一題多解提升思維一題多變發(fā)展素養(yǎng)

【摘要】2024年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)第23題是一道以二次函數(shù)綜合問(wèn)題為背景，注重考查考生的化歸轉(zhuǎn)化、由形悟質(zhì)及數(shù)形結(jié)合能力的中考?jí)狠S題.在新一屆初中畢業(yè)班復(fù)習(xí)教學(xué)中，選用該試題進(jìn)行一題多解與一題多變的深度學(xué)習(xí)，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從不同視角切入，多層次挖掘試題內(nèi)涵.通過(guò)一題多解開(kāi)闊解題思路，提升數(shù)學(xué)思維能力，通過(guò)一題多變促進(jìn)和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】中考數(shù)學(xué)；一題多解；提升思維；一題多變；發(fā)展素養(yǎng)

二次函數(shù)歷來(lái)是各地中考數(shù)學(xué)命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，且?？汲Ｐ?2024年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)第23題就是一道二次函數(shù)的綜合壓軸試題，充分體現(xiàn)了知識(shí)與思維能力并重，方法與數(shù)學(xué)思想交融的命題特點(diǎn).下面通過(guò)選用該試題進(jìn)行一題多解與一題多變的“二次開(kāi)發(fā)”訓(xùn)練，以促進(jìn)思維能力的提升和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

1試題呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（2，-3）在二次函數(shù)y=ax2+bx-3（a>0）的圖象上，記該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m.

（1）求m的值；

（2）若點(diǎn)Q（m，-4）在y=ax2+bx-3（a>0）的圖象上，將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)的圖象，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；

（3）設(shè)y=ax2+bx-3的圖象與x軸交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0）（x1<x2），若4<x2-x1<6，求a的取值范圍.

2解法探究

首先來(lái)看第（1）小題的解法.

分析1把點(diǎn)P（2，-3）代入y=ax2+bx-3，得b=-2a，再由對(duì)稱(chēng)軸公式求解.

解法1根據(jù)題意，得a×22+b×2-3=-3，解得b=-2a，所以y=ax2-2ax-3，對(duì)稱(chēng)軸為x=--2a2a=1，故m=1.

分析2令x=0，得到y(tǒng)=-3，可知二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為T(mén)（0，-3），根據(jù)圖象對(duì)稱(chēng)性，求解即可.

解法2對(duì)于y=ax2+bx-3，令x=0，則y=-3，所以二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為T(mén)（0，-3）.因?yàn)門(mén)P∥x軸，所以由圖象對(duì)稱(chēng)性可知對(duì)稱(chēng)軸為x=1，故m=1.

點(diǎn)評(píng)第（1）小題主要考查二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性.解法1重在“算”，把點(diǎn)P（2，-3）代入解析式，得到b=-2a；然后利用對(duì)稱(chēng)軸公式求出m，考查了待定系數(shù)法和對(duì)稱(chēng)軸公式的應(yīng)用；解法2重在“形”，通過(guò)圖象與y軸交點(diǎn)T的縱坐標(biāo)與已知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)相等，可知TP∥x軸，然后利用對(duì)稱(chēng)性直接得到m，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

接著來(lái)看第（2）小題的解法.

分析把點(diǎn)Q代入y=ax2-2ax-3，求出a的值，代回解析式并配方為頂點(diǎn)式后進(jìn)行平移，得到新的二次函數(shù)，最后結(jié)合圖象利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值.

解由（1）知m=1，所以Q（1，-4）.

因?yàn)辄c(diǎn)Q（1，-4）在y=ax2-2ax-3的圖象上，所以a-2a-3=-4，解得a=1.

所以y=x2-2x-3=（x-1）2-4.

將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)為y=（x-1）2+1.[TPZJL-1.TIF;Z1*2，

如圖1，因?yàn)?≤x≤4，所以最小值對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最大值對(duì)應(yīng)x=4時(shí)的函數(shù)值.當(dāng)x=1時(shí)，y=（1-1）2+1=1，當(dāng)x=4時(shí)，y=（4-1）2+1=10，所以新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為1+10=11.

點(diǎn)評(píng)第（2）小題主要考查對(duì)函數(shù)圖象變換的理解和認(rèn)識(shí)，考查二次函數(shù)的最值性質(zhì).由于是結(jié)合函數(shù)圖象求解的，考查了運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.易錯(cuò)點(diǎn)在于沒(méi)有結(jié)合圖象，想當(dāng)然地認(rèn)為最大值和最小值分別在自變量范圍的端點(diǎn)值處取得，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

下面重點(diǎn)來(lái)探究第（3）小題的解法.

分析1利用函數(shù)與方程的關(guān)系，把y=ax2-2ax-3的圖象與x軸交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0）轉(zhuǎn)化為x1，x2為方程ax2-2ax-3=0的根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2與x1x2，結(jié)合條件4<x2-x1<6，所以16<（x2-x1）2<36，即16<（x2+x1）2-4x1x2<36，再建立不等式組求解即可.

解法1因?yàn)閥=ax2-2ax-3的圖象與x軸交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0），則x1，x2為方程ax2-2ax-3=0的根，所以x1+x2=2，x1x2=-3a.

因?yàn)?<x2-x1<6，所以16<（x2-x1）2<36，即16<（x2+x1）2-4x1x2<36，所以16<4-4×（-3[]a[SX）]）<36，

所以4<1+3a<9.

由4<1+3a，因?yàn)閍>0，解得a<1；由1+3a<9，因?yàn)閍>0，解得a>38.

故a的取值范圍是38<a<1.

分析2把函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為方程的根后，利用求根公式得到x1，x2，代入4<x2-x1<6，再建立不等式組求解即可.

解法2因?yàn)閥=ax2-2ax-3的圖象與x軸交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0），則x1，x2為方程ax2-2ax-3=0的根，所以由求根公式得x1=2a-4a2+12a2a=1-a2+3aa，x2=1+a2+3aa，所以x1+x2=2，x1x2=-3a.以下同解法1.

分析3設(shè)A（x1，0），B（x2，0），根據(jù)4<x2-x1<6，得4<AB<6，根據(jù)A，B關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，結(jié)合圖象，分別求出AB的兩個(gè)臨界位置的A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出a的值即可.

解法3設(shè)A（x1，0），B（x2，0），根據(jù)4<x2-x1<6，得到4<AB<6，又A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng).

①如圖2，若AB=4，則A（-1，0），B（3，0），將A（-1，0）代入y=ax2-2ax-3

中，解得a=1.

②如圖3，若AB=6，則A（-2，0），B（4，0），將A（-2，0）代入y=ax2-2ax-3

中，解得a=38.

故a的取值范圍是38<a<1.

點(diǎn)評(píng)第（3）小題考查了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，及利用知識(shí)構(gòu)建方程或不等式解題的能力.解法1和解法2都是先將二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根后，分別利用根與系數(shù)的關(guān)系或求根公式得到并代入4<x2-x1<6后，建立關(guān)于a的不等式組求解，體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想及模型化觀念的運(yùn)用；解法3考慮臨界位置，結(jié)合圖象推理求解，考查了根與系數(shù)的關(guān)系、求根公式等知識(shí)；考查了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，利用臨界值分析、討論及結(jié)合函數(shù)圖象分析、求解問(wèn)題等方法技巧；考查了函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，考查了綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.

3變式探究

若試題的其他條件不變，改變相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)和二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向，則有

變式3.1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（2，3）在二次函數(shù)y=ax2+bx+3（a<0）的圖象上，記該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m.

（1）求m的值；

（2）若點(diǎn)Q（m，4）在y=ax2+bx+3（a<0）的圖象上，將該二次函數(shù)的圖象向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)的圖象，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；

（3）設(shè)y=ax2+bx+3的圖象與x軸交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0）（x1<x2），若4<x2-x1<6，求a的取值范圍.

簡(jiǎn)解（1）m=1.

（2）由（1）知，-b2a=1，所以b=-2a.因?yàn)辄c(diǎn)Q（1，4）在y=ax2-2ax+3的圖象上，解得a=-1.故y=-x2+2x+3=-x-12+4.

將圖象向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=-（x-1）2+4+5=-x-12+9.

因?yàn)?≤x≤4，所以最大值對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最小值對(duì)應(yīng)x=4時(shí)的函數(shù)值，當(dāng)x=1時(shí)，y=9，當(dāng)x=4時(shí)，y=0，所以新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為9+0=9.

（3）由題意知x1，x2為方程ax2-2ax+3=0的根，所以x1+x2=2，x1x2=3a，

因?yàn)?<x2-x1<6，所以16<（x2-x1）2<36，即16<（x1+x2）2-4x1x2<36，所以16<4-4×3[]a[SX）]<36，

所以4<1-3a<9.

由4<1-3a，因?yàn)閍<0，解得a>-1；由1-3a<9，因?yàn)閍<0，解得a<-38.

故a的取值范圍是-1<a<-38.

點(diǎn)評(píng)變式3.1以改變二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向?yàn)榍腥朦c(diǎn)，以此促進(jìn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算、幾何直觀、模型觀念等素養(yǎng)的發(fā)展.

若試題的其他條件不變，改變（2）中的平移方向和（3）中x1，x2的范圍，則有

變式3.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（2，-3）在二次函數(shù)y=ax2+bx-3（a>0）的圖象上，記該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m.

（1）求m的值；

（2）若點(diǎn)Q（m，-4）在y=ax2+bx-3（a>0）的圖象上，將該二次函數(shù)的圖象向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)的圖象，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；

（3）設(shè)y=ax2+bx-3的圖象與x軸交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0）（x1<x2），若-1<x1<0<x2<4，求a的取值范圍.

簡(jiǎn)解（1）m=1.

（2）y=x2-2x-3=（x-1）2-4，將圖象向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=（x-6）2-4，對(duì)稱(chēng)軸為x=6.

因?yàn)閳D象開(kāi)口向上，所以當(dāng)0≤x≤4時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸x=6的左側(cè)，y隨著x的增大而減小，所以最小值對(duì)應(yīng)x=4時(shí)的函數(shù)值，最大值對(duì)應(yīng)x=0時(shí)的函數(shù)值，當(dāng)x=4時(shí)，y=0，當(dāng)x=0時(shí)，y=32，所以新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為32+0=32.

（3）因?yàn)閥=ax2-2ax-3圖象開(kāi)口向上，結(jié)合圖象可知，當(dāng)x=-1時(shí)，y=3a-3>0；當(dāng)x=0時(shí)，y=-3<0；當(dāng)x=4時(shí)，y=8a-3>0，則由3a-3>0，8a-3>0，解得a>1.

故a的取值范圍是a>1.

點(diǎn)評(píng)變式3.2以改變函數(shù)圖象的平移方向及x1，x2的范圍條件為出發(fā)點(diǎn)，以此進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、幾何直觀、模型觀念等素養(yǎng)的發(fā)展.

若試題的其他條件不變，改變二次函數(shù)解析式的形式和圖象的平移方向等，則有

變式3.3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（2，-3）在函數(shù)y=ax2-2a|x|-3（a>0）的圖象上，記該函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m.

（1）求m的值；

（2）若點(diǎn)Q（m+1，-4）在y=ax2-2a|x|-3（a>0）的圖象上，將該函數(shù)的圖象向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)的圖象，當(dāng)2≤x≤9時(shí)，求新的函數(shù)的最小值與最大值的和；

（3）設(shè)y=ax2-2a|x|-3的圖象與x軸交點(diǎn)為（x1，0），（x2，0）（x1<x2），若4<x2-x1<6，求a的取值范圍.

簡(jiǎn)解（1）設(shè)（x，y）是函數(shù)y=ax2-2a|x|-3（a>0）圖象上的任意一點(diǎn)，則易知（-x，y）也是圖象上的點(diǎn)，于是可知函數(shù)y=ax2-2a|x|-3（a>0）的圖象關(guān)于y軸，即直線x=0對(duì)稱(chēng)，所以m=0.

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，y=ax2-2ax-3，當(dāng)x<0時(shí)，y=ax2+2ax-3.

因?yàn)辄c(diǎn)Q（1，-4）在y=ax2-2a|x|-3（a>0）的圖象上，代入y=ax2-2ax-3，解得a=1.所以當(dāng)x≥0時(shí)，y=x2-2x-3=（x-1）2-4，當(dāng)x<0時(shí)，y=x2+2x-3=（x+1）2-4，則函數(shù)圖象如圖4.

將圖象向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的函數(shù)：當(dāng)x≥5時(shí)，y=（x-5-1）2-4=（x-6）2-4;當(dāng)x<5時(shí)，y=（x-5+1）2-4=（x-4）2-4，且新的函數(shù)的圖象如圖5.

因?yàn)?≤x≤9，所以由圖5知，最小值對(duì)應(yīng)x=4或x=6時(shí)的函數(shù)值，最大值對(duì)應(yīng)x=9時(shí)的函數(shù)值，當(dāng)x=4時(shí)，y=（4-4）2-4=-4，當(dāng)x=9時(shí)，y=（9-6）2-4=5，所以新的函數(shù)的最小值與最大值的和為-4+5=1.

（3）由圖4可知x1<0，x2>0，又因?yàn)閍>0，所以由ax2+2ax-3=0，解得x1=-2a-4a2+12a2a=-1-a2+3aa=-1-1+3a；由ax2-2ax-3=0，解得x2=2a+4a2+12a2a=1+a2+3aa=1+1+3a.

又因?yàn)?<x2-x1<6，所以4<2+21+3a<6，即1<1+3a<2，所以1<1+3a<4.

由于1&lt;1+3a恒成立，所以a>0；由1+3a<4，因?yàn)閍>0，解得a>1.

故a的取值范圍是a>1.

點(diǎn)評(píng)變式3.3改變二次函數(shù)解析式的形式和二次函數(shù)圖象的平移方向，以此為突破口，進(jìn)一步促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、幾何直觀、模型觀念、推理能力及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等素養(yǎng)的發(fā)展.

4教學(xué)啟示

學(xué)好數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，在解題教學(xué)中，若對(duì)典型試題就題論題、淺嘗輒止，則是死水一潭；而重視試題的一題多解、一題多變，則能激活思維、提振士氣[1].唯有如此，才能不斷提升學(xué)生的思維能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

4.1著眼于一題多解提升思維能力

做題重在少而精，對(duì)于典型試題，重視引導(dǎo)學(xué)生從多角度切入，進(jìn)行分析、思考，順藤摸瓜、展開(kāi)聯(lián)想，努力發(fā)掘試題中豐富的思想內(nèi)涵，通過(guò)尋求解決問(wèn)題的不同路徑求得最終結(jié)果.通過(guò)對(duì)典型試題的求解使學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三，并在多角度思考、多方法求解中感悟解題的真諦，使定向思維變?yōu)槎嘞蛩季S，這樣一來(lái)，既可以開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，又能使學(xué)生的思維始終處于一種靈動(dòng)狀態(tài)，進(jìn)而使學(xué)生豐富和完善知識(shí)、方法的架構(gòu)，達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的目的.

4.2立足于一題多變促進(jìn)素養(yǎng)發(fā)展

一題多變最終目的是為了通過(guò)變化讓學(xué)生掌握變化中的不變，能從不同方面、不同視角和不同情況來(lái)說(shuō)明某一事物，從而概括出事物的一般屬性.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，立足于一題多變關(guān)注發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其實(shí)質(zhì)就是落實(shí)數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、能力以及數(shù)學(xué)思想，既要深化已學(xué)的知識(shí)，又要把知識(shí)、技能和思想方法相聯(lián)系、融合，直至轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]李寒．一道2023年拋物線高考題的解、變與推廣[J]．?dāng)?shù)理化解題研究，2024（13）.19-24．

作者簡(jiǎn)介

鄒金梁（1978—），男，山東泰安人，中小學(xué)一級(jí)教師;先后榮獲泰山區(qū)教學(xué)能手，泰山區(qū)教學(xué)先進(jìn)個(gè)人，泰山區(qū)教學(xué)優(yōu)秀班主任，泰山區(qū)中考模擬試題命制一等獎(jiǎng)，泰安市優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)，泰安市市級(jí)優(yōu)課等榮譽(yù)，參與的市級(jí)課題的研究，并已結(jié)題;發(fā)表論文多篇.