗎？（如圖1）請(qǐng)將思考過程寫下來。

前測(cè)題3：畫出一定數(shù)量的香蕉和蘋果，要求蘋果的數(shù)量是香蕉的3倍。

通過分析前測(cè)結(jié)果可知，該階段學(xué)生對(duì)“倍”有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，但存在概念混淆、標(biāo)準(zhǔn)確定有誤等情況，導(dǎo)致對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量、比較量、倍數(shù)三者之間的關(guān)系認(rèn)識(shí)模糊。筆者以為：對(duì)于“倍”的含義理解，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生將乘除法教學(xué)中的“幾個(gè)幾”與新課學(xué)習(xí)中的“幾倍”進(jìn)行關(guān)聯(lián)。因此，教師要讓學(xué)生在回顧“幾個(gè)幾”的基礎(chǔ)上，把“較小的量”看作一份（倍），再描述“較大的量”中有這樣的幾份（倍），并在循序漸進(jìn)中加深對(duì)“倍”的含義的理解。

二、教學(xué)實(shí)踐，逐級(jí)建構(gòu)概念模型

1. 基于經(jīng)驗(yàn)，激活概念原型特征。

教師可以借助前測(cè)“就地取材”，充分暴露學(xué)生的認(rèn)知沖突，以此作為教學(xué)的起點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生的思考，辨析概念屬性。

基于前測(cè)題3的學(xué)生作答情況（如圖2），教師提問：“這些作品都符合要求嗎？”學(xué)生表示：圖式②中，應(yīng)該是蘋果的數(shù)量比香蕉多了3倍；圖式④中，蘋果的數(shù)量比香蕉多3個(gè)；圖式⑥中，只有3個(gè)蘋果，缺少一個(gè)比較的對(duì)象；圖式⑦中，蘋果數(shù)量不是香蕉的3倍，應(yīng)該是比2倍多1個(gè)，比3倍少1個(gè)。

通過觀察與比較，學(xué)生從圖式中明白“比多（少）”和“倍”都是兩個(gè)量相比較而產(chǎn)生的結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)“差”與“倍”之間的區(qū)別，其中還存在“幾倍多幾”或“幾倍少幾”的關(guān)系，進(jìn)而將原有對(duì)“倍”的感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)發(fā)展。

2. 建立表象，助力概念本質(zhì)理解。

概念的形成與同化是概念教學(xué)的核心環(huán)節(jié)。教學(xué)時(shí)，教師借助可視化素材，為學(xué)生感悟抽象概念創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)支架，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行直觀表征，并將本質(zhì)相同的內(nèi)容關(guān)聯(lián)起來，完成對(duì)核心概念的結(jié)構(gòu)化整合。

教師出示圖2中的圖式①、③、⑤、⑧，提問：“這些圖式中，蘋果和香蕉的數(shù)量都不相同，為什么都能表示‘蘋果的數(shù)量是香蕉的3倍’？”學(xué)生在圈一圈、說一說的過程中，將“幾倍”和“幾份”建立聯(lián)系。同時(shí)，教師有意識(shí)地加入了能與線段圖溝通的學(xué)習(xí)素材，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，發(fā)現(xiàn)線段圖能更好地幫助自己歸納倍數(shù)關(guān)系。

概念的建立與發(fā)展，能幫助學(xué)生進(jìn)一步明確概念的內(nèi)涵與外延，讓學(xué)生有效抓住概念的本質(zhì)屬性。教學(xué)時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的建構(gòu)過程，通過比較事物變化中的共性，促進(jìn)學(xué)生抽象出概念的內(nèi)在原理，進(jìn)而增強(qiáng)對(duì)概念的本質(zhì)理解。

3. 強(qiáng)調(diào)遷移，搭建概念認(rèn)知橋梁。

由于學(xué)生對(duì)“倍”的概念理解層次不一，教師應(yīng)找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生將已有認(rèn)知遷移、運(yùn)用到新知學(xué)習(xí)中，為學(xué)生搭建抽象概念與已有認(rèn)知之間的“橋梁”，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想感悟“倍”的本質(zhì)，逐步建構(gòu)“倍”的數(shù)學(xué)模型，深化學(xué)生對(duì)核心概念的掌握。

教師指著圖2中的圖式①，提問：“如果增加2個(gè)蘋果，蘋果的數(shù)量是香蕉的幾倍？如果增加4個(gè)蘋果呢？”學(xué)生說一說、圈一圈（2個(gè)2個(gè)地圈），并用算式表示。教師追問：“如果增加1根香蕉，蘋果的數(shù)量是香蕉的幾倍？”學(xué)生上臺(tái)板演（3個(gè)3個(gè)地圈），并用算式表示。教師繼續(xù)追問：“如果增加4根香蕉，蘋果的數(shù)量是香蕉的幾倍？”生1：“蘋果的數(shù)量是香蕉的0倍?！鄙?：“蘋果和香蕉的數(shù)量是一樣的，相差0?！鄙?：“把6根香蕉看作一份，6個(gè)蘋果也剛好是一份，蘋果的數(shù)量是香蕉的1倍?！苯處煟骸斑@個(gè)1倍挺有意思，那為什么生1會(huì)說是0倍呢？”生4：“他把倍數(shù)關(guān)系當(dāng)成了相差關(guān)系?！闭n件出示：如果蘋果有12個(gè)，要使蘋果的數(shù)量是香蕉的（ ）倍，香蕉會(huì)是多少根呢？學(xué)生經(jīng)歷想一想、擺一擺、記一記等操作，厘清相應(yīng)的倍數(shù)關(guān)系。

在上述環(huán)節(jié)中，教師為學(xué)生提供大量比較兩個(gè)量倍數(shù)關(guān)系的機(jī)會(huì)，一方面，學(xué)生借助歸納思想方法，經(jīng)歷“倍”的概念的形成過程，發(fā)現(xiàn)一般的規(guī)律和特征，豐富“倍”的概念表象；另一方面，讓學(xué)生進(jìn)一步明確標(biāo)準(zhǔn)量的重要性。

4. 辨析溝通，促進(jìn)概念鞏固深化。

幫助學(xué)生掌握“倍”的概念，需要一個(gè)反復(fù)、持續(xù)的過程。教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行深入思考與討論，學(xué)生在經(jīng)歷完整的概念抽象過程中實(shí)現(xiàn)對(duì)新知的“理解”到“運(yùn)用”的飛躍，從而培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和思維創(chuàng)新能力。

問題1：小朋友踢毽子，小冬踢了9個(gè)，小王踢的是小冬的3倍，小王踢了幾個(gè)？生1：“小王踢了3個(gè)?！鄙?：“如果小王踢的是3個(gè)，小冬踢的又是9個(gè)，小王踢的個(gè)數(shù)怎么會(huì)是小冬的3倍呢？”教師追問：“這里表示誰(shuí)踢毽子的數(shù)量是另一人的3倍？”生3：“小王踢毽子的數(shù)量是小冬的3倍?！鄙?：“以小冬踢的9個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)量，小王踢的就是9個(gè)的3倍，27個(gè)?！眴栴}2：張阿姨買了12根香蕉和一些桃子，香蕉的數(shù)量是桃子的4倍，她買了多少個(gè)桃子？學(xué)生思考后回答：“以桃子的數(shù)量為標(biāo)準(zhǔn)量，香蕉有12根，要把12平均分成4份，每份是3，買了3個(gè)桃子。”

從上面的教學(xué)可以看出，在解決“倍比”問題時(shí)，學(xué)生往往會(huì)將“比較量”看作“標(biāo)準(zhǔn)量”。教師可以借助問題情境，引導(dǎo)學(xué)生正確理解題意，讓學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行橫向聯(lián)系與縱向?qū)Ρ?，學(xué)生在概念的解構(gòu)與抽象中增強(qiáng)邏輯思維能力。

5. 延伸拓展，利用直觀巧解問題。

教學(xué)過程中，學(xué)生要建立和理解一個(gè)抽象的概念，就要親身參與到具體的探究活動(dòng)中，通過多次的數(shù)據(jù)變化與比較，提煉出一般的解題規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)。

課件出示問題：小冬有6支鉛筆，小芳的鉛筆數(shù)量比小冬多5支，小李的鉛筆數(shù)量是小冬的2倍，小明的鉛筆數(shù)量比小冬的3倍少4支，誰(shuí)的鉛筆數(shù)量最多？請(qǐng)用畫一畫、算一算等方法表示你的思考過程。

以上練習(xí)，不僅涉及“相差關(guān)系”，還用到了“倍數(shù)關(guān)系”。這樣的練習(xí)內(nèi)容，既是對(duì)新課核心知識(shí)的提煉，又是對(duì)后續(xù)解決更為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了滲透，幫助學(xué)生獲得更為完整的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，有助于發(fā)展學(xué)生思維的連續(xù)性。

針對(duì)“倍”的模型建構(gòu)，教師可以通過創(chuàng)設(shè)相關(guān)聯(lián)的、生活化的問題情境鏈，讓學(xué)生在“數(shù)量變化”中把握“倍”概念的本質(zhì)。學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生借助語(yǔ)言、圖像、符號(hào)等方式表征兩個(gè)量的關(guān)系，促進(jìn)了多元表征之間的融通，進(jìn)而加深對(duì)概念的理解。

（作者單位：浙江省杭州市余杭區(qū)倉(cāng)前中心小學(xué)）

［1］高珺，石榴，邵漢民.創(chuàng)設(shè)主題情境 深度建構(gòu)概念——人教版教材三年級(jí)上冊(cè)“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)實(shí)踐［J］.教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2023（03）：34-37.