摘要：函數(shù)奇偶性作為函數(shù)的基本性質(zhì)之一，是歷年高考數(shù)學中的一大基本考點，經(jīng)常以小題（選擇題或填空題）形式出現(xiàn)，難度適中，變化多端.結(jié)合2023年高考數(shù)學新高考Ⅱ卷第4題，以含參的復雜函數(shù)的奇偶性來確定參數(shù)值，歸納剖析解題技巧與方法，鏈接高考，變式拓展，指導數(shù)學教學與復習備考.

關鍵詞：函數(shù)；奇偶性；參數(shù)；定義；性質(zhì)

函數(shù)奇偶性是歷年高考數(shù)學中對函數(shù)模塊知識的重點考查內(nèi)容之一，常考常新，變化多端.下面結(jié)合一道2023年高考數(shù)學真題，就含參復雜函數(shù)的奇偶性應用，通過不同思維視角與技巧方法來展開，歸納總結(jié)解題技巧與策略，拋磚引玉，以方便全面系統(tǒng)教學與學習，對數(shù)學教學與學習提供此許幫助.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（2023年高考數(shù)學新高考Ⅱ卷·4）若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，則a=（）.

A.－1

B.0

C.12

D.1

此題以含參的復雜函數(shù)的奇偶性為問題場景，借此來確定并求解相應的參數(shù)值.題目簡單明了，難度也相對簡單.

解決具有奇偶性的含參復雜函數(shù)的參數(shù)值問題，定義是根本，特殊值是應用，性質(zhì)是提升，驗證排除是技巧，從不同思維視角切入，合理展開不同的解題過程與應用，實現(xiàn)參數(shù)值的求解.

2 真題破解

方法1：定義法.

解析：依題知2x－12x+1>0，解得x<－12或x>12，則函數(shù)f（x）的定義域為x|x<－12，或x>12，其定義域關于坐標原點對稱.

若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，則對定義域內(nèi)的任意自變量x都有f（x）=f（－x），即

（x+a）ln 2x－12x+1=（－x+a）ln －2x－1－2x+1.

而（－x+a）ln －2x－1－2x+1=（－x+a）ln 2x+12x－1=（x－a）ln 2x－12x+1，

則x+a=x－a恒成立，即a=0.

故選擇答案：B.

解后反思：利用函數(shù)奇偶性的定義是解決與相關函數(shù)的奇偶性有關的綜合應用問題最為重要的技巧與方法之一.對于具有奇偶性的函數(shù)，其定義域是關于坐標原點對稱的，這也是解決與函數(shù)奇偶性有關的綜合應用問題的基礎與前提.利用定義法解決此類與函數(shù)奇偶性有關的綜合應用問題時，要注意對比相關的解析式、系數(shù)、參數(shù)、函數(shù)值等之間的關系.

方法2：特殊值法.

解析：依題知2x－12x+1>0，解得x<－12或x>12，則函數(shù)f（x）的定義域為x|x<－12，或x>12，其定義域關于坐標原點對稱.

若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，取特殊值，可知f（1）=f（－1），即

（1+a）ln 13=（－1+a）ln 3.

整理為－（1+a）ln 3=（－1+a）ln 3.

于是－（1+a）=－1+a恒成立，解得a=0.

故選擇答案：B.

解后反思：對于具有奇偶性的函數(shù)，其在定義域內(nèi)的任意一組關于坐標原點對稱的自變量的值都必須滿足對應的關系，偶函數(shù)滿足f（x）=f（－x），奇函數(shù)滿足f（x）=－f（－x），這為利用特殊值法處理問題提供了條件.從特殊思維入手，以特殊情況下滿足的條件回歸到一般情況中去，實現(xiàn)特殊到一般的轉(zhuǎn)化與應用，符合辯證唯物主義思想，是解決一些相關問題中經(jīng)常用到的一種思維方式.

方法3：性質(zhì)法.

解析：依題知2x－12x+1>0，解得x<－12或x>12，則函數(shù)f（x）的定義域為x|x<－12，或x>12，其定義域關于坐標原點對稱.

設函數(shù)g（x）=ln 2x－12x+1，易知函數(shù)g（x）是奇函數(shù).

若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，利用性質(zhì)可知函數(shù)y=x+a為奇函數(shù)，

可得a=0.

故選擇答案：B.

解后反思：根據(jù)兩個及以上具有相應奇偶性的簡單函數(shù)之間的加、減、乘、除等運算，構(gòu)建復雜函數(shù)所具有的奇偶性性質(zhì)，可以非常巧妙地處理一些與函數(shù)奇偶性有關的綜合應用問題.這里借助性質(zhì)法，利用“兩個奇函數(shù)（或兩個偶函數(shù)，或一個奇函數(shù)一個偶函數(shù)）的乘積函數(shù)為偶函數(shù)（或偶函數(shù)，或奇函數(shù)）”的性質(zhì)，可以簡單快捷地處理與之相關的應用問題.

方法4：驗證排除法.

解析：對于選項A，當a=－1時，f（x）=（x－1）＼5ln 2x－12x+1，此時f（1）=0，f（－1）≠0，不滿足f（x）為偶函數(shù)時有f（1）=f（－1）成立，排除該選項.

同理，可以排除選項D.

對于選項C，當a=12時，f（x）=x+12＼5ln 2x－12x+1，此時f（1）=32ln 13=－32ln 3，f（－1）=－12ln 3，也不滿足f（x）為偶函數(shù)時有f（1）=f（－1）成立，排除該選項.

故選擇答案：D.

解后反思：在解決一些涉及含參的定義、定理、公式等的相關問題時，經(jīng)?？梢詫⑦x項中各參數(shù)值代入題目條件中進行驗證，排除不滿足條件的選項，直至結(jié)果出現(xiàn).驗證排除法是逆向思維的一種方式，也是推理應用中比較常用的一種技巧方法，借助選項中結(jié)論的給出，代回題目條件加以驗證，從而得以確定準確答案.

3 鏈接高考

涉及含參偶函數(shù)的參數(shù)求值問題，還出現(xiàn)在2023年其他高考數(shù)學試卷中，以不同的方式來展示與應用.

真題1（2023年高考數(shù)學全國甲卷理13文14）若y=（x－1）2+ax+sinx+π2為偶函數(shù)，則a=.

解析：依題知函數(shù)y=f（x）=（x－1）2+ax+sinx+π2=x2－2x+ax+1+cos x，其定義域為R.

若f（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義，

可知

f（－x）=x2+2x－ax+1+cos x=f（x）=x2－2x+ax+1+cos x.

對比系數(shù)可知2－a=－2+a，解得a=2.

故填答案：2.

真題2（2023年高考數(shù)學全國乙卷理4文5）已知f（x）=xexeax－1是偶函數(shù)，則a=（）.

A.－2B.－1C.1D.2

解析：依題知f（x）是偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義，

可知f（－x）=－xe－xe－ax－1=－xex1eax－1=－xeax－x1－eax=xeax－xeax－1=f（x）=xexeax－1.

對比系數(shù)可知a－1=1，解得a=2.故選擇：D.

當然，以上兩個高考真題也可以利用定義法、特殊值法以及性質(zhì)法（或驗證排除法）中相關的技巧與方法來處理，這里不多加展開.

4 變式拓展

基于問題場景，深入探究與應用，綜合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值的大小比較來合理變式與創(chuàng)設，得到以下對應的變式問題.

變式若f（x）=（x+a）ln 2x－12x+1為偶函數(shù)，則（）.（答案：B）

A.f（－1）>f（2）>f（3）

B.f（3）>f（2）>f（－1）

C.f（－1）>f（3）>f（2）

D.f（2）>f（－1）>f（3）

5 教學啟示

作為高考數(shù)學中的必考知識點之一，函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)圖象的對稱性，合理聯(lián)系起函數(shù)模塊的知識體系與數(shù)學的綜合應用，體現(xiàn)了函數(shù)中“數(shù)”與“形”之間的和諧統(tǒng)一，是進行數(shù)學分析、數(shù)學應用與數(shù)學研究的一大有力工具.

熟練掌握并應用函數(shù)奇偶性的定義、性質(zhì)等來分析與解決問題，能全面提升對數(shù)學知識、數(shù)學思想方法和數(shù)學能力的融會貫通，提升數(shù)學思維品質(zhì)，提高數(shù)學能力，培養(yǎng)核心素養(yǎng).