摘 要 模型意識(shí)是小學(xué)階段需要落實(shí)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一。當(dāng)下，發(fā)展模型意識(shí)的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)存在情境創(chuàng)設(shè)顯單一、探究靶向不精準(zhǔn)、知識(shí)結(jié)構(gòu)欠完整等問(wèn)題，究其原因是一些教師在教學(xué)路徑規(guī)劃上存在盲區(qū)。因此，可以圍繞情境、表征和反思這些過(guò)程性教學(xué)要素構(gòu)建教學(xué)圖式，直觀清晰地展現(xiàn)模型知識(shí)教學(xué)的主旨脈絡(luò)，據(jù)此探索核心素養(yǎng)培育教學(xué)的路徑轉(zhuǎn)化方法。

關(guān) 鍵 詞 小學(xué)數(shù)學(xué)；模型意識(shí)；要素化；教學(xué)圖式；逆向設(shè)計(jì)；活動(dòng)路徑

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，小學(xué)階段重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生的11項(xiàng)核心素養(yǎng)，模型意識(shí)是其中之一[1]。當(dāng)下，一些學(xué)校、教師圍繞“發(fā)展模型意識(shí)”這一主題組織了多種形式的教研活動(dòng)，積累了大量的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，形成“識(shí)別現(xiàn)實(shí)情境，進(jìn)行數(shù)學(xué)化后建構(gòu)關(guān)系，經(jīng)過(guò)一般化用以解決同類(lèi)問(wèn)題 ”的模型知識(shí)教學(xué)策略[2]。然而，從實(shí)際教學(xué)效果看，此種教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)卻存在意圖不夠明確的問(wèn)題，究其原因是一些教師存在教學(xué)路徑規(guī)劃的盲區(qū)，一定程度上遲滯了學(xué)生的模型意識(shí)發(fā)展。因此，本研究以“加法運(yùn)算律”一課的教學(xué)為例，試圖構(gòu)建要素化的教學(xué)圖式，直觀清晰地展現(xiàn)模型知識(shí)教學(xué)的主旨脈絡(luò)。

一、發(fā)展模型意識(shí)教學(xué)的問(wèn)題審視

發(fā)展模型意識(shí)的教學(xué)立足真實(shí)情境問(wèn)題，以數(shù)學(xué)實(shí)踐的方式表征模型特點(diǎn)，在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生深刻的學(xué)習(xí)感悟。然而，一些教師未能把握過(guò)程性教學(xué)要素，導(dǎo)致教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)出現(xiàn)如下一些問(wèn)題。

1.情境創(chuàng)設(shè)略顯單一

以豐富多樣的情境為載體，形成系列化的問(wèn)題探討，有利于培養(yǎng)學(xué)生層層深入的探索精神[3]。指向發(fā)展模型意識(shí)的情境素材要貼近兒童生活，在問(wèn)題視角上能展現(xiàn)出類(lèi)型化的特點(diǎn)，確保學(xué)生從一類(lèi)問(wèn)題或現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而展開(kāi)抽象概括并建立數(shù)學(xué)模型。然而，在教學(xué)實(shí)踐中，情境及其問(wèn)題的創(chuàng)設(shè)往往顯得比較單一，即提供單一事件或場(chǎng)景作為學(xué)習(xí)的背景素材，以及從單一的視角提出數(shù)學(xué)問(wèn)題引發(fā)學(xué)生思考。殊不知，單一有時(shí)意味著孤立、片面，易出現(xiàn)學(xué)生接受有效信息不多、建模思維發(fā)散、聯(lián)想與聚合困難等問(wèn)題，從而降低學(xué)生的認(rèn)知活躍度和參與學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

2.探究靶向不夠精準(zhǔn)

經(jīng)過(guò)思維探究和知識(shí)運(yùn)用獲得的知識(shí)更具使用價(jià)值，能為學(xué)習(xí)者所遷移和使用[4]。其中“探究”可以成為引發(fā)具身體驗(yàn)、形成認(rèn)知理解、獲得學(xué)習(xí)感悟等一系列認(rèn)知學(xué)習(xí)行為的發(fā)起點(diǎn)，架構(gòu)起“探究—體驗(yàn)—理解—感悟”的模型意識(shí)發(fā)展路徑。但在教學(xué)實(shí)踐中，“探究”活動(dòng)往往圍繞數(shù)學(xué)模型是什么而展開(kāi)，卻很少探究建立數(shù)學(xué)模型的緣由。換言之，探究之路遵循知識(shí)邏輯，卻不考慮學(xué)生的認(rèn)知邏輯。如此，必然會(huì)陷入“關(guān)注知識(shí)、不關(guān)注學(xué)生”“重形式，不重實(shí)質(zhì)”的窠臼，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型知其然，而不知其所以然。這反映出探究教學(xué)的靶向不夠精準(zhǔn)，影響后續(xù)模型知識(shí)的遷移及使用。

3.知識(shí)結(jié)構(gòu)不夠完整

模型知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)“特殊—一般”認(rèn)知發(fā)展過(guò)程，在此過(guò)程中，不僅要解決個(gè)別問(wèn)題，還要反思普遍現(xiàn)象；不僅要縱深挖掘內(nèi)涵，還要橫向延展知識(shí)；不僅要突破知識(shí)點(diǎn)，還要勾勒知識(shí)面。然而，在教學(xué)實(shí)踐中，一些教師的模型知識(shí)教學(xué)始終聚焦在某個(gè)點(diǎn)上，具體表現(xiàn)為就樣本講樣本、就概念講概念、就模型講模型等等。樣本、概念和模型三者間只有建立有效的聯(lián)系，才能進(jìn)階至結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)水平。而學(xué)生腦海中的模型知識(shí)零散、不成體系的現(xiàn)狀，與“將符號(hào)代表的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的觀念建立非人為的和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系”的要求相背[5]。

二、發(fā)展模型意識(shí)要素化教學(xué)圖式的構(gòu)建

面對(duì)上述發(fā)展模型意識(shí)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)問(wèn)題，教師應(yīng)緊扣情境、表征和反思這些過(guò)程性教學(xué)要素，建構(gòu)相應(yīng)的教學(xué)圖式，將“預(yù)設(shè)”轉(zhuǎn)化為實(shí)際的教學(xué)活動(dòng)[6]，促進(jìn)學(xué)生模型意識(shí)的發(fā)展。

1.情境圖式，喚醒認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在特定的情境中主動(dòng)運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、嘗試建構(gòu)新意義的過(guò)程[7]。指向模型意識(shí)的情境圖式主要圍繞“選擇什么樣的素材”“提出何種數(shù)學(xué)問(wèn)題”“生成哪些樣本”“產(chǎn)生怎樣的認(rèn)知困惑”等問(wèn)題展開(kāi)教學(xué)預(yù)設(shè)，形成問(wèn)題導(dǎo)向下的主體經(jīng)驗(yàn)生長(zhǎng)式活動(dòng)路徑。

以“加法運(yùn)算律”教學(xué)為例?；诮滩牡闹R(shí)背景，情境的創(chuàng)設(shè)可以將生活場(chǎng)景作為情境教學(xué)的素材，以問(wèn)題串的形式喚醒學(xué)生認(rèn)數(shù)、加法運(yùn)算等方面的經(jīng)驗(yàn)，生成“步數(shù)相同、數(shù)據(jù)相異”的等式樣本；并針對(duì)等式樣本展開(kāi)初步研究，在深入反思的過(guò)程中引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生新知學(xué)習(xí)的困惑，為探究新知、發(fā)現(xiàn)模型知識(shí)本質(zhì)積累豐富的教學(xué)素材（如圖1）。

2.表征圖式，定位探究靶點(diǎn)

一目了然的知識(shí)性材料是無(wú)所謂探究的[8]。探究活動(dòng)設(shè)計(jì)的邏輯是：學(xué)生哪里出現(xiàn)認(rèn)知問(wèn)題，研究的方向就指向哪里。表征圖式一方面將學(xué)生的新知學(xué)習(xí)困惑轉(zhuǎn)化為具有實(shí)踐性特征的探究任務(wù)；另一方面，還要預(yù)設(shè)科學(xué)的數(shù)學(xué)實(shí)踐方式，以及可能生成的思維成果。因此，這一圖式不僅能準(zhǔn)確定位探究活動(dòng)的靶點(diǎn)，還能指明以數(shù)學(xué)實(shí)踐為導(dǎo)向的自主化活動(dòng)路徑。

教學(xué)“加法運(yùn)算律”一課，針對(duì)學(xué)生中出現(xiàn)的“等號(hào)兩邊的加數(shù)位置是怎樣改變的？”“等號(hào)兩邊的括號(hào)位置改變、沒(méi)括號(hào)和括號(hào)在后面的情況意味著什么？”等學(xué)習(xí)困惑，探究活動(dòng)可以以此作為認(rèn)知突破的靶點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生使用文字、數(shù)字、符號(hào)等展開(kāi)表征操作，經(jīng)歷“生疑—解惑”的問(wèn)題解決過(guò)程，生成有關(guān)加法交換律、加法結(jié)合律可視的、個(gè)性化的思維成果（如圖2）。

3.反思圖式，建立知識(shí)結(jié)構(gòu)

反思的目的是把已經(jīng)能夠進(jìn)行心理操作的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，抽象概括為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)[9]。從教學(xué)過(guò)程上看，反思圖式要預(yù)設(shè)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)路徑，即從反思原始樣本開(kāi)始，經(jīng)歷抽象基本概念、建立數(shù)學(xué)模型、延伸模型形式等過(guò)程，形成指向結(jié)構(gòu)化認(rèn)知的活動(dòng)路徑。從教學(xué)結(jié)果上看，反思圖式要能體現(xiàn)樣本、概念和模型三者間的聯(lián)系，系統(tǒng)呈現(xiàn)模型的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

以“加法運(yùn)算律”教學(xué)為例，反思活動(dòng)圍繞類(lèi)型化的等式樣本展開(kāi)，首先分析樣本特點(diǎn)，抽象概括“加數(shù)相同”“和不變”“加數(shù)位置改變”等加法交換律概念，以及“加數(shù)位置不變”“運(yùn)算順序改變”的加法結(jié)合律概念；接著，展開(kāi)類(lèi)比和推理，建立加法交換律、加法結(jié)合律的數(shù)學(xué)模型；然后，進(jìn)行關(guān)聯(lián)和延展，挖掘出加法交換律、加法結(jié)合律模型的新形式，進(jìn)而完成加法運(yùn)算律的知識(shí)結(jié)構(gòu)搭建（如圖3）。

三、發(fā)展模型意識(shí)要素化教學(xué)圖式的路徑轉(zhuǎn)化

靜態(tài)的情境、表征和反思圖式要能轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的實(shí)踐活動(dòng)路徑，并以此溝通經(jīng)驗(yàn)與內(nèi)容、知識(shí)與素養(yǎng)、過(guò)程與方法等要素間的聯(lián)系，使得單一的教學(xué)部分或單個(gè)的教學(xué)要素得以演進(jìn)，并向整體、縱深發(fā)展。

1.情境圖式的路徑轉(zhuǎn)化：從“入境”到“生疑”

反向思考情境圖式，教師需要將其轉(zhuǎn)化為“呈現(xiàn)情境—生成樣本—衍生疑問(wèn)”的活動(dòng)路徑，將學(xué)生卷入情境內(nèi)容中，主動(dòng)運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題，確保樣本素材的出現(xiàn)和認(rèn)知疑惑的產(chǎn)生，為后續(xù)組織、開(kāi)展探究活動(dòng)奠定基礎(chǔ)。

（1）呈現(xiàn)情境。與其他素養(yǎng)導(dǎo)向的情境創(chuàng)設(shè)要求一致，發(fā)展模型意識(shí)的情境素材選擇要貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、年齡特點(diǎn)和認(rèn)知加工特點(diǎn)，構(gòu)造的學(xué)習(xí)場(chǎng)景要真實(shí)可信且具吸引力，使學(xué)生自然地入“境”、生“情”。如，教學(xué)“加法運(yùn)算律”。教師可以引入諸如跳繩比賽、分享食物、購(gòu)買(mǎi)文具等生活場(chǎng)景，并提出整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等加法運(yùn)算問(wèn)題。通過(guò)情境問(wèn)題喚醒學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，快速進(jìn)入思維加工的準(zhǔn)備狀態(tài)，嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（2）生成樣本。一般而言，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)主要采用不完全歸納的推理思維。因而，情境中的問(wèn)題設(shè)

（3）衍生疑問(wèn)。情境創(chuàng)設(shè)不只為了引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)先驗(yàn)性學(xué)習(xí)，還要為后驗(yàn)性學(xué)習(xí)埋下伏筆。先驗(yàn)性學(xué)習(xí)主要表現(xiàn)為：?jiǎn)拘褜W(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，生成類(lèi)型化樣本，發(fā)現(xiàn)樣本的基本特征等；后驗(yàn)性學(xué)習(xí)則以產(chǎn)生認(rèn)知困惑、催生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)為標(biāo)志。如教學(xué)“加法運(yùn)算律”，通過(guò)分析等式樣本，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)等式的變化特點(diǎn)，還衍生出“等號(hào)兩邊的加數(shù)位置是怎樣改變的”“等號(hào)兩邊的括號(hào)位置改變，沒(méi)括號(hào)和括號(hào)在后面究竟意味著什么”等認(rèn)知困惑，這就引發(fā)了深度學(xué)習(xí)的心理需求，開(kāi)啟了后驗(yàn)性學(xué)習(xí)的進(jìn)程。

2.表征圖式的路徑轉(zhuǎn)化：從“實(shí)踐”到“表達(dá)”

模擬與反推表征圖式，教師需要將其轉(zhuǎn)化為“布置任務(wù)—探究表征—小組評(píng)議”的活動(dòng)路徑，驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主展開(kāi)表征、展示、評(píng)議等活動(dòng)，探索模型知識(shí)的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生群體核心素養(yǎng)的協(xié)同發(fā)展。

（1）布置任務(wù)。探究任務(wù)是將學(xué)生的認(rèn)知困惑轉(zhuǎn)化為以實(shí)踐性研究為主的、展現(xiàn)自主學(xué)習(xí)動(dòng)能和個(gè)性化思考的、最終獲得模型知識(shí)本質(zhì)理解的學(xué)習(xí)活動(dòng)。如教學(xué)“加法運(yùn)算律”，針對(duì)學(xué)生提出的“等號(hào)兩邊加數(shù)位置怎樣改變”這一問(wèn)題，教師可以布置“用自己喜歡的方式表示加數(shù)位置如何改變的，可以畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)，并與小組同學(xué)分享自己的方法”的探究任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，表征數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考，展現(xiàn)個(gè)性化的思維成果。

（2）探究表征。表征既是數(shù)學(xué)的一部分，又是理解數(shù)學(xué)的一個(gè)教學(xué)手段[10]。面對(duì)多元特質(zhì)的學(xué)生，教師能做的是凸顯個(gè)性化思維以增加表征的多樣化，由此提升學(xué)生的關(guān)鍵能力和學(xué)習(xí)品質(zhì)。如教學(xué)“加法運(yùn)算律”，探究“加數(shù)位置怎樣改變”這一問(wèn)題時(shí)，有學(xué)生用“前”“后”這樣的文字表達(dá)加數(shù)位置變化情況；有學(xué)生用①、②這樣的數(shù)字符號(hào)說(shuō)明加數(shù)位置變化情況；還有學(xué)生用“箭頭”這樣的圖式演繹加數(shù)位置的變化。上述借助表征操作而形成的思維成果不僅可以展現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力，還發(fā)展了數(shù)感、符號(hào)意識(shí)等核心素養(yǎng)。

（3）小組評(píng)議。對(duì)于某一問(wèn)題的思考要能從個(gè)人觀點(diǎn)走向群體共識(shí)，以體現(xiàn)認(rèn)知學(xué)習(xí)的社會(huì)性。因此，模型知識(shí)教學(xué)過(guò)程有必要引入小組評(píng)議環(huán)節(jié)，以促成大面積、大體量的師生間對(duì)話交往活動(dòng)，使得核心素養(yǎng)在群體范圍內(nèi)得以發(fā)展。正如前文所言，學(xué)生圍繞“加數(shù)位置怎樣改變”這一問(wèn)題展開(kāi)表征操作，生成了多樣性的、個(gè)性化的思維成果。對(duì)此，教師可以先行安排組內(nèi)研討、再行組間評(píng)議，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生群體的推理意識(shí)，形成“交換等號(hào)兩邊的加數(shù)位置，和依然不變”的本質(zhì)思考。

3.反思圖式的路徑轉(zhuǎn)化：從“關(guān)聯(lián)”到“結(jié)構(gòu)”

逆向思考反思圖式，教師可以將其轉(zhuǎn)化為“產(chǎn)生關(guān)聯(lián)—多向延展”的活動(dòng)路徑，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具有關(guān)聯(lián)性、延展性的模型知識(shí)思考過(guò)程，展現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知和理解，進(jìn)入大單元學(xué)習(xí)的孕伏狀態(tài)。

（1）產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。當(dāng)知識(shí)以一種結(jié)構(gòu)化的形式儲(chǔ)存時(shí)，便可大大提升知識(shí)應(yīng)用時(shí)的檢索效率[11]。模型知識(shí)結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生具有階段性，主要經(jīng)歷“樣本”與“概念”、“概念”與“概念”，以及“概念”和“模型”等關(guān)聯(lián)性思考過(guò)程。如教學(xué)“加法運(yùn)算律”，一步計(jì)算的加法等式樣本與“加數(shù)不變”“加數(shù)位置改變”“和不變”等概念產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，能建立“樣本”和“概念”的解釋結(jié)構(gòu)；“加數(shù)不變”“和不變”等概念自身的關(guān)聯(lián)，能建立“概念”與“概念”的邏輯結(jié)構(gòu)；“加數(shù)不變”“加數(shù)位置改變”“和不變”與“a+b=b+a”產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，能建立“概念”與“模型”的轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)。上述的結(jié)構(gòu)集合催生了模型的知識(shí)結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生理解記憶和遷移使用。

（2）多向延展。模型知識(shí)的學(xué)習(xí)不能僅局限于當(dāng)前的問(wèn)題研究、拘泥于課時(shí)內(nèi)容的教學(xué)，還要盡力向單元及域外延展。其一，課時(shí)內(nèi)容的橫向擴(kuò)展。如，圍繞課時(shí)內(nèi)容，可以提出“有沒(méi)有一種等式既包含加法交換律，還蘊(yùn)含加法結(jié)合律”的引申性問(wèn)題，延展建立加法交換律、加法結(jié)合律的數(shù)學(xué)模型；再如，提出“加法交換律和加法結(jié)合律有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)”的比較性問(wèn)題，順勢(shì)構(gòu)造“加法運(yùn)算律”的特征框架（見(jiàn)表1）。其二，單元教學(xué)的縱向延伸。如聯(lián)系單元教學(xué)，可以提出諸如“除了加法運(yùn)算律，其他運(yùn)算是否也存在運(yùn)算律”“除了‘和不變’這樣的等式形式，還有沒(méi)有別的等式形式”等聯(lián)想性問(wèn)題，勾連運(yùn)算律單元的其他內(nèi)容，促成新的認(rèn)知學(xué)習(xí)導(dǎo)向。

模型知識(shí)教學(xué)不只在于建構(gòu)和識(shí)別模型，還包括運(yùn)用模型解決問(wèn)題、體會(huì)模型價(jià)值等內(nèi)容。對(duì)此，教師先行構(gòu)造相應(yīng)的教學(xué)圖式，據(jù)此逆向轉(zhuǎn)化為符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的、能有效促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展的活動(dòng)路徑，這應(yīng)成為一線教師實(shí)踐課程標(biāo)準(zhǔn)、提升專(zhuān)業(yè)教學(xué)能力的應(yīng)然追求。

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