摘要：在進行解題教學時要善于思考，弄清楚知識的來龍去脈，這樣才能讓學生透過現象看到本質，從而達到“一覽眾山小”的教學境界，唯如此方是我們的教學之道.

關鍵詞：充分性；應用；現象；本質

匈牙利著名數學家G＼5波利亞有一句名言：掌握數學就意味著解題.在平時的數學學習中，學生和老師每日都離不開解題，但如何解答數學問題成為當下師生關心的共同話題.每次考完試，總會聽到學生感嘆：這個題目我就差一步——檢驗就正確了.常常為此懊悔不已.那么什么時候需要檢驗，什么時候不需要檢驗呢？下面以一道題為例，探討一下.

1 問題呈現

問題已知函數f（x）=ax3－3ax2+3ax－a+2在區(qū)間［2，+∞）上單調遞增，求參數a的取值范圍.

錯解：f′（x）=3ax2－6ax+3a=3a（x－1）2.要使函數f（x）在區(qū)間［2，+∞）上單調遞增，則f′（x）≥0在x∈［2，+∞）時恒成立，即3a（x－1）2≥0在x∈［2，+∞）時恒成立.因為當x∈［2，+∞）時，3（x－1）2>0，所以a≥0.

正解：f′（x）=3ax2－6ax+3a=3a（x－1）2.要使函數f（x）在區(qū)間［2，+∞）上單調遞增，則f′（x）≥0在x∈［2，+∞）時恒成立，即3a（x－1）2≥0在x∈［2，+∞）時恒成立.因為當x∈［2，+∞）時3（x－1）2>0，所以a≥0.當a=0時，f（x）=2，為常函數，不具有單調性，與已知矛盾，所以a≠0.故a>0.

2 錯因分析

本題正解與錯解的區(qū)別就是一個驗證了a能不能取等號，即a是否可以為0的情況，而一個沒有驗證.顯然，上述問題需要驗證.為什么需要驗證呢？

首先，舉一個大家熟悉的例子——分式方程的根，我們知道對于分式方程，求出根之后需要反過來驗證，究其原因，下面就從一道題開始：解方程x+1x－1－4x2－1=1.常規(guī)解法（解法1）是：由x+1x－1－4x2－1=1，得（x+1）2－4=（x+1）（x－1），于是x2+2x+1－4=x2－1，解得x=1.經檢驗，x=1是原分式方程的增根，因此，原分式方程無解.

有學生可能會非常疑惑，明明解出來x=1，為什么原分式方程無解了呢？問題出在哪里？上面的每一步是不是都無懈可擊？我們知道分式方程要有意義，分母不為0，分式方程的解是在其本身有意義的條件下求解出來的，并不一定是在實數集R范圍內的解，因此，本題x－1≠0且x2－1≠0，即x≠±1.此分式方程是在集合{x|x≠±1}內求解的.由x+1x－1－4x2－1=1，得（x+1）2－4=（x+1）（x－1）這一步是錯誤的，原因有兩個：

（1）方程x+1x－1－4x2－1=1是在集合{x|x≠±1}內求解的，而方程（x+1）2－4=（x+1）（x－1）是在R內求解的，因此它們解不等價；

（2）因為方程x+1x－1－4x2－1=1的左邊可化為x+1x－1－4x2－1=（x+1）2x2－1－4x2－1=x2+2x－3x2－1=x2－1+2（x－1）x2－1=1+2x+1≠1，而右邊為1，左邊≠右邊，方程本身兩邊不相等，或者說此時不能稱為方程.因為方程是含有未知數的等式，連等式都談不上，更不能稱為方程.而根據結果x=1，即x2－1=0，由x+1x－1－4x2－1=1，得（x+1）2－4=（x+1）（x－1）這一步是方程兩邊同乘x2－1，即乘0，就相當于把不等式變?yōu)榈仁?，?≠1，但是兩邊都乘以0，就變?yōu)榈仁?=0.依此類推，如果兩邊同乘x－a，最后一定會得到增根x=a.因此，這一步是錯誤的.

上述分式方程的另一種解法（解法2）如下：

由x+1x－1－4x2－1=1，可得

x－1≠0且x2－1≠0，（x+1）2－4=（x+1）（x－1），

即x≠±1，x2+2x+1－4=x2－1，亦即x≠±1，x=1.

故原分式方程無解.

由于上面每一步都是經過嚴格的推理論證得到的，因此此時不需要回頭驗證.即p1p2p3……pnq，有p1，一定可推出p2;有p2，一定可推出p3;……；直到有pn，一定可推出q.每一步充分性都成立，根據充分性具有傳遞性，最后得出的結論q就不再需要驗證.整式方程不需要驗證，原因也是這個.而本題，若記p1：x+1x－1－4x2－1=1，p2：（x+1）2－4=（x+1）（x－1），r：x－1≠0且x2－1≠0，p3：x2+2x+1－4=x2－1，p4：x=1，

解法1中由p1不能推出p2，p1不是p2的充分條件，所以最后求出的方程的解必須驗證，而解法2中p1rp2rp3rp4，每一步充分性都成立，所以最后求出的分式方程的解不必驗證.

3 問題解決

回到文章開頭的問題，大家必須厘清函數的單調性與其導數之間的關系：

在某區(qū)間上，函數y=f（x）單調遞增f′（x）≥0一定成立；但是反過來，不一定成立.

因為f′（x）≥0包含f′（x）>0和f′（x）=0兩種情況，如果f′（x）≡0，則原函數y=f（x）是常函數，不具有單調性，就不能說函數y=f（x）單調遞增.

怎樣才能說明函數單調遞增呢？只要函數對應的導函數不恒為0，允許有限個點處導數為0，其余的點處導數大于0，就可以了.

結論：在某區(qū)間上，f′（x）≥0且只在有限個點處為0，則函數y=f（x）單調遞增.

記p：f′（x）≥0，r：f′（x）只在有限個點處為0，q：函數y=f（x）單調遞增.

上述結論的符號語言為prq.

前述問題的解答是在缺少條件r的情況下由f′（x）≥0，得出函數y=f（x）單調遞增，即由pq，進而求出a的范圍，邏輯不嚴格，不具有充分性，因而最后必須驗證a能不能取等號，即f′（x）=0是不是恒成立.

本題還可不需要驗證而這樣解：f′（x）=3ax2－6ax+3a=3a（x－1）2.要使函數f（x）在區(qū)間［2，+∞）上單調遞增，則f′（x）≥0在x∈［2，+∞）時恒成立，且f′（x）不恒為0，即3a（x－1）2≥0在x∈［2，+∞）時恒成立，且3a（x－1）2不恒為0.因為當x∈［2，+∞）時，3（x－1）2>0，所以a>0.

最后，大家最關心的是解題時什么時候需要驗證，什么時候不需要驗證.

當p1p2p3……pnq，每一步充分性都成立，不需要驗證q；否則，只要中間有一步充分性不成立，最后都需要驗證q.

在數學中隨處可見這種情況.如解三角形中多解取舍問題，原理就是大邊對大角、大正弦值對大角.還有一個就是三角形是否存在的問題，計算出來的邊或者角一定要檢驗是否使三角形存在.對于數列，一是等比數列的首項不能為0，二是在算出數列的通項或者前n項和后一定要檢驗對于n=1這種情況是否成立.對于圓錐曲線，一是利用韋達定理時一定要檢驗Δ≥0是否成立，二是利用點差法解決弦中點問題時一定要判斷弦中點是否在曲線內，等等.

4 問題思考

數學解題之所以會產生增根，主要因為是在化簡變形過程中使用的是必要條件而非充分條件，導致轉化不等價.這就需要我們有嚴謹的思維，理性地去認識問題的本質.

當下，素養(yǎng)導向下的課程改革開展得如火如荼，其中注重強化學生的思維能力培養(yǎng)是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的關鍵，對此，上級教育主管部門已明確提出，數學教學要摒棄“機械刷題”的教學模式.如何克服機械刷題？這是我們一線教師面臨的焦點話題，也是我們目前必須研究的課題；否則，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)就是無源之水、無本之末.筆者認為，在解題教學中，如果只告訴學生解決問題的操作過程，而不幫助學生分析解題過程背后的原理，學生就只能機械地照貓畫虎，這樣一來，當題目條件稍微一變，學生就無所適從了.出現這種現象的原因就是教師在教學中只是復制粘貼“解題過程”的行家里手，而不是教書育人的教學能手.在這樣的教育教學環(huán)境下，學生缺乏創(chuàng)新思維意識，這顯然與國家的教育方針背道而馳.因此，在解題教學時要善于思考，弄清楚知識的來龍去脈，才能讓學生透過現象看到本質，從而達到“一覽眾山小”的教學境界，唯如此方是我們的教學之道.