摘要：涉及直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，一直是高考中比較常見的基本考點之一.結(jié)合一道高考數(shù)學(xué)真題，借助問題的創(chuàng)新設(shè)置，從不等式思維與直線系思維等不同視角切入與應(yīng)用，多思維層面切入，多技巧視角應(yīng)用，探究破解問題的思路與變式拓展，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：直線；圓；位置關(guān)系；方程；勾股定理

直線與圓的應(yīng)用問題，是基于初中平面幾何知識的應(yīng)用與拓展，在邏輯推理的基礎(chǔ)上，借助代數(shù)運算來處理平面解析幾何中的一類基本應(yīng)用問題，成為初、高中階段知識之間的一個重要紐帶.解決此類問題，將平面幾何中兩類基本平面圖形放置于平面直角坐標(biāo)系中，有“形”有“數(shù)”，有效聯(lián)系起對應(yīng)的基礎(chǔ)知識與基本思想方法，很好地鏈接數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是每年高考數(shù)學(xué)命題中的一個基本考點.

而借助直線與圓的位置關(guān)系，回歸初中平面幾何“形”的幾何特征，聯(lián)系高中解析幾何“數(shù)”的運算性質(zhì)，是多視角切入與應(yīng)用的一個重要場景，切實吻合高考數(shù)學(xué)命題“在知識交匯點處命題”的理念，常考常新，一直成為高考的考查重點.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題 （2024年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理·12）已知b是a，c的等差中項，直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y－1=0交于A，B兩點，則|AB|的最小值為（ ）.

在直線與圓的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，結(jié)合弦長的取值范圍的確定與應(yīng)用，借助弦長|AB|為整數(shù)這一特殊設(shè)問方式來求解，合理進(jìn)行變式與拓展，實現(xiàn)問題的深入應(yīng)用，有利于深度學(xué)習(xí)與創(chuàng)新應(yīng)用.

4 教學(xué)啟示

4.1 合理交匯，巧妙應(yīng)用

直線與圓的位置關(guān)系問題，是初中平面幾何“形”的幾何特征與高中平面解析幾何“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)的巧妙綜合，符合在“知識交匯處命題”的理念，也是兩者之間不同思維視角切入的重要載體.

解決此類涉及直線與圓的位置關(guān)系問題，可以從“形”的幾何特征加以邏輯推理與直觀想象，也可以從“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)加以數(shù)學(xué)運算與推理應(yīng)用，給考生以更多的嘗試機(jī)會，成為全面提升數(shù)學(xué)“四基”、強(qiáng)化數(shù)學(xué)“四能”的一個重要場景.

4.2 深度學(xué)習(xí)，“一題多變”

基于此類典型的直線與圓的位置關(guān)系問題，在一定程度上合理挖掘問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，同時架起初中與高中數(shù)學(xué)知識之間的橋梁，從不同思維視角切入與應(yīng)用，成為“一題多解”“一題多思”的重要場景，進(jìn)而在一定程度上，合理加以深度學(xué)習(xí)與應(yīng)用，有效進(jìn)行“一題多變”“多題一解”等方式的深入探究與創(chuàng)新應(yīng)用，達(dá)到“一題多得”.

特別地，基于此類典型數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，合理挖掘問題的內(nèi)涵與實質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與思想方法，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本能力，在一定程度上提升數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，從而構(gòu)建一個更加完整的數(shù)學(xué)知識體系，有效落實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).