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      基于最短路徑問題的初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新案例研究

      2024-10-21 00:00:00劉兆娜
      數(shù)理天地(初中版) 2024年19期

      【摘要】本文通過對(duì)最短路徑問題的系統(tǒng)分析與歸納,結(jié)合圖論的基礎(chǔ)知識(shí),設(shè)計(jì)適合初中學(xué)生理解與實(shí)踐的教學(xué)案例.旨在幫助學(xué)生深入理解最短路徑問題背后的數(shù)學(xué)原理,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力和問題解決能力.

      【關(guān)鍵詞】最短路徑問題;初中數(shù)學(xué);解題教學(xué)

      1引言

      最短路徑問題是數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題之一,在初中數(shù)學(xué)教育中引入此類問題,有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和解決復(fù)雜問題的能力.本文提出兩種基于最短路徑問題的數(shù)學(xué)創(chuàng)新案例研究方法,以期為初中數(shù)學(xué)教育提供新的視角和策略.

      2案例研究

      例1已知O為圓錐的頂點(diǎn),M為底面圓周上一點(diǎn),點(diǎn)P在OM上,一只螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)繞圓錐側(cè)面爬行,回到點(diǎn)P時(shí)所經(jīng)過的最短路徑的痕跡如圖1,若沿OM將圓錐側(cè)面剪開并展平,所得側(cè)面展開圖是()

      (A) (B)

      (C)(D)

      解析螞蟻繞圓錐側(cè)面爬行的最短路線應(yīng)是一條線段,因此選項(xiàng)(A)和(B)錯(cuò)誤.又因?yàn)槲浵亸腜點(diǎn)出發(fā),繞圓錐側(cè)面爬行后,又回到起始點(diǎn)P處,那么如果將選項(xiàng)(C)(D)的圓錐側(cè)面展開圖還原成圓錐后,位于母線OM上的點(diǎn)P應(yīng)該能夠與母線OM′上的點(diǎn)P′重合,而選項(xiàng)(C)還原后兩個(gè)點(diǎn)不能夠重合.故選(D).

      策略分析本文選取了一個(gè)具有代表性的最短路徑問題——幾何體的最優(yōu)行走路線設(shè)計(jì).首先,通過引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建相應(yīng)的圖形模型,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.當(dāng)螞蟻在一個(gè)幾何體的表面移動(dòng)時(shí),為了找出其最短路徑,我們往往會(huì)采取一個(gè)實(shí)用的方法:“化曲為平”或“化折為直”,將幾何體展開成平面圖形.由題意螞蟻從P點(diǎn)出發(fā),繞圓錐側(cè)面爬行返回起始點(diǎn)的距離,可轉(zhuǎn)化為扇形上兩點(diǎn)間的距離.可以采取以下解題策略:

      建立空間觀念:首先,幫助學(xué)生建立清晰的空間觀念,理解三維空間中點(diǎn)、線、面的關(guān)系,以及它們與二維平面中的區(qū)別.

      實(shí)踐操作:利用教學(xué)模型或教具,讓學(xué)生通過親手操作來感受幾何體中的最短路徑問題.比如,可以讓學(xué)生用細(xì)線在幾何體模型上實(shí)際測(cè)量最短路徑,從而加深對(duì)問題的理解.

      數(shù)形結(jié)合:結(jié)合數(shù)學(xué)軟件和圖形計(jì)算器,通過數(shù)形結(jié)合的方式來求解最短路徑問題.這樣既可以提高學(xué)生的計(jì)算能力,又能培養(yǎng)他們的空間想象力.

      數(shù)學(xué)建模:在機(jī)器人導(dǎo)航中,如何使機(jī)器人在復(fù)雜的環(huán)境中快速找到目標(biāo)位置,同時(shí)避免障礙物,也是一個(gè)典型的幾何體最短路徑問題.

      例2“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河”,這是唐代詩人李顧《古從軍行》里的一句詩,由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題,通常稱為“將軍飲馬”問題(如圖2).

      (1)如圖3,若點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在直線l的兩側(cè),請(qǐng)作出示意圖,在直線l上找到點(diǎn)C,使得CA+CB有最小值,并說明作圖依據(jù):;

      (2)如圖4,若點(diǎn)A和點(diǎn)B在直線l的同側(cè),請(qǐng)?jiān)谥本€l上作出點(diǎn)P,使得PA+PB有最小值;

      (3)如圖5,已知∠AOB=30°,點(diǎn)Q在∠AOB內(nèi)部,點(diǎn)M,N分別在射線OA,OB上,若OQ=6,請(qǐng)求出△QMN周長的最小值.

      解析(1)連接AB,與直線l相交于點(diǎn)C,則CA+CB有最小值,即為AB.作圖依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短.

      (2)如圖6,點(diǎn)P即為所求.

      (3)如圖7,作法:

      ①作點(diǎn)Q關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C.

      ②作點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D.

      ③連接CD,分別交OA于點(diǎn)M,交OB于點(diǎn)N,則△QMN的周長最小.

      連接OC、OD.

      因?yàn)辄c(diǎn)C和點(diǎn)Q關(guān)于OA對(duì)稱,所以O(shè)C=OQ=6,∠MOC=∠QOM.

      同理可得,OD=OQ=6,∠QON=∠NOD,

      所以O(shè)C=OD=6,

      ∠MOC+∠QOM+∠QON+∠NOD=2∠QOM+2∠QON=2∠AOB=60°,

      所以△COD為等邊三角形,CD=6.

      所以△QMN的周長=QM+MN+QN=CM+MN+DN=CD=6.

      策略分析將軍飲馬問題是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)最值問題,涉及幾何和代數(shù)的知識(shí).解決這類問題通常需要運(yùn)用對(duì)稱性、線性規(guī)劃以及化歸思想等策略,確定是“一定兩動(dòng)”“兩定一動(dòng)”,還是其他變體,然后根據(jù)問題的特點(diǎn)選擇合適的解題策略.可以采取以下解題策略:

      直觀展示:利用數(shù)學(xué)軟件或繪圖工具,直觀地展示將軍從營地出發(fā)到“飲馬”再到返回營地的各種可能路徑,幫助學(xué)生理解最短路徑的概念.

      數(shù)學(xué)建模:引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型,即將軍的位置、河流的位置以及營地的位置可以用點(diǎn)來表示,而路徑則可以用線段來表示.然后,利用“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理來求解最短路徑.

      拓展應(yīng)用:在理解了將軍飲馬問題的基本原理后,教師可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考如何將該原理應(yīng)用到其他類似的實(shí)際問題中,例如城市規(guī)劃、電路設(shè)計(jì)、機(jī)器人路徑規(guī)劃等,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和應(yīng)用能力.

      利用數(shù)值模擬技術(shù):對(duì)地形、障礙物等因素進(jìn)行建模,通過計(jì)算機(jī)模擬尋找最短路徑.

      基于機(jī)器學(xué)習(xí)的方法:通過機(jī)器學(xué)習(xí)算法,訓(xùn)練模型來自動(dòng)尋找最短路徑,特別適用于復(fù)雜地形和動(dòng)態(tài)變化的環(huán)境.在物流運(yùn)輸中,如何規(guī)劃最優(yōu)的運(yùn)輸路徑,以最小化運(yùn)輸成本和時(shí)間,是一個(gè)典型的將軍飲馬問題.

      3結(jié)語

      本文重點(diǎn)分析了“將軍飲馬問題”和幾何體中的最短路徑問題.研究發(fā)現(xiàn),通過引入生活中的實(shí)際案例,利用數(shù)學(xué)軟件輔助教學(xué)、直觀展示、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)形結(jié)合等教學(xué)策略,可以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí),培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和解決問題的能力.

      參考文獻(xiàn):

      [1]杭霞,陳鋒.基于核心素養(yǎng)的“后建構(gòu)”課堂小組協(xié)作學(xué)習(xí)研究——以“最短路徑問題”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2023(16):3-4+7.

      [2]沈晨歡.如何解答初中數(shù)學(xué)最短路徑問題[J].理科愛好者,2022(06):30-32.

      [3]吳建惠,周敏剛,李碩.始于“活動(dòng)”,成于“轉(zhuǎn)化”,促深度學(xué)習(xí)——以“最短路徑問題”的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2022(14):9-11.

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