要結(jié)論.本文中結(jié)合三角形面積公式的向量形式對應(yīng)定理的給出，進(jìn)行合理推廣與拓展，借助實例加以剖析與應(yīng)用，拋磚引玉.

1 三角形面積公式的向量形式的定理和推論

引入平面向量的相關(guān)知識后，可以用平面向量及其相關(guān)知識來處理三角形面積公式，得到三個與平面向量形式有關(guān)的三角形面積公式的結(jié)論.

1.1 向量面積公式

定理在△ABC中，若AB=a，AC=b，則△ABC的面積為S=12（|a|＼5|b|）2－（a＼5b）2.

證明：由S=12|AB|＼5|AC|＼5sin A，可得

S2=14|AB|2|AC|2sin 2A=14|a|2＼5|b|2＼5（1－cos 2A）=14|a|2＼5|b|2＼51－a＼5b|a|＼5|b|2=14（|a|2＼5|b|2－（a＼5b）2］.

所以S=12（|a|＼5|b|）2－（a＼5b）2.

三角形面積公式的平面向量形式，在涉及一些與向量、坐標(biāo)等有關(guān)的三角形面積求解與應(yīng)用時，可以直接有效地加以轉(zhuǎn)化與合理應(yīng)用，解決問題更加方便.

1.2 向量坐標(biāo)形式的面積公式

在以上三角形面積公式的平面向量形式定理的基礎(chǔ)上，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示，經(jīng)常直接利用平面向量的坐標(biāo)及其對應(yīng)的關(guān)系來表示三角形的面積.由此，可以得到用平面向量的坐標(biāo)（或點的坐標(biāo)）

表示的有關(guān)推論.

推論1：在△ABC中，若AB=（a1，b1），AC=（a2，b2），則△ABC的面積為S=12|a1b2－b1a2|.

證明：設(shè)△ABC的面積為S，由上述定理，可知

S=12（|a|＼5|b|）2－（a＼5b）2

=12（a21+b21＼5a22+b22）2－（a1a2+b1b2）2

=12（a1b2－b1a2）2

=12|a1b2－b1a2|.

推論2：在△ABC中，若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則△ABC的面積為

S=12|x1（y2－y3）+x2（y3－y1）+x3（y1－y2）|.

證明：因為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），所以

AB=（x2－x1，y2－y1），AC=（x3－x1，y3－y1）.

由推論1，可知

S=12|（x2－x1）（y3－y1）－（y2－y1）（x3－x1）|

=12|x1（y2－y3）+x2（y3－y1）+x3（y1－y2）|.

借助平面向量的坐標(biāo)表示或三角形三頂點的坐標(biāo)，可以直接用來確定與之對應(yīng)的三角形的面積，在實際解題應(yīng)用中更加直接有效，也是解決問題中經(jīng)常選用的一個重要“二級公式”與結(jié)論.

2 三角形面積公式的向量形式的應(yīng)用

利用三角形面積公式的向量形式，可以處理已知三角形三個頂點坐標(biāo)求有關(guān)的三角形面積問題，計算簡單，操作方便.

2.1 面積的求解

例1在△ABC中，若A（－1，－1），B（3，5），C（-2，7），求△ABC的面積.

解析：由推論2，得

S△ABC=12|x1（y2－y3）+x2（y3－y1）+x3（y1－y2）|=12|－1×（5－7）+3×（7+1）－2×（－1－5）|=19.

點評：本題直接根據(jù)三角形的三個頂點的坐標(biāo)，利用三角形面積公式的向量坐標(biāo)形式的相關(guān)結(jié)論來分析與求解，更加簡單快捷.此類作為課外拓展與提升的“二級公式”或“二級結(jié)論”，可以有針對性地加以了解與掌握.

2.2 面積最值的確定

例2在△ABC中，A（－2，5），B（3，2），點C在拋物線y2=－x上，求△ABC的面積達(dá)到最大值時點C的坐標(biāo)，并求此時△ABC的最大面積.

解析：設(shè)點C（－y2，y），則CA=（－2+y2，5－y），CB=（3+y2，2－y），

則由推論1知S△ABC=12＼5|（－2+y2）（2－y）－（3+y2）（5－y）|

=12＼5|3y2－5y+19|=32y－562+20336=32y－562+20324.

所以當(dāng)y=56時，△ABC的面積達(dá)到最大值，

即當(dāng)點C的坐標(biāo)為－2536，56時，△ABC的最大面積為20324.

例3已知直線l：y=4x和點R（6，4），在直線l上求一點Q，使直線RQ與直線l及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形面積最小.

解析：設(shè)點Q（a，4a）（a>1），則直線RQ的方程為y－44a－4=x－6a－6.

令y=0，則x=5aa－1，所以直線RQ與x軸的交點為P5aa－1，0.

所以O(shè)Q=（a，4a），OP=5aa－1，0.

根據(jù)推論1，可知S△OPQ=12|a1b2－b1a2|=12a×0－5aa－1×4a=10a2a－1

=10［（a－1）+1］2a－1=10×（a－1）+1a－1+2≥102（a－1）＼51a－1+2=40，

當(dāng)且僅當(dāng)a－1=1a－1，即a=2時，S△OPQ取得最小值40，此時點Q的坐標(biāo)為（2，8）.

故所求面積最小值為40.

點評：合理引入?yún)?shù)，借助三角形面積公式的向量形式的應(yīng)用，可以更加直接地表示出相關(guān)三角形的面積，進(jìn)而借助函數(shù)思維、不等式思維等合理放縮與應(yīng)用，正確確定相應(yīng)的最值問題.借助三角形面積公式的向量形式及其應(yīng)用，往往可以更加快捷地構(gòu)建三角形面積的表達(dá)式，為進(jìn)一步的應(yīng)用提供條件.

2.3 參數(shù)的求解

例4在△OAB中，O為坐標(biāo)原點，A（1，cos θ），B（sin θ，1），θ∈0，π2，則當(dāng)△OAB的面積取最大值時，θ=（）.

A.π6

B.π4

C.π3

D.π2

解析1：由O（0，0），A（1，cos θ），B（sin θ，1），可得OA=（1，cos θ），OB=（sin θ，1），

則由推論1知S△OAB=12|1×1－sin θcos θ|=121－12sin 2θ.

由θ∈0，π2，得sin 2θ∈［0，1］，則

S△OAB=121－12sin 2θ=12－14sin 2θ.

所以當(dāng)θ=π2時，S△OAB取到最大值12.

故選擇答案：D.

解析2：由O，A，B三點坐標(biāo)及推論2知S△OAB

=12|0×（cos θ－1）+1×（1－0）+sin θ×（0－cos θ）|=12|1－sin θcos θ|

=121－12sin 2θ.

由θ∈0，π2，得sin 2θ∈［0，1］，則

S△OAB=121－12sin 2θ=12－14sin 2θ.

所以當(dāng)θ=π2時，S△OAB取到最大值12.

故選擇答案：D.

點評：在同一場景下，三角形面積公式的向量形式的不同視角的應(yīng)用，對于問題的解決有不同的效果.例4通過兩種不同方法的比較與應(yīng)用，體會在不同公式條件下的求解思維與解題過程，有效提升解題經(jīng)驗，拓展解題思維，提高解題能力.

三角形面積公式的向量形式是平面幾何知識與平面向量知識的交匯與綜合，也是三角形面積公式在平面向量場景中的具體體現(xiàn)，對于解決一些與之相關(guān)的問題，有很好的效果，可以在一定程度上優(yōu)化解題過程，減少數(shù)學(xué)運算，開拓解題思維，很好提升數(shù)學(xué)能力并培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).