【摘要】近幾年的中考題追求題型的創(chuàng)新和與情境的融合，對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力要求越來(lái)越高.面對(duì)千變?nèi)f化的題型，刷題已不再有效，但是問(wèn)題背后的基本模型是不變的，熟悉模型就相當(dāng)于洞悉了問(wèn)題的本質(zhì).本文通過(guò)兩類(lèi)勾股定理的典型例題分析如何應(yīng)用基本模型來(lái)突破解題難點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】基本模型；初中數(shù)學(xué)；勾股定理

模型1“勾股樹(shù)”模型

內(nèi)容“勾股樹(shù)”以直角三角形為邊分別向外作形狀相同的圖形，設(shè)這三個(gè)圖形的面積分別為S1、S2、S3，滿(mǎn)足S1<S2<S3，則S1+S2=S3.

證明以等邊三角形為例，如圖1所示，

過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M.

因?yàn)椤鰽CD是等邊三角形，

所以AM=MC=12b.

在Rt△ADM中，

DM=AM·tan∠DAC=AM·tan60°=32b，

所以S2=12DM·AC=12×32b×b=34b2，

同理S1=34a2，S3=34c2.

則S1+S2=34a2+34b2=34（a2+b2）.

因?yàn)樵赗t△ABC中a2+b2=c2，

所以S1+S2=34（a2+b2）=34c2.

則S1+S2=S3.

注意其余的圖形的證明，均可以依據(jù)面積公式和勾股定理轉(zhuǎn)化得到.

例1如圖2所示，直線l上有三個(gè)正方形a、b、c，若b、c的面積分別為8和5，則a的面積為.

解如圖3所示，以BC為邊作正方形.

因?yàn)椤螦CB+∠ECD=90°，

∠CED+∠ECD=90°，

所以∠ACB=∠CED.

在△ABC和△CDE中，∠ABC=∠CDE∠ACB=∠CEDAC=CE，

所以△ABC≌△CDE，

則BC=DE.

所以Sb=Sa+Sc，

則Sa=Sb－Sc=8－5=3.

模型2趙爽弦圖

內(nèi)容如圖4所示，已知大正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形EFGH組成.

則：①S正方形ABCD=S正方形EFGH+4S△ABE.

②正方形EFGH的邊長(zhǎng)為圍成小正方形的直角三角形的兩直角邊之差，即EF=BE－BF.

拓展如圖5所示，在趙爽弦圖外作正方形，則2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形IJKL.

證明因?yàn)橼w爽弦圖中四個(gè)直角三角形是全等的，結(jié)合正方形的性質(zhì)即可得到.

例2中國(guó)是發(fā)現(xiàn)勾股定理最古老的國(guó)家之一，三國(guó)時(shí)期趙爽創(chuàng)造了“勾股方圓圖”，如圖6所示，證明了勾股定理.在這幅圖中，大正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形EFGH組成，連接AG.若AB=10，EF=2，則sin∠GAF的值為.

解依據(jù)模型可得AF=BF+EF.

在Rt△ABF中，AB2=BF2+AF2，

所以102=BF2+（BF+2）2，

解得BF=6.

則AF=6+2=8，

所以AG=AF2+FG2=217.

則sin∠GAF=FGAG=2217=1717.

結(jié)語(yǔ)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，應(yīng)制訂以學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo).因此，在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該避免讓學(xué)生盲目的刷題，而是有針對(duì)性地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)歸納，探索其共性，尋找規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在分析模型的過(guò)程中獨(dú)立思考，實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系的逐步形成.同時(shí)在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的核心素養(yǎng)也在不斷提高.