“概率與統(tǒng)計(jì)”在實(shí)際問題中的應(yīng)用分析

摘要：“概率與統(tǒng)計(jì)”知識(shí)被廣泛應(yīng)用于解決日常生活中的各類實(shí)際問題之中，其知識(shí)內(nèi)容和實(shí)際生活有著緊密的聯(lián)系.文章通過分析典型的實(shí)際問題強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)化與遷移能力，使學(xué)生能夠擁有利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問題的能力.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；概率與統(tǒng)計(jì)；實(shí)際問題

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）27-0050-03

正確理解與熟練運(yùn)用“概率與統(tǒng)計(jì)”中的一些分析方法，能夠有效幫助學(xué)生分析與處理一些日常生活中難以解決的實(shí)際問題.在利用“概率與統(tǒng)計(jì)”相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，要先確定好事件性質(zhì)，判斷事件的運(yùn)算，進(jìn)而選擇合適的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行問題求解.

1最大利潤問題中應(yīng)用數(shù)學(xué)期望

在“概率與統(tǒng)計(jì)”中，數(shù)學(xué)期望具有分析隨機(jī)變量總體取值平均水平的能力，其最終所得結(jié)果是表示其平均水平的重要數(shù)字特征.數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用范圍具有較強(qiáng)的寬泛性，其在實(shí)際生活中主要用于經(jīng)濟(jì)決策的相關(guān)問題中，經(jīng)過縝密計(jì)算后所得的期望結(jié)果可以為決策者的各類決策提供可靠的理論依據(jù)，使其通過數(shù)字了解各項(xiàng)決策后潛在的風(fēng)險(xiǎn)和利潤[1].

例如，某人存在投資需求，其投資金額為1 000萬元整，由于個(gè)人原因，其投資期限僅為一年.各大投資機(jī)構(gòu)所提出的投資方案有兩種，分別是存入銀行獲取固定利息以及購買股票[2].通過對股票市場環(huán)境進(jìn)行分析，可以得出1 000萬元投入股市一年后存在三種結(jié)果：經(jīng)濟(jì)形勢良好的情況下可以獲利約400萬元；經(jīng)濟(jì)形勢不好的情況下約損失200萬元；經(jīng)濟(jì)形勢普通或宏觀不變的前提下可以獲利約100萬元，且上述三種經(jīng)濟(jì)形勢的出現(xiàn)概率依次是30％，20％以及50％.若將1 000萬元存入銀行，假設(shè)千萬級(jí)別的年利率為7.6％，則可獲利約76萬元.請問，若投資人想獲取最大利潤，則應(yīng)當(dāng)選擇哪種投資策略？

分析根據(jù)現(xiàn)有的已知條件，若想保證投資人獲取最大利潤，則理想狀態(tài)下應(yīng)當(dāng)選擇購買股票且股市經(jīng)濟(jì)形勢處于良好趨勢，但若股市的經(jīng)濟(jì)形勢不好，則存入銀行獲取固定利息的方案可以為投資人帶來最大利潤.此外，若股市經(jīng)濟(jì)形勢普通，則購買股票可以為投資人帶來最大利潤.由于購買股票的策略中存在三種不同且彼此獨(dú)立的情況，無論是股市經(jīng)濟(jì)形勢良好還是普通，購買股票策略均優(yōu)于存入銀行獲取固定利息策略，反之則存入銀行獲取固定利息策略優(yōu)于購買股票.但股市經(jīng)濟(jì)形勢瞬息萬變，僅能獲知不同情況的出現(xiàn)概率，無法得知真實(shí)情況，因此需要比較兩種投資方案的獲利期望大小，從而判斷兩種方案的優(yōu)先性.

2實(shí)際問題中應(yīng)用中心極限定理

對于高中概率統(tǒng)計(jì)而言，其中的中心極限定理、大數(shù)定律等相關(guān)概念具有十分關(guān)鍵的地位與重要作用，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)和概率論之間承上啟下、承前啟后的重要樞紐.隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，各個(gè)行業(yè)均已開始應(yīng)用中心極限定理、大數(shù)定律等相關(guān)概念的數(shù)學(xué)模型，并逐漸滲入至人們的日常生活中.

例如，已知在A保險(xiǎn)企業(yè)內(nèi)存在一萬人參保壽命保險(xiǎn)，續(xù)保條件為每人每年在壽命保險(xiǎn)中投入12元保費(fèi).假設(shè)某年內(nèi)單人死亡概率為0.6％，且該人員死亡后其家屬可以通過壽命保險(xiǎn)依據(jù)向保險(xiǎn)公司領(lǐng)取1 000元.（1）在上述行業(yè)背景下，A保險(xiǎn)企業(yè)出現(xiàn)負(fù)營收概率為多少；（2）在上述已知條件不變的前提下，若想保證A保險(xiǎn)企業(yè)的年利潤高于60 000元，則需要將賠償金額設(shè)置在多少？

3路線選擇問題中應(yīng)用正態(tài)分布

正態(tài)分布無論是在數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域還是實(shí)際生活中均有著較強(qiáng)的應(yīng)用普適性和寬泛性，究其原因是在各個(gè)領(lǐng)域或行業(yè)所產(chǎn)生的實(shí)際問題中的大多數(shù)隨機(jī)變量的分布概率均服從正態(tài)分布規(guī)律，諸如生產(chǎn)條件標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范的前提下，產(chǎn)品的長度與口徑等指標(biāo)；個(gè)人能力統(tǒng)計(jì)中，人員的實(shí)際操作能力、學(xué)習(xí)能力等；醫(yī)學(xué)領(lǐng)域中，個(gè)體的血紅蛋白數(shù)量、紅細(xì)胞數(shù)量、白細(xì)胞數(shù)量等；物理領(lǐng)域中，測量相同物體時(shí)所產(chǎn)生的誤差等.上述所存在的隨機(jī)變量均相似地呈正態(tài)分布規(guī)律.

例如，已知人員A需要在上海某地乘車前往上海站乘坐高鐵，綜合考慮時(shí)間、是否堵車等相關(guān)因素，人員A在上海某地前往上海站的行程路線有兩條，其一是乘坐上海市內(nèi)公交車，該行程路線的優(yōu)勢在于行程短，劣勢在于所需時(shí)間長且交通擁堵，服從正態(tài)分布N（50，102）；其二是乘坐上海市內(nèi)某地鐵，該行程路線的優(yōu)勢為交通通暢，不存在擁堵情況，劣勢在于整體路線較長，服從正態(tài)分布N（60，42），問題中所涉及的時(shí)間均以min為單位.（1）若人員A需要在68 min內(nèi)抵達(dá)上海站，應(yīng)當(dāng)選擇哪種行程路線；（2）若人員A的可用時(shí)間從68 min縮減至62 min后，其應(yīng)當(dāng)選擇哪種行程路線？

4實(shí)際問題中應(yīng)用古典概率

對于古典概率而言，其本質(zhì)上屬于概率學(xué)中最為古老、簡單的一種概率模型.由于古典概率模型的結(jié)構(gòu)簡單，因此其在各個(gè)行業(yè)中的應(yīng)用局限性相對較弱，具有較強(qiáng)的普適性.在諸多問題中均可以使用古典概率進(jìn)行解決.

例如，在某屆某局的國際象棋比賽中，出戰(zhàn)雙方分別是國際選手A與國際選手B，通過對國際選手A與B的往屆戰(zhàn)績、實(shí)際排名等相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、統(tǒng)計(jì)，可以發(fā)現(xiàn)國際選手A在每局國際象棋比賽中的勝率為0.45、國際選手B在每局國際象棋比賽中的勝率為0.55.假設(shè)本屆國際象棋比賽中存在五局三勝制度和三局兩勝制度兩種比賽方式，則若想提高國際選手A的勝率，則應(yīng)當(dāng)選擇哪種比賽方式？

5結(jié)束語

綜上所述，“概率與統(tǒng)計(jì)”知識(shí)與實(shí)際生活緊密相關(guān)，教師要根據(jù)實(shí)際學(xué)情，選擇合適的實(shí)際問題案例培養(yǎng)學(xué)生利用“概率與統(tǒng)計(jì)”知識(shí)解決問題的能力，進(jìn)而通過典型問題案例引導(dǎo)學(xué)生自主完成知識(shí)的內(nèi)化與遷移，提高教學(xué)的有效性.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 于珊珊，趙越，劉丹. 新冠疫情防控問題在教學(xué)中的應(yīng)用探討：以《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程為例[J]. 高等數(shù)學(xué)研究，2023，26（4）：46-49.

[2] 李亞瓊，潘禹辰，徐文彬，等. 高考概率與統(tǒng)計(jì)試題的統(tǒng)計(jì)與分析：以2021年全國課標(biāo)卷為例[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（3）：20-25.

[3] 張麗靜，趙魯濤，李娜. 基于唯物辯證法的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程思政建設(shè)與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2022，38（2）：51-65.

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