數(shù)理結(jié)合思想下對(duì)一道物理競(jìng)賽題的解法拓展

摘要：對(duì)第39屆物理競(jìng)賽復(fù)賽第5題進(jìn)行分析，從拓展學(xué)生思維的角度出發(fā)，采用數(shù)理結(jié)合的思想，給出有別于標(biāo)準(zhǔn)答案的另兩種解題方法.在解題過(guò)程中，采用微分方程對(duì)物理問(wèn)題求解，幫助學(xué)生巧妙避免復(fù)雜的思維過(guò)程，實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題求解的簡(jiǎn)化，讓學(xué)生在比較不同科學(xué)方法的過(guò)程中體會(huì)“一題多解”的魅力，旨在提高學(xué)生的科學(xué)思維水平，發(fā)展學(xué)生的綜合能力.同時(shí)對(duì)解決這一類型的問(wèn)題提供了一定的幫助與思考.

關(guān)鍵詞：一題多解；物理競(jìng)賽；數(shù)理結(jié)合；思維能力

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）28-0111-03

物理學(xué)科核心素養(yǎng)要求學(xué)生具有批判性思維的意識(shí)，能基于證據(jù)大膽質(zhì)疑，從不同角度思考問(wèn)題[1].

物理競(jìng)賽重點(diǎn)考查參賽學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力和創(chuàng)造性地解決實(shí)際問(wèn)題的能力[2]，這要求學(xué)生從多個(gè)視角剖析問(wèn)題，帶著創(chuàng)新思想解決競(jìng)賽中遇到的問(wèn)題[3].本文對(duì)第39屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第5題進(jìn)行多角度研究，給出了新的解題思路.

1原題呈現(xiàn)

（第39屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第5題）兩根相同的理想輕彈簧，勁度系數(shù)均為k、自然長(zhǎng)度均為0.兩彈簧之間以一質(zhì)量為m的小球相連.將彈簧1空著的一端懸掛于天花板上，整個(gè)系統(tǒng)自然下垂，初始時(shí)靜止.已知兩彈簧中任意一個(gè)一旦被拉伸至臨界長(zhǎng)度（該臨界長(zhǎng)度大于mgk，這里g表示重力加速度的大小）便會(huì)被拉斷.

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，如果緩慢地拉動(dòng)下面的彈簧2的下端，上面的彈簧1將被拉斷.如果快速地拉動(dòng)，則很有可能拉斷下面的彈簧2.

（1）設(shè)加載于彈簧2下端的作用力隨時(shí)間變化的關(guān)系為F（t），寫出彈簧1的長(zhǎng)度x1（t）及小球加速度x··1（t）所滿足的運(yùn)動(dòng)方程.

（2）在一個(gè)簡(jiǎn)單模型中，假設(shè)F（t）與時(shí)間t的關(guān)系為

F（t）=0αt t<0t≥0

其中α為大于零的常量，它的大小對(duì)應(yīng)力加載的快慢.求在該力的作用下彈簧1、2在t（t>0）時(shí)刻的長(zhǎng)度x1（t）、x2（t）.

（3）略.

（4）略.

2解答分析

本文重點(diǎn)分析第二問(wèn)，第二問(wèn)求運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式x1（t）、x2（t）.x2（t）較易求得，根據(jù)胡克定律F（t）=kx2（t）可得.而x1（t）的解法，除了官方給出的兩種標(biāo)準(zhǔn)答案之外，為了拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生科學(xué)思維能力，本文運(yùn)用數(shù)理結(jié)合的思想來(lái)審視問(wèn)題，給出了兩種更為簡(jiǎn)單方便的新解法.

2.1解法一、二（評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中的解析）思路點(diǎn)評(píng)——模型簡(jiǎn)化

解法一和解法二為評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中的解析，這兩種方法的標(biāo)準(zhǔn)答案?jìng)?cè)重于將本題模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，具體簡(jiǎn)化過(guò)程如下：

由第一問(wèn)知彈簧1的長(zhǎng)度x1（t）及小球加速度x··1（t）滿足運(yùn)動(dòng)方程為

mx··=-kx1+mg+F（t）①

由第二問(wèn)的條件得在t≥0時(shí)有

mx··1=-kx1+mg+at②

要求x1（t）的表達(dá)式，可先對(duì)原有模型進(jìn)行簡(jiǎn)化：根據(jù)方程①可將模型中彈簧2作用在小球上的拉力直接當(dāng)成變力F（t），此時(shí)模型可視為受到變力F（t）及重力的一維彈簧振子.

受到變力F（t）及重力的一維彈簧振子，在每一瞬間都可看成簡(jiǎn)諧振動(dòng)，設(shè)彈簧振子在某時(shí)刻t相對(duì)平衡位置的位移為y1，則y1=x1-mgk-amt，代入②得

y··1+kmy1=0.根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可算出y1通解，進(jìn)而計(jì)算出x1通解，此為解法一的思路.

已知只受重力的一維彈簧振子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，所以此時(shí)可將彈簧振子的運(yùn)動(dòng)看成簡(jiǎn)諧振動(dòng)和變速運(yùn)動(dòng)的疊加.設(shè)只受重力的彈簧振子相對(duì)平衡位置的位移為y2，則y2=x1-mgk

，代入②，得

y··2=kmy2=αmt

.根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可算出y2通解，進(jìn)而計(jì)算出x1通解，此為解法二的思路.

2.2解法三

依題知

mx··1=-kx1+mg+αt ②

對(duì)②式的兩側(cè)分別求時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)有

mx···1=-kx·1+α③

令y=x·1，則

y··+kmy=αm④

該方程所對(duì)應(yīng)的奇次方程的通解可為

y通=Acos（ωt+φ）

式中A和φ為待定常量.此非齊次項(xiàng)顯然有下列形式的特解：

y特=B

式中B是待定常量.代入方程④可定出

B=αmω2=αk⑤

于是

x·1=y=Acos（ωt+φ）+αk⑥

故x··1=-Aωsin（ωt+φ），x1=Aωsin（ωt+φ）+αkt+C⑦

式中C是待定常量.將⑦兩式代入②可定出

C=mgk

于是

x1=Aωsin（ωt+φ）+αkt+mgk.⑧

2.3解法四

依題知

mx··1=-kx1+mg+αt⑨

對(duì)⑨式的兩側(cè)分別求時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)有

mx····1=-kx··1⑩

可得

x··1=Acos（ωt+φ）

式中A和φ為待定常量.將代入⑨得

x1=-mAkcos（ωt+φ）+mgk+αkt

以上為求x1（t）通解的多種方法.以第三種解法為例，根據(jù)已知的初始條件求出其定解：

初始條件為

x1（0）=mgk，x·1（0）=0

由⑧得

x1（0）=Aωsinφ+mgk=mgk

即

φ=0，π

由⑥有

x·1（0）=Acosφ+αk=0

即

A=-αkcosφ=±αk15

A為振幅，取為非負(fù)值，且α、k均為正，因此

cosφ=-αAk=-1

可以定出

A=αk，φ=π16

因此有

x1（t）=-αωksinωt+αkt+mgk17

最后由胡克定律求出x2（t），具體如下

F（t）=kx2（t）

有

x2（t）=αkt.18

3數(shù)理結(jié)合思維過(guò)程

解法三、解法四均利用數(shù)理結(jié)合的思想，采用微分方程對(duì)物理問(wèn)題求解.在解決問(wèn)題的過(guò)程中合理利用數(shù)學(xué)工具，可避免復(fù)雜的思維過(guò)程，也可簡(jiǎn)化解題程序.

運(yùn)用數(shù)理結(jié)合思維方法解決問(wèn)題時(shí)，通常可采用以下過(guò)程：

3.1邏輯思維為基礎(chǔ)

競(jìng)賽的問(wèn)題解決過(guò)程中，清晰的邏輯思維非常重要.與常規(guī)物理問(wèn)題相比，競(jìng)賽題目通常更加復(fù)雜化、抽象化.因此，構(gòu)建清晰的邏輯思維框架是解決問(wèn)題所必備的條件.這要求參賽學(xué)生不僅要能夠準(zhǔn)確理解題目要求，還要能夠運(yùn)用物理定律和原理去構(gòu)建解決問(wèn)題的路徑.

3.2物理模型精構(gòu)建

對(duì)于物理競(jìng)賽，構(gòu)建合適、精巧的物理模型是解決問(wèn)題的必備步驟.這要求參賽學(xué)生具備豐富的物理知識(shí)和敏銳的洞察力，能夠從復(fù)雜的題目條件中抽象出物理問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而構(gòu)建出有效的物理模型.

3.3方程建立詳求解

構(gòu)建了物理模型之后，參賽學(xué)生需要運(yùn)用數(shù)理結(jié)合的思想建立方程，并求解.在這個(gè)過(guò)程中，不僅要考慮方程的準(zhǔn)確性，還要考慮解題的效率.對(duì)于復(fù)雜的方程，需要學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)，熟練運(yùn)用物理知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、解題技巧進(jìn)行求解.這對(duì)學(xué)生靈活應(yīng)用物理及數(shù)學(xué)知識(shí)提出了更高的要求.

3.4數(shù)學(xué)工具巧應(yīng)用

物理競(jìng)賽在解決問(wèn)題的過(guò)程中往往涉及高等數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用，如微分方程、積分方程、線性代數(shù)等（解法三和解法四就是建立在微分方程的巧妙運(yùn)用上）.熟練掌握這些數(shù)學(xué)工具，不僅能夠幫助參賽學(xué)生建立復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型，還能夠使解題過(guò)程更加高效、準(zhǔn)確.

3.5變量關(guān)系細(xì)分析

對(duì)變量關(guān)系的深入分析是物理競(jìng)賽中重要的一環(huán).參賽學(xué)生需要綜合不同物理量之間的關(guān)系，了解它們?nèi)绾蜗嗷ビ绊?；同時(shí)，在運(yùn)用邏輯思維的基礎(chǔ)上，將物理量按照符合邏輯的方式整理；通過(guò)對(duì)變量關(guān)系的仔細(xì)分析，找出物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而揭示復(fù)雜問(wèn)題的本質(zhì).這需要參賽學(xué)生對(duì)物理定律有深刻的理解.不僅要求變量關(guān)系本身符合物理原理，還要求對(duì)結(jié)果有深入的分析和合理的解釋.因此，扎實(shí)的物理基礎(chǔ)、清晰的邏輯思維再次展現(xiàn)了重要性.

4結(jié)束語(yǔ)

參與物理競(jìng)賽不僅是對(duì)參賽學(xué)生知識(shí)和技能的挑戰(zhàn)，也是對(duì)他們邏輯思維、創(chuàng)新能力、問(wèn)題解決能力的全面鍛煉.在訓(xùn)練和參與競(jìng)賽的過(guò)程中，參賽學(xué)生可以接觸到更廣闊的物理領(lǐng)域，拓寬視野，增強(qiáng)對(duì)物理學(xué)的熱愛(ài)和興趣.同時(shí)，奧賽也為參賽學(xué)生提供了一個(gè)展示自己物理邏輯思維和數(shù)學(xué)運(yùn)用水平的平臺(tái)，為未來(lái)的學(xué)術(shù)和職業(yè)發(fā)展打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).競(jìng)賽是對(duì)參賽學(xué)生物理知識(shí)和綜合技能的高水平檢驗(yàn)，要求參賽學(xué)生具備清晰的邏輯思維和熟練的數(shù)學(xué)知識(shí).通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)工具、構(gòu)建有效的物理模型、深入分析變量關(guān)系等過(guò)程，參賽學(xué)生可以更好地應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn)，展現(xiàn)自己的才華和潛力.

參考文獻(xiàn)：［1］

陳顯盈，尤愛(ài)惠.建構(gòu)不同物理模型提升學(xué)科核心素養(yǎng)：以“2020年全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽第11題”為例[J].物理教師，2021，42（05）：94-96.

[2]全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽委員會(huì).全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽專輯2019[M].北京：北京大學(xué)出版社，2019.

[3]黃國(guó)超.拓展思維空間 培養(yǎng)發(fā)散思維：以一物理競(jìng)賽試題為例[J].數(shù)理化解題研究，2021，19：89-90.

［責(zé)任編輯：李璟］