摘要： 自旋圓柱殼作為實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中的重要部件，其殼體端部邊界條件復(fù)雜多樣，對(duì)部件的振動(dòng)特性有著重要影響。為研究多種邊界條件下自旋圓柱殼的振動(dòng)特性，基于Lagrange方程和Novozhilov殼體理論建立自旋圓柱殼的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型；根據(jù)圓柱殼邊界條件的數(shù)學(xué)描述，采用Chebyshev多項(xiàng)式構(gòu)建滿足邊界條件且與殼體結(jié)構(gòu)參數(shù)無關(guān)的位移場離散函數(shù)；通過求解與振動(dòng)特性相關(guān)的特征方程得到靜止圓柱殼的固有頻率和模態(tài)，分析殼體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性對(duì)固有頻率的影響，討論殼體理論在不同殼體幾何尺寸下的適用性；此外，發(fā)現(xiàn)了環(huán)向波數(shù)相關(guān)的模態(tài)函數(shù)，并將其用于圓柱殼零階環(huán)向模態(tài)固有頻率的求解及多種邊界條件下自旋圓柱殼行波固有頻率的求解，討論了自旋圓柱殼行波固有頻率隨結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的情況。

關(guān)鍵詞： 自旋圓柱殼； 多種邊界條件； 轉(zhuǎn)動(dòng)慣性； 位移場離散

中圖分類號(hào)： O321； TH113.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）10-1731-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.10.011

引 言

憑借其中心對(duì)稱特性和較高的比剛度，圓柱殼結(jié)構(gòu)作為重要零部件在機(jī)械領(lǐng)域和航空航天領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。高速離心機(jī)的內(nèi)膽和外殼、風(fēng)電機(jī)組聯(lián)軸器的合金鋼中間管、航空發(fā)動(dòng)機(jī)的葉片輪轂等零部件均可簡化為自旋圓柱殼力學(xué)模型。不同于靜止圓柱殼的駐波特性，由自旋運(yùn)動(dòng)引起的科氏效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致自旋圓柱殼結(jié)構(gòu)出現(xiàn)行波振動(dòng)［1?2］。同時(shí)，實(shí)際工程中的圓柱殼結(jié)構(gòu)邊界條件種類較多，常見的簡支邊界條件難以滿足振動(dòng)特性求解精度的要求。因此，針對(duì)自旋圓柱殼結(jié)構(gòu)，發(fā)展除簡支邊界條件外的其他多種邊界條件描述方法，并準(zhǔn)確分析自旋圓柱殼的行波振動(dòng)特性，能夠?yàn)閷?shí)際工程結(jié)構(gòu)中多種邊界自旋圓柱殼的動(dòng)力學(xué)分析提供研究基礎(chǔ)。

由于單個(gè)三角函數(shù)能準(zhǔn)確描述簡支邊界條件下圓柱殼關(guān)于軸向坐標(biāo)的模態(tài)構(gòu)型，現(xiàn)有研究中關(guān)于圓柱殼振動(dòng)特性的研究大多在兩端簡支邊界條件下開展［3?9］。徐港輝等［3］通過正、余弦模態(tài)函數(shù)研究了兩端簡支圓柱殼動(dòng)力學(xué)響應(yīng)中的模態(tài)參與問題。Bich等［4］研究了簡支邊界功能梯度材料圓柱殼在外加載荷作用下的非線性振動(dòng)，首先將殼體位移分量在軸向和環(huán)向離散為單模態(tài)下的三角函數(shù)形式，然后在非線性運(yùn)動(dòng)控制方程的基礎(chǔ)上忽略殼體面內(nèi)慣性項(xiàng)，得到關(guān)于殼體徑向位移的非線性微分方程，最后得到了圓柱殼的頻響函數(shù)和非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的數(shù)值解。Wang［5］運(yùn)用Donnell非線性殼體理論建立了復(fù)合材料自旋圓柱殼關(guān)于徑向位移的非線性運(yùn)動(dòng)控制方程，將殼體徑向位移用三角函數(shù)表示，運(yùn)用諧波平衡法研究了簡支邊界條件下圓柱殼的強(qiáng)迫振動(dòng)，研究發(fā)現(xiàn)較高的自旋速度會(huì)導(dǎo)致復(fù)雜的頻響曲線并產(chǎn)生新的穩(wěn)態(tài)?；谝浑A剪切變形殼體理論，Sofiyev等［6］研究了彈性地基上功能梯度材料圓柱殼的非線性振動(dòng)，考慮殼體端部簡支邊界，假設(shè)殼體單模態(tài)振動(dòng)，將殼體位移場離散為三角函數(shù)形式，通過數(shù)值算例討論了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)圓柱殼頻響曲線的影響規(guī)律。

為研究多種邊界條件下圓柱殼的振動(dòng)特性，學(xué)者們用三角函數(shù)和雙曲函數(shù)組合形式的梁模態(tài)函數(shù)來描述圓柱殼關(guān)于軸向坐標(biāo)的振型［10?12］。孫述鵬等［10］采用固支邊界梁的模態(tài)函數(shù)描述圓柱殼模態(tài)函數(shù)在軸向的構(gòu)型，分別研究了橫向簡諧力和恒力作用下兩端固支自旋圓柱殼的行波振動(dòng)響應(yīng)。此外，Jin等［13］和Lin等［14］通過在圓柱殼端部添加虛擬彈簧來模擬彈性邊界，其中不同的殼體邊界條件由不同形式的彈簧剛度系數(shù)組合決定，此特定的剛度系數(shù)組合隨殼體幾何尺寸和材料性質(zhì)而發(fā)生變化。石先杰等［15］采用邊界虛擬彈簧模擬功能梯度圓柱殼的任意經(jīng)典邊界，研究了殼體自由振動(dòng)和瞬態(tài)振動(dòng)特性。龐福振等［16］研究了邊界虛擬彈簧約束下半球殼的受迫振動(dòng)響應(yīng)。

為建立多種邊界條件下與圓柱殼結(jié)構(gòu)參數(shù)無關(guān)的殼體模態(tài)函數(shù)，Kurylov等［17］將圓柱殼位移場離散為正交多項(xiàng)式或三角函數(shù)的多項(xiàng)求和形式，在此基礎(chǔ)上對(duì)比分析了簡支和固支邊界圓柱殼的固有頻率。Dong等［18］使用Chebyshev多項(xiàng)式分別給出了滿足圓柱殼8種邊界條件的位移場離散函數(shù)，得到了較高精度的殼體固有頻率。

綜上所述，學(xué)者們對(duì)多種邊界條件下圓柱殼的振動(dòng)特性分析已開展廣泛研究，本文將進(jìn)一步研究多種邊界條件下自旋圓柱殼的行波振動(dòng)特性。給出含有自旋運(yùn)動(dòng)的殼體結(jié)構(gòu)模態(tài)分析流程，同時(shí)分析殼體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性對(duì)固有頻率求解精度的影響，并通過數(shù)值算例對(duì)比不同殼體理論的適用范圍，研究不同邊界條件對(duì)行波振動(dòng)特性的影響。

1 自旋圓柱殼動(dòng)力學(xué)模型

自旋圓柱殼力學(xué)模型及其橫截面微元如圖1所示，其中紅色虛線圓所在的環(huán)面為圓柱殼中面，圓柱殼以自旋速度（r/min）繞其中心軸線作自旋運(yùn)動(dòng)。圓柱殼長度、壁厚、中面半徑分別為L，h，r；圓柱殼材料的楊氏模量、泊松比、密度分別為E，，。為建立自旋圓柱殼動(dòng)力學(xué)模型，并使用Chebyshev多項(xiàng)式表示位移場離散函數(shù)，需將圓柱殼軸向坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到多項(xiàng)式的定義區(qū)間［-1，1］。將慣性坐標(biāo)系（，，）的軸置于圓柱殼中心軸線，柱坐標(biāo)系（，，z）固結(jié)于殼體中面，其中，［-1，1］，［0，2］，［-0.5h，0.5h］。在固結(jié)于中面的柱坐標(biāo)系下，圓柱殼中面任意點(diǎn)沿，，z三個(gè)方向的位移分別為，，。

考慮圓柱殼橫截面轉(zhuǎn)動(dòng)，則圓柱殼任意點(diǎn)沿，，z三個(gè)方向的位移，，可表示為關(guān)于圓柱殼中面位移場的函數(shù)：

（1）

式中 變量下標(biāo)中的“，”表示對(duì)下標(biāo)“，”后面變量的微分。

本文使用薄壁殼體理論中較為精確的Novozhilov殼體理論［19］，其應(yīng)變場表示為：

（2）

其中，殼體中面應(yīng)變和曲率變化分量分別表示為：

（3）

圓柱殼應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系則表示為：

（4）

式中 （i，j=1，2，4）為與楊氏模量和泊松比有關(guān)的彈性常數(shù)［2］。

為方便對(duì)圓柱殼邊界條件進(jìn)行描述，接著給出圓柱殼橫截面處軸力和彎矩的定義式：

（5）

根據(jù)圖1所示的殼體橫截面微元，圓柱殼應(yīng)變能可表示為：

（6）

同時(shí)，自旋圓柱殼的動(dòng)能K包含結(jié)構(gòu)的振動(dòng)動(dòng)能和自旋運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)能，具體表示為：

（7）

式中 變量上方加‘·’表示對(duì)時(shí)間變量t的微分。

由離心慣性力產(chǎn)生的環(huán)向拉伸應(yīng)變能為：

（8）

結(jié)合式（1）和（5），可給出圓柱殼在端部可移動(dòng)簡支（Sm）、端部不可移動(dòng)簡支（Si）、滑移（Sd）、固支（C）、自由（F）等多種邊界條件下，關(guān)于殼體邊界處（=-1或1）的位移場、軸力和彎矩的數(shù)學(xué)描述：

（9）

2 振動(dòng)特性

為了研究多種邊界條件下自旋圓柱殼的行波振動(dòng)特性，需要對(duì)位移場進(jìn)行離散，再通過求解特征值問題來得到殼體結(jié)構(gòu)固有頻率。

由于圓柱殼位移場關(guān)于環(huán)向坐標(biāo)的模態(tài)構(gòu)型呈花瓣?duì)?，且相互正交，故可通過單一的正、余弦函數(shù)準(zhǔn)確描述。而圓柱殼位移場關(guān)于軸向坐標(biāo)的離散函數(shù)與殼體邊界條件有關(guān)，文獻(xiàn)［18］給出的數(shù)值結(jié)果證明，若使用梁模態(tài)函數(shù)（三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的組合形式）近似描述多種邊界條件下殼位移場關(guān)于軸向坐標(biāo)的離散函數(shù)，得到的固有頻率存在較大誤差。

基于此，本文選取Chebyshev多項(xiàng)式描述圓柱殼位移場關(guān)于軸向坐標(biāo)的離散函數(shù)。當(dāng)存在自旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，多項(xiàng)式描述的陀螺矩陣具有奇異性和稀疏性，無法直接求解相對(duì)應(yīng)的特征值問題。因此，首先通過對(duì)靜止圓柱殼的模態(tài)分析，得到多種邊界條件下各階模態(tài)的離散函數(shù)描述形式，在此基礎(chǔ)上求解多種邊界條件下自旋圓柱殼的行波振動(dòng)特性，具體流程圖如圖2所示。

首先給出多種邊界條件下圓柱殼單模態(tài)振動(dòng)的殼體中面位移場離散形式：

（10）

式中 U（），V（）和W（）表示位移場關(guān)于軸向和環(huán)向坐標(biāo)的離散函數(shù)；f（t）為與時(shí)間有關(guān)的簡諧函數(shù)。

考慮第一類Chebyshev多項(xiàng)式，其前j階多項(xiàng)式依次表示為：，，。式（10）中的離散函數(shù)可表示為的線性組合形式：

（11）

式中 n表示圓柱殼各階模態(tài)的環(huán)向波數(shù)；表示Chebyshev多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)；，，表示Chebyshev多項(xiàng)式的系數(shù)。

將式（10）和（11）代入式（9），通過運(yùn)算即可得到滿足圓柱殼不同邊界條件的Chebyshev多項(xiàng)式組合形式。此時(shí)，滿足邊界條件的圓柱殼離散函數(shù)為：

（12）

式中 fun表示滿足邊界條件的第j個(gè)關(guān)于Chebyshev多項(xiàng)式的線性組合函數(shù)；M表示U（），V（）和W（）關(guān)于軸向坐標(biāo)的離散函數(shù)的求和項(xiàng)數(shù)；，，表示Chebyshev多項(xiàng)式的修正系數(shù)。

本文使用如下Lagrange方程求解圓柱殼固有振動(dòng)特性：

（13）

式中 q為向量=｛，…，，，…，，，…，｝中的元素。

將式（10）和（12）代入能量表達(dá)式（6）～（8），再結(jié)合式（13），并假設(shè)圓柱殼的簡諧振動(dòng)f（t）=，其中表示圓柱殼的固有頻率。當(dāng)自旋速度=0時(shí)，可得到靜止圓柱殼的關(guān)于固有頻率和固有振型的特征方程：

（14）

式中 ，分別表示靜止圓柱殼的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

當(dāng)自旋速度0時(shí)，自旋圓柱殼出現(xiàn)行波振動(dòng)，固有頻率分為前行波頻率和后行波頻率。對(duì)于環(huán)向波數(shù)為n的行波模態(tài)，此時(shí)圓柱殼關(guān)于軸向坐標(biāo)和環(huán)向坐標(biāo)的離散函數(shù)為：

（15）

式中 ，和為滿足殼體邊界條件的模態(tài)函數(shù)，與對(duì)應(yīng)的靜止圓柱殼模態(tài)函數(shù)一致，由式（12）和（14）得到，如圖2流程圖所示。此時(shí)，q為向量q=｛，，，，，｝中的廣義變量，根據(jù)Lagrange方程得到：

（16）

式中 M，G和K分別表示自旋圓柱殼的質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣。值得注意的是，由自旋運(yùn)動(dòng)引起的科式效應(yīng)和離心效應(yīng)，分別在矩陣G和K中體現(xiàn)。

假設(shè)簡諧振動(dòng)形式q=，其中和分別為待定標(biāo)量和向量，將此式代入式（16），即可得到二次特征值問題。為方便求解行波固有頻率，使用狀態(tài)空間描述，令，廣義坐標(biāo)q在狀態(tài)空間中的運(yùn)動(dòng)變?yōu)?，得到關(guān)于自旋圓柱殼行波固有頻率的特征值方程：

（17）

式（17）與（16）具有相同的特征值。求解式（17）可得到6個(gè)頻率值，其中最小的兩個(gè)頻率對(duì)應(yīng)該邊界條件下自旋圓柱殼的前行波頻率和后行波頻率。

2.1 數(shù)值驗(yàn)證與殼體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的影響

為驗(yàn)證本文中基于Chebyshev多項(xiàng)式的模態(tài)離散函數(shù)的有效性，及多種邊界條件下圓柱殼振動(dòng)特性的理論推導(dǎo)與數(shù)值模擬的正確性，首先將本文中基于Novozhilov殼體理論的圓柱殼固有頻率與有限元結(jié)果、文獻(xiàn)［2］中基于Amabili?Reddy三階剪切變形殼體的理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表1所示。通過數(shù)值解對(duì)比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)式（12）中多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)M=20時(shí)，固有頻率值收斂，故在本文數(shù)值解求解過程中M均取為20。

值得注意的是，在C?C和Si?Si邊界條件下，表1中針對(duì)圓柱殼零階環(huán)向模態(tài)（n=0）的固有頻率計(jì)算，在C?C和Si?Si邊界條件下，使用式（12）和（14）無法直接得到其固有頻率。此時(shí)，采用（1，1）模態(tài)下求得的離散函數(shù)作為（1，0）模態(tài)頻率計(jì)算的離散函數(shù)，可得到較高精度的固有頻率。由表1可知，本文解與有限元解、文獻(xiàn)［18］的解有較好的對(duì)照，驗(yàn)證了Chebyshev多項(xiàng)式在模擬圓柱殼多種邊界條件時(shí)的有效性。

現(xiàn)有文獻(xiàn)在關(guān)于圓柱殼振動(dòng)特性和非線性振動(dòng)響應(yīng)的分析中，為了便于計(jì)算分析，一般忽略殼體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性［4，6，10?11，17］，在式（7）中僅考慮中面位移場相關(guān)的動(dòng)能。基于Novozhilov殼體理論和Donnell殼體理論，表2分別給出了考慮殼體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性和忽略殼體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性情況下圓柱殼的固有頻率，同時(shí)對(duì)比了圓柱殼在不同半徑?厚度比（r/h）情況下，上述兩種殼體理論的適用性。為了更直觀地進(jìn)行分析，將表2中基于上述兩種殼體理論的固有頻率計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果對(duì)比的相對(duì)誤差展示在圖3中。

從表2和圖3中可以看出，針對(duì)兩種不同的殼體理論，忽略殼體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性造成的固有頻率計(jì)算誤差較小，這是因?yàn)闅んw厚度與殼體長度相比較小，且轉(zhuǎn)動(dòng)慣性是比殼體中面慣性更高階的量，故在較大半徑?厚度比情況下，忽略殼體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的假設(shè)是合理的。此外，對(duì)比Novozhilov殼體理論和Donnell殼體理論的適用性，Novozhilov殼體理論比Donnell殼體理論具有更高的固有頻率計(jì)算精度。在薄壁殼情況下（r/h200），與有限元結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，基于Donnell殼體理論的計(jì)算結(jié)果最大誤差不超過1.6%。在中厚殼情況下（），基于Novozhilov殼體理論的計(jì)算結(jié)果仍具有較高的精度，與Amabili?Reddy三階剪切變形殼體理論的結(jié)果相差較小，而基于Donnell殼體理論的計(jì)算結(jié)果存在較大誤差。故Novozhilov殼體理論在中厚殼描述中也是一個(gè)較好的選擇。

2.2 環(huán)向波數(shù)相關(guān)的模態(tài)函數(shù)

依據(jù)圖2所示的流程求解特征方程式（14），可得到圓柱殼在不同邊界條件下的固有頻率和對(duì)應(yīng)的模態(tài)構(gòu)型。圖4給出了C?C邊界條件下，圓柱殼的（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）模態(tài)構(gòu)型沿軸向的變化情況。

在相同軸向半波數(shù)條件下，分別對(duì)比圖4中，和在不同環(huán)向波數(shù)情況下隨圓柱殼軸向坐標(biāo)的變化，發(fā)現(xiàn)圓柱殼模態(tài)構(gòu)型在不同環(huán)向波數(shù)中存在明顯差異，稱此現(xiàn)象為環(huán)向波數(shù)相關(guān)的模態(tài)函數(shù)。

為進(jìn)一步驗(yàn)證圓柱殼環(huán)向波數(shù)相關(guān)的模態(tài)函數(shù)，表3分別給出了采用（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）模態(tài)下已知的關(guān)于軸向坐標(biāo)的離散函數(shù)作為模態(tài)構(gòu)型時(shí)，求解得到的固有頻率。由表3的計(jì)算結(jié)果及其與準(zhǔn)確值間的相對(duì)誤差可知，通過自身模態(tài)去求解固有頻率可以得到準(zhǔn)確值，當(dāng)用于求解固有頻率的模態(tài)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的環(huán)向波數(shù)與待求模態(tài)波數(shù)相差較大時(shí)，會(huì)造成固有頻率求解誤差較大。

值得注意的是，與圓柱殼的環(huán)向波數(shù)相關(guān)的模態(tài)函數(shù)在除簡支?簡支邊界外的其他邊界條件中均存在，此現(xiàn)象將在多種邊界條件下，圓柱殼零階環(huán)向模態(tài)的固有頻率求解、自旋圓柱殼行波振動(dòng)特性求解、圓柱殼的多模態(tài)耦合振動(dòng)分析中有重要應(yīng)用。

圖5對(duì)比了C?C，Sm?Sm邊界條件下，圓柱殼固有頻率隨環(huán)向波數(shù)的變化。從圖5中可以看出，不同于梁、板結(jié)構(gòu)，圓柱殼的最低固有頻率一般不在最小模態(tài)波數(shù)處取得。相同模態(tài)波數(shù)情況下，固支邊界的固有頻率遠(yuǎn)高于端部可移動(dòng)簡支邊界的固有頻率。

2.3 自旋圓柱殼行波固有頻率

依據(jù)圖2所示的流程，考慮Sm?Sm，Sd?Sd邊界條件，表4給出了自旋圓柱殼行波振動(dòng)的固有頻率，并與現(xiàn)有文獻(xiàn)［2］的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。從表4中可以看出，本文采用Chebyshev多項(xiàng)式模擬圓柱殼多種邊界條件下的位移場離散函數(shù)，并使用環(huán)向波數(shù)相關(guān)的模態(tài)函數(shù)求解多種邊界條件下的自旋圓柱殼行波振動(dòng)特性是可行的，具有較高的精度。圖6則給出了Sm?Sm，C?C邊界條件下，自旋圓柱殼（1，5）行波模態(tài)的固有頻率隨自旋速度的變化。

3 結(jié) 論

本文基于Novozhilov殼體理論建立了圓柱殼動(dòng)力學(xué)模型，運(yùn)用Chebyshev多項(xiàng)式組合形式的位移場離散函數(shù)研究了多種邊界條件下自旋圓柱殼的行波振動(dòng)特性。主要結(jié)論如下：

（1）Novozhilov殼體理論可用于中厚殼的理論分析，在圓柱殼振動(dòng)特性分析中能達(dá)到與高階剪切變形殼體理論相近的準(zhǔn)確度，且具有較簡便的形式（包括非線性項(xiàng)），在圓柱殼多模態(tài)耦合振動(dòng)分析中，Novozhilov殼體理論是一個(gè)較好的選擇。

（2）在較大半徑?厚度比情況下，殼體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性可忽略不計(jì)，以簡化振動(dòng)特性求解過程。圓柱殼的環(huán)向波數(shù)相關(guān)的模態(tài)函數(shù)在除簡支?簡支邊界外的其他邊界條件中均存在。

（3）在多種邊界條件下，由Chebyshev多項(xiàng)式構(gòu)成的模態(tài)離散函數(shù)可以精確滿足圓柱殼的多種邊界條件。環(huán)向波數(shù)相關(guān)的模態(tài)函數(shù)在圓柱殼零階環(huán)向模態(tài)的固有頻率求解、自旋圓柱殼行波振動(dòng)特性求解、圓柱殼的多模態(tài)耦合振動(dòng)分析具有重要作用。

在后續(xù)的研究中，進(jìn)一步將環(huán)向波數(shù)相關(guān)的模態(tài)函數(shù)應(yīng)用于自旋圓柱殼的非線性多模態(tài)耦合振動(dòng)，研究多種邊界條件下自旋圓柱殼的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

參考文獻(xiàn)：

［1］曹航，朱梓根. 轉(zhuǎn)動(dòng)殼體行波振動(dòng)的有限元分析方法［J］. 航空動(dòng)力學(xué)報(bào)，2002，17（2）： 222-225.

GAO Hang，ZHU Zigen. Travelling-wave vibration of rotating shells by finite element method［J］. Journal of Aerospace Power，2002，17（2）： 222-225.

［2］Dong Y H，Liu H，Hu H Y，et al. Semi-analytical and experimental studies on travelling wave vibrations of a moderately thick cylindrical shell subject to a spinning motion［J］. Journal of Sound and Vibration，2022，535： 117095.

［3］徐港輝，祝長生. 圓柱殼體動(dòng)力響應(yīng)中的模態(tài)參與問題研究［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2024，37（1）： 83-94.

XU Ganghui，ZHU Changsheng. Study on modal participation in dynamic responses of cylindrical shells［J］. Journal of Vibration Engineering，2024，37（1）： 83-94.

［4］Bich D H，Nguyen N X. Nonlinear vibration of functionally graded circular cylindrical shells based on improved Donnell equations［J］. Journal of Sound and Vibration，2012，331（25）： 5488-5501.

［5］Wang Y Q. Nonlinear vibration of a rotating laminated composite circular cylindrical shell： traveling wave vibration［J］. Nonlinear Dynamics，2014，77（4）： 1693-1707.

［6］Sofiyev A H，Hui D，Haciyev V C，et al. The nonlinear vibration of orthotropic functionally graded cylindrical shells surrounded by an elastic foundation within first order shear deformation theory［J］. Composites Part B： Engineering，2017，116： 170-185.

［7］Amabili M，Reddy J N. The nonlinear，third-order thickness and shear deformation theory for statics and dynamics of laminated composite shells［J］. Composite Structures，2020，244： 112265.

［8］Yadav A，Amabili M，Panda S K，et al. Forced nonlinear vibrations of circular cylindrical sandwich shells with cellular core using higher-order shear and thickness deformation theory［J］. Journal of Sound and Vibration，2021，510： 116283.

［9］Teng M W，Wang Y Q. Spin-induced internal resonance in circular cylindrical shells［J］. International Journal of Non-Linear Mechanics，2022，147： 193-206.

［10］孫述鵬，曹登慶，初世明. 轉(zhuǎn)動(dòng)薄壁圓柱殼行波振動(dòng)響應(yīng)分析［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2013，26（3）： 459-466.

SUN Shupeng，CAO Dengqing，CHU Shiming. Analysis of travelling wave vibration response for thin rotating cylindrical shell［J］. Journal of Vibration Engineering，2013，26（3）： 459-466.

［11］Dong Y H，Zhu B，Wang Y，et al. Nonlinear free vibration of graded graphene reinforced cylindrical shells： effects of spinning motion and axial load［J］. Journal of Sound and Vibration，2018，437： 79-96.

［12］Song X Y，Ren Y P，Han Q K. Nonlinear vibration of rotating cylindrical shell due to unilateral contact induced tip rubbing impact： theoretical and experimental verification［J］. Mechanical Systems and Signal Processing，2022，164： 108244.

［13］Jin G Y，Ye T G，Ma X L，et al. A unified approach for the vibration analysis of moderately thick composite laminated cylindrical shells with arbitrary boundary conditions［J］. International Journal of Mechanical Sciences，2013，75： 357-376.

［14］Lin H G，Cao D Q，Shao C H. An admissible function for vibration and flutter studies of FG cylindrical shells with arbitrary edge conditions using characteristic orthogonal polynomials［J］. Composite Structures，2018，185： 748-763.

［15］石先杰，左朋. 熱環(huán)境下功能梯度圓柱殼振動(dòng)特性分析［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2023，36（2）： 526-533.

SHI Xianjie，ZUO Peng. Vibration analysis of functionally graded cylindrical shell under thermal environment［J］. Journal of Vibration Engineering，2023，36（2）： 526-533.

［16］龐福振，張明，高聰，等. 復(fù)雜邊界條件下半球殼受迫振動(dòng)響應(yīng)分析［J］. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2024，37（3）： 374-383.

PANG Fuzhen，ZHANG Ming，GAO Cong，et al. Forced vibration response analysis of hemispherical shell under complex boundary conditions［J］. Journal of Vibration Engineering，2024，37（3）： 374-383.

［17］Kurylov Y，Amabili M. Polynomial versus trigonometric expansions for nonlinear vibrations of circular cylindrical shells with different boundary conditions［J］. Journal of Sound and Vibration，2010，329： 1435-1449.

［18］Dong Y H，Hu H Y，Wang L F. A comprehensive study on the coupled multi-mode vibrations of cylindrical shells［J］. Mechanical Systems and Signal Processing，2022，169： 108730.

［19］Amabili M. Nonlinear vibrations of circular cylindrical shells with different boundary conditions［J］. AIAA Journal，2003，41（6）： 1119-1130.

Vibration characteristics of spinning cylindrical shells under various boundary conditions

DONG You-heng1，LI Ying-hui2，LI Xiang-yu2，MAO Xiao-chen1

（1.College of Mechanics and Engineering Science，Hohai University，Nanjing 211100，China； 2.School of Mechanics and Aerospace Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu 611756，China）

Abstract： Spinning cylindrical shells are critical components in practical engineering structures. The boundary conditions at the shell ends are diverse and significantly influence the vibration characteristics of the shell. To study these characteristics under various boundary conditions，a dynamic model of the spinning cylindrical shell is established using Lagrange equations and Novozhilov’s shell theory. The mathematical description of the boundary conditions for the cylindrical shell is combined with the discretized displacement functions，which are constructed based on a linear combination of Chebyshev polynomials. These functions satisfy the boundary conditions and are independent of the cylindrical shell's parameters. The vibration characteristics of stationary cylindrical shells are determined by solving the eigenvalue problems，revealing the influence of rotary inertia on the vibration characteristics. The applicability of different shell theories with respect to various geometrical parameters of the shell is discussed. Additionally，circumferential wave-dependent mode functions are identified and used to compute the natural frequencies of shell modes with the zero circumferential waves，as well as the travelling waves of the spinning cylindrical shell under different boundary conditions. The impact of structural parameters on the natural frequencies of the travelling waves is also analyzed.

Key words： spinning cylindrical shell；various boundary conditions；rotary inertia；displacement field discretization

作者簡介： 董有恒（1992―），男，博士，副研究員。E-mail：dyhe@hhu.edu.cn。

通訊作者： 李映輝（1964―），男，博士，教授。E-mail：yhli2007@sina.com。