摘要：三角函數(shù)是高考中每年必考的內(nèi)容，其中的“給值求值”問題更是屢見不鮮.本文中以“三角函數(shù)中給值求值問題”為例，通過“一題一課”的課堂教學模式，充分提取教材中的典型例題、課后習題等素材進行“再加工、再整合”，開展探究活動，落實生本理念，從而提高學生的數(shù)學理解能力，助推學生的思維水平走向高階.

關鍵詞：給值求值；生本理念；一題一課；教學實踐

“生本教育”是郭思樂教授創(chuàng)立的一種教育思想和教育方式.生本教育是以“一切為了學生，高度尊重學生，全面依靠學生”為宗旨的教育，它既是一種方式，更是一種理念.

所謂“一題一課”［1］，就是指教師通過對一道題或某一素材的深入研究，挖掘其中蘊含的數(shù)學本質(zhì)與內(nèi)涵，科學、合理、有序地組織學生進行相關的數(shù)學探究活動，促進學生對知識之間的關聯(lián)性理解，實現(xiàn)“學一題，透一點，通一類”的教學目標.

1 挖掘探究材料

1.1 課時內(nèi)容分析

“三角恒等變換”的知識結(jié)構［2］如圖1.

通過本節(jié)內(nèi)容的學習，學生能夠掌握解決簡單三角恒等變換的方法，同時在三角函數(shù)的簡單恒等變換的運算中可以有效訓練邏輯推理能力和數(shù)學運算能力.

1.2 教學內(nèi)容分析

本節(jié)課內(nèi)容來自人教A版必修第一冊第五章第五節(jié)“三角恒等變換”，變換是數(shù)學的重要工具，也是數(shù)學學習的主要對象之一.代數(shù)變換是學生所熟悉的，與代數(shù)變換一樣，三角變換也是只變其形而不變其質(zhì).本節(jié)課，學生將運用兩角和與差的正弦、余弦公式，進行簡單的三角變換，利用湊角的方法解決給值求值問題.通過本節(jié)課的學習，學生的邏輯推理能力和運算能力將得到進一步提高.

1.3 學生情況分析

學生較好地掌握了兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其公式的簡單應用，這為認識三角變換提供了基礎；但對公式還不熟悉，其理解還停留在公式的表象認知，需要教師的分析、引導.

1.4 例題與練習分析

由表1可見，教材對給值求值的要求是很高的，需要學生掌握其運算規(guī)律及解決方法，本節(jié)課的重點是使學生學會用湊角的方法，用已知角表示出未知角從而求出所求角的三角函數(shù)值.

1.5 確定教學目標

為了讓學生深度理解給值求值問題的解決方法，特確定本節(jié)課的教學目標為：

（1）理解三角恒等變換的根本思想，通過觀察角之間的關系，利用湊角化未知角為已知角，培養(yǎng)整體代換和換元思想，理解化歸思想；

（2）能獨立分析和解決一些三角恒等變換“給值求值”問題；

（3）能夠靈活運用公式，提高邏輯推理和數(shù)學運算能力.

1.6 評價任務

（1）入門測要求學生自主完成，并通過入門測涉及到的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行復習回顧；

（2）通過變式訓練的分析講解，挖掘三角函數(shù)中給值求值問題所涉及到的整體思想，同時提煉解題方法——“湊角”.

2 設計探究過程

2.1 課前自測

入門測：若sin α=13，α∈π2，π，求sinα+π4的值.

此題需學生課前完成，其完成情況如下：

學生1：利用三角恒等式及已知條件sin α=13，可以求出cos α的值，進而運用兩角和的正弦公式求值即可.

教師：思路沒有問題，但是否嚴謹，其他同學有補充嗎？

學生2：利用三角恒等式求cos α的值時，要注意角所在象限.

教師：非常好，我們在運用三角恒等式求解的時候要注意角所在象限，從而決定取值的正負.

師生活動：教師運用希沃軟件拍照展示學生的解答過程，規(guī)范解題步驟.

說明：通過兩角和的正弦公式的簡單應用，提醒學生在利用三角恒等式求解時要注意角所在象限，避免出現(xiàn)錯解.

2.2 探究解題方法

為了實現(xiàn)“學一題，透一點，通一類”的教學目標，運用“一題一課”的教學模式，特設置如下變式問題串供學生探究.

變式1 若sinα+π4=13，α∈π2，π，求sin α的值.

教學預設：本題有部分學生會利用兩角和的正弦公式將sinα+π4=13，展開，并結(jié)合三角恒等式聯(lián)立方程組求解；另有部分學生會發(fā)現(xiàn)α=α+π4－π4，然后利用兩角差的正弦公式求解.兩種不同的解法其運算過程的繁雜程度明顯不同，第一種方法思路簡單但運算量較大，第二種方法技巧性較強但計算量明顯減小.在此進行鋪墊說明：將復雜的問題簡單化就是數(shù)學中常說的化歸思想;我們把用已知角表示出未知角的方法叫做“湊角”.

說明：通過兩種不同解題思路的對比，學生能夠體會到“湊角”方法的優(yōu)勢.由此為深層次講解“湊角”方法做好鋪墊.

變式2 若sin（α+β）=13，cos β=45，α∈π2，π，β∈0，π2，求sin α與sin（α+2β）的值.

教學預設：變式1講評結(jié)束，教師引導學生觀察變式2中已知角與未知角的關系，通過小組交流可以發(fā)現(xiàn)α=（α+β）－β，α+2β=（α+β）+β，此時學生可以輕松利用兩角和與差的正弦公式解題.在解題過程中要提示學生注意角所在象限，從而決定取值的正負.

說明：通過變式1與變式2的類比，學生能夠進一步感知利用整體思想進行湊角的便利，同時感受由特殊到一般的方法，進而提升歸納推理能力.

變式3 已知sinα+π4=13，sin（α+β）=－45，α∈π2，π，β∈0，π2，求sinβ－π4的值.

說明：通過增加已知角的難度，學生可以學會“舉一反三”，體會數(shù)學化歸思想.

2.3 總結(jié)提升

出門測：

（1）已知cos α=45，α∈3π2，2π，求cosα－π3的值.

（2）若α，β均為銳角，且sin α=13，cos（α+β）=－35，求sin β的值.

（3）若sin 2α=55，sin（β－α）=1010，α∈π4，π，β∈π，3π2，求cos（α+β）的值.

說明：設置出門測是為了讓學有余力的學生在學習新知識的基礎上做進一步探究學習，進而培養(yǎng)他們的應用意識，提高他們的數(shù)學思維能力.

課時小結(jié)：通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲？

說明：教師引導學生總結(jié)歸納本節(jié)課的收獲，可以有效地幫助學生構建知識框架，對所學的新知識快速做到融會貫通，靈活應用.

3 反思實踐過程

“一題一課”課堂教學模式旨在聚焦“一題”，延伸“一課”，充分挖掘典型例題背后蘊含的價值，利用變式練習實現(xiàn)知識的內(nèi)化，使學生的認知從特殊走向一般，化未知為已知.

本節(jié)課是筆者在集團校的一節(jié)送教展示課，反響還不錯.縱觀本節(jié)課，利用具有知識生成邏輯的“變式練習”來授課，在具體的數(shù)學探究變式中讓學生體驗、內(nèi)化數(shù)學知識，逐步學會將復雜問題簡單化的化歸思想.筆者認為本節(jié)課的成功得益于以下幾個方面.

（1）以生為本

學生是學習的主人，本節(jié)課以學生已經(jīng)認識并熟知的兩角和與差公式的簡單變形應用的入門測小練習引入，使得學生對將要學習的新知識沒有畏懼感，有利于課堂教學的順利開展.

（2）以課本為綱

課本是學生學做人做事的基本載體，脫離課本的教學不是好的數(shù)學教學.教師最基本且重要的職責是教好課本，而本節(jié)課恰恰是立足于教材的典型例題和課后習題，并進行深入探究而開展的教學活動.

（3）以課堂為基

課堂是教學工作的主陣地，是學生獲取知識與能力的主要途徑，本節(jié)課以“一題一課”的課堂教學模式來開展，使教學活動自然流暢，教學目標基本達成.

參考文獻：

［1］王先義.基于“生本”理念的“一題一課”微專題復習課探究以——“含參函數(shù)零點問題”為例［J］.中學數(shù)學月刊，2023（1）：21-26.

［2］石雨卓.小專題，大功能——“探究函數(shù)y=ax+bx的圖像與性質(zhì)”教學實踐與反思［J］.中學數(shù)學教學參考，2023（1）：35-37.