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      一道平面向量問題的多種解題方法

      2024-11-06 00:00:00王錦熙李建波
      數(shù)理化解題研究·高中版 2024年10期

      摘要:平面向量是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容,文章通過一道平面向量最值問題的探究,從坐標法、代數(shù)方程法、基底法、幾何法四個角度分析問題、解決問題.

      關鍵詞:平面向量;最值;一題多解

      中圖分類號:G632文獻標識碼:A文章編號:1008-0333(2024)28-0064-03

      平面向量是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容,也是每年高考都會考查的部分.平面向量很好地融合了代數(shù)與幾何,因此在解決平面向量問題時,常常有多種方法解決,比如最常見的基底法、幾何法、坐標法[1].本文通過一道平面向量最值問題的探究,從坐標法、代數(shù)方程法、基底法、幾何法四個角度分析問題、解決問題.

      1試題呈現(xiàn)

      題目在△ABC中,AC=2,BC=4,∠CBA=30°,P是△ABC的外接圓上的一點,若CP=mCA+nCB,求m+n的最大值.

      2試題解析

      思路1坐標法.通過解三角形可知△ABC是直角三角形,那么外接圓的圓心恰好是斜邊BC的中點,從而可以確定外接圓的方程.通過建立平面直角坐標系,寫出平面向量的坐標.點P在外接圓上,用三角函數(shù)的定義表示出點P的坐標,從而把m+n用三角函數(shù)表示出來,轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.

      解法1在△ABC中,根據(jù)正弦定理有

      ACsin∠CBA=BCsin∠BAC.

      即2sin30°=4sin∠BAC,有sin∠BAC=1.

      因為0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=90°.

      所以Rt△ABC的外心為斜邊BC的中點O.

      以斜邊BC所在直線為x軸,中點O為原點,建立平面直角坐標系,則可得A(-1,3),B(2,0),C(-2,0).

      所以CA=(1,3),CB=(4,0).

      所以CP=mCA+nCB=(m+4n,3m).

      因為Rt△ABC的外接圓的圓心是O,半徑是2,可設P(2cosθ,2sinθ),所以CP=(2cosθ+2,2sinθ).

      因為CP=mCA+nCB,

      所以2cosθ+2=m+4n,2sinθ=3m.

      所以m=233sinθ,n=12cosθ+12-36sinθ.

      所以m+n=12cosθ+32sinθ+12

      =sin(θ+π6)+12.

      所以當sin(θ+π6)=1時,m+n的最大值是32.

      思路2代數(shù)方程思想.分析出點P所在的外接圓的方程,通過坐標運算寫出點P的坐標,把點P的坐標代入外接圓的方程,得到關于m,n的方程.令m+n=a,將m=a-n代入方程,從而消去m,得到含有a,n的式子.再將此式子看成是關于n的一元二次方程,此方程一定有根,通過根的判別式△≥0求出a的范圍,即求出m的最值.

      解法2同解法1,可得Rt△ABC的外接圓的圓心是BC的中點O,半徑是2,建立平面直角坐標系的方法也同解法1,則點P在圓x2+y2=4上.

      所以A(-1,3),B(2,0),C(-2,0) .

      所以CA=(1,3),CB=(4,0).

      所以CP=mCA+nCB=(m+4n,3m).

      所以OP=OC+CP=(m+4n-2,3m).

      因為點P在圓x2+y2=4上,

      所以(m+4n-2)2+(3m)2=4.

      所以m2+m(2n-1)+(2n-1)2=1.

      令m+n=a,則m=a-n.

      所以(a-n)2+(a-n)(2n-1)+(2n-1)2=1.

      化簡,得3n2-3n+a2-a=0.

      把上式看作關于n的一元二次方程,此方程有實根,

      則此方程的△=(-3)2-4×3×(a2-a)≥0.

      所以4a2-4a-3≤0.

      所以-12≤a≤32.

      所以m+n的最大值是32.

      思路3平面向量的基底法.本題中的CA,CB,CO的長度和夾角都已知,便可計算出相應的數(shù)量積.根據(jù)CP·CO=12|CP|2,再根據(jù)平面向量模的計算公式,就可以得到關于m,n的方程,后面的解題方法同解法2.

      解法3同解法1可得Rt△ABC的外接圓的圓心是BC的中點O,因為

      CA·CO=|CA|·|CO|·cos60°=2×2×12=2,

      CB·CO=|CB|·|CO|cos0°=4×2×1=8,

      CP·CO=|CP|·|CO|cos∠PCO=12|CP|2,

      又因為CP=mCA+nCB,

      所以CP·CO=(mCA+nCB)·CO

      =mCA·CO+nCB·CO

      =2m+8n.

      所以12|CP|2=2m+8n.

      即|CP|2=4m+16n.

      因為CP2=(mCA+nCB)2

      =m2CA2+2mnCA·CB+n2CB2

      =4m2+8mn+16n2,

      所以4m2+8mn+16n2=4m+16n.

      所以m2+2mn+4n2-m-4n=0.

      令m+n=a,則m=a-n.

      則(a-n)2+2(a-n)n+4n2-(a-n)-4n=0.

      化簡,得3n2-3n+a2-a=0.

      把上式看作關于n的一元二次方程,此方程有實根,

      則方程的△=(-3)2-4×3×(a2-a)≥0.

      所以4a2-4a-3≤0.所以-12≤a≤32.

      所以m+n的最大值是32.

      思路4幾何法.利用平面向量的等和線定理,過點P作MN∥AB,當MN與外接圓相切時,m+n得到最大值.利用平面幾何知識計算出相似比CMCA=λ,即可得出答案.

      解法4過點P作MN∥AB分別交CA,CB的延長線于點M,N.因為M,N,P三點共線,則有實數(shù)s,t使CP=sCM+tCN,且s+t=1.

      因為MN∥AB,記CMCA=CNCB=λ,

      所以CP=sCM+tCN=sλCA+λtCB.

      所以sλ+λt=λ,即m+n=λ.這其實就是平面向量的等和線定理.

      因為m+n=λ=CMCA,CA=2,所以CM取最大值時,m+n得到最大值.

      當MN與外接圓相切時,CM取最大值時,由平面幾何知識可知,OP⊥MN,ON=2OP=4,CN=6,CM=12CN=3.

      所以m+n的最大值是32.

      3試題變式

      變式1在△ABC中,AC=2,BC=4,∠CBA=30°,P是△ABC的外接圓上的一點,若CP=mCA+nCB,求m+n的最小值.

      由前面的分析和解題過程,很容易得到m+n的最小值為-12.

      變式2在△ABC中,AC=AB=2,∠BAC=120°,P是△ABC的外接圓上的一點,若CP=mCA+nCB,求m+n的最大值.

      解析雖然本題的△ABC不是直角三角形,但根據(jù)平面幾何知識,很容易得出△ABC的外接圓的圓心在BC的高上(三線合一),和前面的題相似,解決本題也同樣有多種方法.下面從坐標法角度給出解題過程.

      由余弦定理計算得BC=23,由正弦定理可得△ABC的外接圓的直徑2R=BCsin120°=4,則R=2.

      以BC所在直線為x軸,以BC中點O為原點建立平面直角坐標系,則A(0,1),B(3,0),

      C(-3,0),△ABC的外接圓圓心D(0,-1).

      因為CA=(3,1),CB=(23,0),

      所以mCA+nCB=(3m+23n,m).

      因為△ABC的外接圓的方程為x2+(y+1)2=4,可設點P(2cosθ,-1+2sinθ),

      所以CP=(2cosθ+3,-1+2sinθ).

      由CP=mCA+nCB,得

      2cosθ+3=3m+23n,-1+2sinθ=m.

      所以m=-1+2sinθ,n=33cosθ-sinθ+1.

      所以m+n=33cosθ+sinθ=233sin(θ+π6).

      當sin(θ+π6)=1時,m+n的最大值為233.

      4結(jié)束語

      不論是教師在教學過程中,還是學生在學習知識的過程中,都需要重視一題多解問題的探究.通過一道題把相關的知識點串成線,建立起高中數(shù)學的知識結(jié)構(gòu).例如本文的平面向量最值問題,涉及平面向量、三角函數(shù)、平面幾何、代數(shù)方程、解析幾何等知識點,并且同時運用了多種數(shù)學思想方法.通過對本文題目的深入探究,教師和學生都會有收獲和啟發(fā).

      參考文獻:

      [1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準

      (2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.

      [責任編輯:李璟]

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