【摘要】分類討論思想是解答初中數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想.等腰三角形問(wèn)題就是一類經(jīng)常需要分類討論的問(wèn)題.許多學(xué)生在面對(duì)等腰三角形問(wèn)題時(shí)容易出現(xiàn)錯(cuò)解、漏解的情況，這就是因?yàn)闆](méi)有對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理分類.本文結(jié)合實(shí)例探討分類討論思想在等腰三角形問(wèn)題中的應(yīng)用，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】分類討論；等腰三角形；初中數(shù)學(xué)

類型1依據(jù)幾何圖形的位置關(guān)系進(jìn)行分類

例1如圖1所示，在△ABC中，BC>AB>AC，∠ACB=40°，若D、E兩點(diǎn)在直線AB上，且滿足AD=AC，BE=BC，則∠DCE=.

解分析題目條件可以發(fā)現(xiàn)對(duì)△ABC的描述較少，D、E兩點(diǎn)可以在點(diǎn)A的同側(cè)，也可分居點(diǎn)A的兩側(cè)，需要分類討論.

（1）D、E兩點(diǎn)都在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖2所示.

因?yàn)锽E=BC，

所以∠BEC=∠BCE=12（180°－∠ABC）.

因?yàn)锳D=AC，

所以∠ADC=12∠BAC.

因?yàn)椤螪CE=∠BEC－∠ADC，

所以∠DCE=12（180°－∠ABC）－12∠BAC，

即∠DCE=12∠ACB=12×40°= 20°.

（2）當(dāng)D、E兩點(diǎn)都在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，如圖3所示.

與（1）類似可得

∠DCE=12∠ACB=12×40°=20°.

（3）當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如圖4所示.

因?yàn)锽E=BC，

所以∠BEC=12（180°－∠CBE）=12∠ABC.

因?yàn)锳D=AC，

所以∠ADC=12（180°－∠DAC）=12∠BAC.

在△DCE中，∠DCE=180°－（∠BEC+∠ADC），

所以∠DCE=180°－12（∠ABC+∠BAC）=180°－12（180°－∠ACB）=110°.

（4）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)，點(diǎn)D在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如圖5所示.

因?yàn)锳D=AC，

所以∠ADC=12（180°－∠DAC）=12（180°－∠BAC）.

因?yàn)锽E=BC，

所以∠BEC=12（180°－∠ABC）.

于是在△DCE中，∠DCE=180°－（∠BEC+∠ADC）=70°.

綜上所述，∠DCE的度數(shù)為20°或70°或110°.

評(píng)析此G7wRsdJn3xvOFq3uZiHOfw==類問(wèn)題是等腰三角形問(wèn)題中較為復(fù)雜的一類題目，在解題時(shí)，要能夠?qū)︻}目條件進(jìn)行合理的解讀.根據(jù)點(diǎn)的位置將每一種情況都一一列出來(lái)進(jìn)行計(jì)算，就可以得到答案.

類型2對(duì)存在性的分類

例2如圖6所示，△ABC是直角三角形，其中∠C=90°，∠A=30°，點(diǎn)P是直線BC或AC上的一點(diǎn)，且滿足△PAB是等腰三角形，求符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).

解（1）當(dāng)AB為腰，點(diǎn)A是頂點(diǎn)時(shí)，如圖7所示.

以點(diǎn)A為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫圓分別交直線BC和AC于P1、P2、P3三點(diǎn).

（2）當(dāng)AB為腰，點(diǎn)B是頂點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫圓分別交直線BC和AC于P3、P4、P5三點(diǎn).

（3）當(dāng)AB為底時(shí)，作AB的垂直平分線分別交直線BC和AC于P3、P6兩點(diǎn).

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有6個(gè).

評(píng)析存在性問(wèn)題一般都要畫出圖象來(lái)尋找，這時(shí)就需要作輔助線來(lái)明確點(diǎn)的位置，常用的方法有作圓、作垂直平分線等.

類型3對(duì)邊長(zhǎng)進(jìn)行分類

例3等腰三角形的一邊長(zhǎng)為6cm，周長(zhǎng)為20cm，求另外兩邊的長(zhǎng).

解此題有兩種情況.

（1）當(dāng)長(zhǎng)為6cm的邊為底邊時(shí)，則腰長(zhǎng)為7cm，能構(gòu)成三角形.

（2）當(dāng)長(zhǎng)為6cm的邊為腰時(shí)，則底邊長(zhǎng)為8cm，能構(gòu)成三角形.

綜上所述，這個(gè)三角形的另外兩邊長(zhǎng)可能為7cm，7cm或8cm，6cm.

評(píng)析針對(duì)邊長(zhǎng)進(jìn)行分類是等腰三角形問(wèn)題中較為簡(jiǎn)單的一類題目，與針對(duì)角進(jìn)行分類類似.在解答這一類問(wèn)題時(shí)，學(xué)生只需要考慮到邊的兩種情況：腰和底邊，即可解出答案.

結(jié)語(yǔ)

上述三種類型的問(wèn)題難度由高到低，學(xué)生們對(duì)于前兩種需要多加研究，熟悉不同的分類方法，明確不同位置以及不同存在條件對(duì)答案的影響.而最后一種則較為基礎(chǔ)，只做簡(jiǎn)單介紹，考慮到所有情況即可.