• 
    

    
    

      99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看

      ?

      深挖命題內(nèi)涵,多解變式應(yīng)用

      2024-11-11 00:00:00姜辣

      摘要:數(shù)學(xué)解題不能只停留在問(wèn)題解答上,合理挖掘命題的本質(zhì)內(nèi)涵,巧妙進(jìn)行“一題多解”“一題多變”等,給解題拓展更加寬廣的空間.本文中借助一道高考真題,結(jié)合兩個(gè)含參的函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)情況,合理挖掘內(nèi)涵,巧妙創(chuàng)新應(yīng)用,歸納總結(jié)規(guī)律與性質(zhì),指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

      關(guān)鍵詞:函數(shù);曲線;交點(diǎn);偶函數(shù);數(shù)形結(jié)合

      分析與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),就是合理探究問(wèn)題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì),化“生”為“熟”,巧妙變換,可以給問(wèn)題的切入與應(yīng)用創(chuàng)造更多的機(jī)會(huì);同時(shí)結(jié)合問(wèn)題的恒等變換,也為問(wèn)題的多解分析提供更加豐富的數(shù)學(xué)解題思路,以及解題的技巧方法;在此基礎(chǔ)上,剖析問(wèn)題背景與本質(zhì)屬性,給問(wèn)題的變式與拓展開(kāi)拓更加寬廣的空間.其實(shí),這也是高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)與學(xué)習(xí)中師生共同追求的良好習(xí)慣與優(yōu)良品質(zhì).本文中結(jié)合2024年一道高考題,深挖命題內(nèi)涵,多解變式應(yīng)用.

      1 真題呈現(xiàn)

      高考真題(2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·6)設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a為常數(shù)),當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個(gè)交點(diǎn),則a=().

      A.-1

      B.12

      C.1

      D.2

      此題以?xún)蓚€(gè)含參的函數(shù)為問(wèn)題場(chǎng)景,結(jié)合自變量取值限制條件下的兩曲線的交點(diǎn)情況,進(jìn)而來(lái)確定參數(shù)的值.

      借助兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線的位置情況,可以合理變換函數(shù)的關(guān)系式,也可以化函數(shù)為方程,還可以化函數(shù)為圖象等,這些都是切入問(wèn)題的基本點(diǎn),也是解決問(wèn)題的思維方式,為問(wèn)題的突破與求解創(chuàng)造更多的思維空間.

      2 真題破解

      解法1:分拆法.

      依題,令f(x)=g(x),即a(x+1)2-1=cos x+2axEAb/z+TMMA8WTFE3opp4rhp+dDeQTjbwLAHTaBeMrz8=,可得ax2+a-1=cos x.

      令函數(shù)F(x)=ax2+a-1,G(x)=cos x,那么原題等價(jià)于“當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)”.

      注意到函數(shù)F(x),G(x)均為偶函數(shù),可知該交點(diǎn)只能在y軸上,可得F(0)=G(0),即a-1=1,解得a=2.

      若a=2,令F(x)=G(x),可得2x2+1-cos x=0.

      由x∈(-1,1),得2x2≥0,1-cos x≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,可得2x2+1-cos x≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

      所以方程2x2+1-cos x=0有且僅有一個(gè)實(shí)根0,即曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn),所以a=2符合題意.

      綜上所述,a=2.

      故選答案:D.

      點(diǎn)評(píng):根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建兩個(gè)函數(shù)相等的關(guān)系,合理進(jìn)行歸類(lèi)分拆,借助兩條曲線間的位置關(guān)系加以等價(jià)轉(zhuǎn)化,利用偶函數(shù)的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)突破.解題過(guò)程中,隨著問(wèn)題的恒等轉(zhuǎn)化,由陌生到熟知,由無(wú)法下手到水到渠成,這都是解題的基本過(guò)程,需要掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能.

      解法2:整體法.

      依題,令函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=a(x+1)2-1-cos x-2ax=ax2+a-1-cos x,x∈(-1,1),那么原題意等價(jià)于函數(shù)h(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

      因?yàn)閔(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cos x=h(x),所以h(x)為偶函數(shù),根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知,h(x)的零點(diǎn)只能為0,即h(0)=a-1-1=0,解得a=2.

      若a=2,則h(x)=2x2+1-cos x,x∈(-1,1).

      由x∈(-1,1),得2x2≥0,1-cos x≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,可得h(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,即h(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0,所以a=2符合題意.

      綜上所述,a=2.

      故選答案:D.

      點(diǎn)評(píng):根據(jù)題設(shè)條件中兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)曲線之間的關(guān)系,通過(guò)整體法的應(yīng)用,構(gòu)建兩函數(shù)之差所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,為進(jìn)一步的分析與求解創(chuàng)造條件.利用整體法處理兩個(gè)函數(shù)、或兩條曲線等問(wèn)題時(shí),經(jīng)??梢酝ㄟ^(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系式進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)運(yùn)算,巧妙合二為一,為問(wèn)題的突破與切入打下基礎(chǔ).

      解法3:參變分離法.

      依題,令f(x)=g(x),即a(x+1)2-1=cos x+2ax,可得a=1+cos x1+x2.

      令函數(shù)h(x)=1+cos x1+x2,x∈(-1,1),因?yàn)閔(-x)=1+cos(-x)1+(-x)2=1+cos x1+x2=h(x),所以h(x)為偶函數(shù).

      而當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于直線y=a與函數(shù)h(x)的圖象在x=0處相切.

      將x=0代入,可得a=h(0)=1+cos 01+0=2.

      故選答案:D.

      點(diǎn)評(píng):根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建兩個(gè)函數(shù)相等的關(guān)系,合理進(jìn)行參變分離,這是解決含參的函數(shù)、方程、不等式等綜合應(yīng)用問(wèn)題中最為常用的一種技巧方法.抓住條件進(jìn)行合理的參變分離,進(jìn)一步深入研究對(duì)應(yīng)函數(shù)的關(guān)系式,結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)分析與求解,為解決參數(shù)的求值、參數(shù)的最值(或取值范圍)等問(wèn)題創(chuàng)造條件.

      解法4:數(shù)形結(jié)合法.

      令f(x)=g(x),即a(x+1)2-1=cos x+2ax,可得ax2+a-1=cos x.

      如圖1,作出函數(shù)y=cos x,x∈(-1,1)的圖象.

      設(shè)函數(shù)h(x)=ax2+a-1,x∈(-1,1).

      當(dāng)a=-1時(shí),h(x)max=h(0)=-2,此時(shí)函數(shù)h(x)的圖象與圖中的圖象沒(méi)有交點(diǎn);

      當(dāng)a=12時(shí),h(x)max=h(1)=0,此時(shí)函數(shù)h(x)的圖象與圖中的圖象沒(méi)有交點(diǎn);

      當(dāng)a=1時(shí),h(x)max=h(1)=1,結(jié)合對(duì)稱(chēng)性,此時(shí)函數(shù)h(x)的圖象與圖中的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

      排除以上三個(gè)選項(xiàng),只能是選項(xiàng)D正確,其實(shí),當(dāng)a=2時(shí),h(x)min=h(0)=1,此時(shí)函數(shù)h(x)的圖象與圖中的圖象有一個(gè)交點(diǎn).

      故選答案:D.

      點(diǎn)評(píng):根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建兩個(gè)函數(shù)相等的關(guān)系,合理分拆函數(shù),轉(zhuǎn)化為一個(gè)熟知的余弦函數(shù)與一個(gè)含參的二次(或一次)函數(shù),為數(shù)形結(jié)合直觀分析創(chuàng)造條件.依托選項(xiàng)中具體數(shù)值的信息,分類(lèi)討論,也是解決問(wèn)題中非常不錯(cuò)的一種技巧方法.合理數(shù)形結(jié)合直觀處理,巧妙排除實(shí)現(xiàn)問(wèn)題突破.

      3 變式拓展

      基于原高考真題的分析與求解,合理深入探究與拓展,剖析問(wèn)題的本質(zhì)與內(nèi)涵,給問(wèn)題的進(jìn)一步深度學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件,得到以下相應(yīng)的變式問(wèn)題.

      變式1設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a為正實(shí)數(shù)),若曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個(gè)交點(diǎn),則a=.

      答案:2.

      變式2設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a為正實(shí)數(shù)),若曲線y=f(x)與y=g(x)恰有兩個(gè)交點(diǎn),則a的取值范圍為.

      答案:(0,2).

      變式3設(shè)函數(shù)f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a為正實(shí)數(shù)),若曲線y=f(x)與y=g(x)沒(méi)有交點(diǎn),則a的取值范圍為.

      答案:(2,+∞).

      以上三個(gè)變式的解析過(guò)程這里不多加展開(kāi),可以參照原高考真題,借助參數(shù)為正實(shí)數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化,數(shù)形結(jié)合來(lái)突破與求解.

      4 教學(xué)啟示

      在實(shí)際數(shù)學(xué)解題與綜合應(yīng)用時(shí),基于具體問(wèn)題的分析與求解,只是解題教學(xué)與學(xué)習(xí)的一個(gè)基本起步.若只停留在這個(gè)環(huán)節(jié),收益比比較少,創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用能力得不到很好的提升,只是停留在“刷題”的表層.

      而基于數(shù)學(xué)問(wèn)題的深入分析與挖掘,依托數(shù)學(xué)“四基”知識(shí),合理借助“一題多解”來(lái)開(kāi)拓解題思維,發(fā)散數(shù)學(xué)思維,進(jìn)而合理深挖問(wèn)題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì),利用命題背景挖掘內(nèi)容本質(zhì),實(shí)現(xiàn)“多題歸一”,合理歸類(lèi)與綜合,從而合理借助“一題多變”深入拓展應(yīng)用,形成“解一題,通一片”的良好解題效果.

      在實(shí)際數(shù)學(xué)解題與綜合應(yīng)用中,只有深入問(wèn)題進(jìn)行合理的探討與研究,不停留在解題的表面,往往都可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題的最優(yōu)效益,這也是有效落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)“四基”知識(shí),提升數(shù)學(xué)“四能”技巧,優(yōu)化數(shù)學(xué)解題習(xí)慣,提高數(shù)學(xué)優(yōu)良品質(zhì)以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等.

      化隆| 石渠县| 外汇| 和平区| 林周县| 柳林县| 绵竹市| 甘谷县| 行唐县| 任丘市| 邹城市| 天门市| 广安市| 临城县| 周至县| 台北市| 虎林市| 诏安县| 柳河县| 盱眙县| 阿巴嘎旗| 古交市| 鄂托克前旗| 龙州县| 瓦房店市| 奈曼旗| 永宁县| 洪雅县| 丹阳市| 安国市| 洞头县| 泾川县| 舞钢市| 公主岭市| 大同市| 盐津县| 雅江县| 太和县| 峨眉山市| 林周县| 三亚市|