摘要： 探討了一類含參數(shù)不確定和輸入延遲的約束多輸入多輸出線性系統(tǒng)的自適應(yīng)模型預(yù)測控制問題。提出了一種基于時變更新率的自適應(yīng)更新律，實現(xiàn)了在輸入延遲的情況下更新估計系統(tǒng)的不確定參數(shù)。為了處理約束，將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為源自于min-max優(yōu)化可解的簡單結(jié)構(gòu)。此外，從理論上證明了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，并證明了提出的自適應(yīng)模型預(yù)測控制策略是遞歸可行的。最后，數(shù)值模擬驗證了所提方法的有效性。

關(guān)鍵詞： 自適應(yīng)模型預(yù)測控制；輸入延遲；參數(shù)不確定性；離散時間系統(tǒng)

中圖分類號： O231；TP273文獻標識碼： A

Adaptive Model Predictive Control for Linear Systems with Parametric Uncertainties and Time Delay

KONG Lingren QI Qingyuan2

（1.Institute of Complexity Science， Qingdao University， Qingdao 26607 China; 2. Qingdao Innovation and Development Center， Harbin Engineering University， Qingdao 266000， China）

Abstract：This paper investigates the adaptive model predictive control （MPC） for a class of constrained linear multiple-input multiple-output （MIMO） systems with parametric uncertainty and input delay. An adaptive update law based on time-varying updating rate is proposed， which enables the update of uncertain parameters in the presence of input delay. Consequently， to deal with the constraints， we convert the optimization problem into a solvable simple structure， which originates from the min-max optimization. Furthermore， theoretically， it is shown that the closed-loop system is asymptotically stable and the proposed adaptive MPC strategy is proved to be recursively feasible. Finally， numerical simulation is given to illustrate the efficacy of the proposed method.

Keywords： adaptive model predictive control; input delay; parametric uncertainty; discrete-time system

0 引言

模型預(yù)測控制（MPC）憑借其優(yōu)異的性能和對約束的處理成為過程控制中一種高效的控制策略之一［12］。MPC技術(shù)的核心是通過解決有限時域優(yōu)化問題來獲得一系列最優(yōu)的控制動作。值得注意的是，MPC模型的準確性可能會限制預(yù)測系統(tǒng)的性能［3］。事實上，系統(tǒng)中的不確定性很常見，它可能來自于多個因素，如模型參數(shù)的不確定性和輸入延遲等。例如，在機器人控制［4］和化工控制［5］等高精度應(yīng)用中，由測量誤差、傳感器限制和其他因素引起的模型參數(shù)不確定性會顯著影響系統(tǒng)的性能表現(xiàn)和穩(wěn)定性。此外，在飛行器控制［6］等實時響應(yīng)的應(yīng)用中，由傳感器延遲、信號傳輸延遲和執(zhí)行器延遲等引起的輸入延遲可能會影響系統(tǒng)的安全性。

為了解決系統(tǒng)中存在的參數(shù)不確定性和輸入延遲所帶來的控制問題，一種高效的解決方案是自適應(yīng)模型預(yù)測控制（Adaptive MPC）。近年來Adaptive MPC引起了廣泛的關(guān)注，它考慮了參數(shù)不確定性，并把在線模型更新與傳統(tǒng)的MPC控制器相結(jié)合，以在提高控制性能的同時滿足約束條件。針對系統(tǒng)存在輸入延遲的情況，可以用系統(tǒng)模型擴維來表示輸入延遲的作用，從而分析和設(shè)計同時具有輸入延遲和參數(shù)不確定的控制系統(tǒng)。對于Adaptive MPC現(xiàn)有的結(jié)論可分為不同的參數(shù)識別策略，包括但不限于最小二乘法［78］，集合成員識別［913］，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［1415］和自適應(yīng)更新律［1620］等。具體而言，文獻［8］提出了一種參數(shù)估計策略，利用遞歸最小二乘算法同時進行參數(shù)識別和不確定性集合估計。文獻［15］中提出的控制策略包括模型識別部分和預(yù)測部分，其中不確定參數(shù)在模型識別部分中通過具有特定結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行逼近。此外，文獻［16］中引入了一種基于梯度下降的自適應(yīng)更新定律，用于具有參數(shù)不確定性的無約束系統(tǒng)，其中未來狀態(tài)的預(yù)測取決于對實際不確定系統(tǒng)的估計模型，這種方法的計算量相對于使用集合識別方法的策略［913］來說相對較小。在［16］的工作基礎(chǔ)上，文獻［17］提出了一種針對有參數(shù)不確定的約束系統(tǒng)的自適應(yīng)模型預(yù)測控制策略，該策略針對具有特定模型結(jié)構(gòu)的單輸入離散時間線性系統(tǒng)。值得注意的是，在文獻［20］中采用了一種自適應(yīng)更新定律來更新有約束系統(tǒng)的不確定參數(shù)，同時考慮估計的參數(shù)集和系統(tǒng)約束條件，并利用min-max方法來優(yōu)化問題，保證了遞歸可行性和閉環(huán)穩(wěn)定性。

前面提到的文獻［1620］已經(jīng)采用Adaptive MPC來解決具有或不具有約束的參數(shù)不確定系統(tǒng)控制問題，但是關(guān)于同時具有輸入延遲和模型不確定性系統(tǒng)的Adaptive MPC研究相對較少。實際上，常數(shù)時間輸入延遲的情況經(jīng)常發(fā)生，因此不能忽視該問題。本文列出了具有參數(shù)不確定性和輸入延遲的約束優(yōu)化問題所面臨的技術(shù)困難。首先，由于計算復雜度很高，min-max優(yōu)化的實現(xiàn)可能會非常困難。其次，在約束MPC中，由于最大誤差上界的不確定性，導致很難保證閉環(huán)可行性和穩(wěn)定性。最后，怎樣以簡單且高效的方式補償輸入延遲并與Adaptive MPC相結(jié)合，這是一個難點。

本文提出了一種自適應(yīng)MPC策略，適用于具有常數(shù)參數(shù)不確定性和輸入延遲的約束線性系統(tǒng)。通過引入基于時間變化的自適應(yīng)更新律，本文的方法能夠在輸入延遲的情況下更新系統(tǒng)的估計參數(shù)，并證明了參數(shù)估計誤差是有界的且狀態(tài)估計誤差是漸近穩(wěn)定的。此外，提出的源于min-max優(yōu)化的Adaptive MPC策略可以處理約束并獲得數(shù)值解。最后，本文的方法能夠通過一種擴維表示的系統(tǒng)模型來補償輸入延遲，同時保持遞歸可行性和閉環(huán)穩(wěn)定性。本文提出的Adaptive MPC框圖，如圖1所示。

本文的貢獻分為兩點：1）本文不僅僅是文獻［16］，［17］和［20］的擴展，本文考慮了輸入延遲對約束不確定系統(tǒng)的影響。2）本文引入了一種基于時變更新率的自適應(yīng)更新律，它可以更新輸入延遲系統(tǒng)的估計參數(shù)，并且證明了參數(shù)估計誤差有界且狀態(tài)估計誤差是漸近穩(wěn)定。

1 主要內(nèi)容

1.1 問題闡述

考慮以下具有參數(shù)不確定和輸入延遲的離散時間線性系統(tǒng)

xp（k+1）=Apxp（k）+Bpu（k-d）（1）

其中，xp（k）∈Rn為狀態(tài)，up（k-d）∈Rm為控制輸入；Ap∈Rn×n和Bp∈Rn×m為不確定性的系統(tǒng)矩陣；d∈N為已知的固定整數(shù)時間延遲。狀態(tài)xp和控制輸入u滿足約束（2）：

xp∈u∈u-（2）

其中，狀態(tài)約束x-∈Rn和控制約束u-∈Rm為凸集。設(shè)計關(guān)于系統(tǒng)（1）的目標函數(shù)為

J（k）=∑Npi=1‖xp（k+i|k）‖2Qp+‖u（k-d+i-1|k）‖2Rp（3）

其中，Np為控制時域，Qp和Rp為適應(yīng)維數(shù)的懲罰矩陣。

由于輸入延遲的存在，系統(tǒng)的行為會受到前幾個時間步的影響，使系統(tǒng)的動態(tài)特性變得更加復雜。為了更準確地描述系統(tǒng)（1）的行為，需要考慮歷史的輸入數(shù)據(jù)對系統(tǒng)的影響。因此，狀態(tài)變量擴維是一種常用的方法，它引入了歷史的控制輸入數(shù)據(jù)，從而更準確地描述系統(tǒng)的動態(tài)特性。擴維系統(tǒng)模型為

x（k+1）=Ax（k）+Bu（k）（4）

其中，x（k）∈Rm×d+n為擴維的狀態(tài)向量，A∈R（md+n）×（md+n）和B∈R（md+n）×m為擴維的系統(tǒng)矩陣，具體形式為

x（k）T=［u（k-1）T，u（k-2）T，…，u（k-d）T，xp（k）T］T

A=00…000I0…0000I…000…00…I0000…0BpAp， B=I0000

為了對擴維系統(tǒng)（4）中的控制輸入性能進行限制和優(yōu)化，目標函數(shù)（3）可以被式（5）的目標函數(shù)所代替

J（k）=∑Npi=1‖x（k+i|k）‖2Qc+‖u（k+i-1|k）‖2Rc（5）

其中，Qc=diag（0，…，0，Qp），Rc=Rp。

目標：設(shè)計一種含輸入延遲和不確定性參數(shù)系統(tǒng)的Adaptive MPC策略，在每一個時刻解決有限時域優(yōu)化問題，并在滿足約束（2）的條件下得到最優(yōu)控制序列U（k）*。優(yōu)化表述如下：

U（k）*=arg minu∈u- J（x（k），u（k））（6）

s.t.

x（k+i|k）=Ax（k+i-1|k）+Bu（k+i-1|k）（7）

x（k+i|k）∈， u（k+i-1|k）∈u-（8）

x（k+Np|k）=0

在優(yōu)化（6）中，已經(jīng)用一種擴維系統(tǒng)模型（4）來表示輸入延遲對系統(tǒng)帶來的影響。但系統(tǒng)（4）中的矩陣A包含不確定參數(shù)Ap和Bp，導致求解以上優(yōu)化問題并滿足約束（2）非常困難。因此，需要考慮處理不確定性參數(shù)A并設(shè)計相應(yīng)的優(yōu)化算法來求解優(yōu)化問題。

假設(shè)1 1）在每個采樣時刻k，過去的控制輸入是已知的，且當前時刻的狀態(tài)xp（k）是可測量的；2）控制時域與預(yù)測時域相等；3）輸入延遲步長d遠小于控制時域Np；4）Qp和Rp是對稱的且Qp≥0，Rp>0。

1.2 估計系統(tǒng)設(shè)計

系統(tǒng)（4）的估計系統(tǒng)可以設(shè)計為

（k+1）=（k）x（k）+Bu（k）（9）

其中，和分別為系統(tǒng)矩陣A和狀態(tài)x的估計值。設(shè)置狀態(tài)x的誤差為=x-，那么在k+1時刻，狀態(tài)估計誤差為

（k+1）=（k）x（k）（10）

其中，（k）=A-（k）為系統(tǒng)矩陣A的估計誤差。系統(tǒng)狀態(tài)x（k）簡化為Θ（k）=［up（k-d）Txp（k）T］T，相應(yīng)地可以得到：

p（k+1）=（k）Θ（k）（11）

其中，（k）∈Rn×n+m為參數(shù)估計誤差。（k），a和（k）為

（k）=a-（k）（12）

a=［Bp Ap］（13）

（k）=［p（k） p（k）］（14）

1.3 自適應(yīng)更新率

本節(jié)的目標是設(shè)計一種自適應(yīng)更新律，它可以使參數(shù)估計誤差有界并且狀態(tài)估計誤差p漸近穩(wěn)定。因此，定義一種關(guān)于狀態(tài)估計誤差的目標函數(shù)為

Ja（（k））=p（k+1）Tp（k+1）=[aΘ（k）-（k）Θ（k）]T[aΘ（k）-（k）Θ（k）]（15）

相對于Ja的梯度可以通過式（16）獲得：

ΔJa（（k））=-2p（k+1）Θ（k）T（16）

接下來介紹一種用于優(yōu)化模型參數(shù)自適應(yīng)更新律，以使目標函數(shù)（15）最小化。

（k+1）=（k）-λ（k）ΔJa（）=（k）+2λ（k）p（k+1）Θ（k）T（17）

其中，λ（k）>0為時變的更新率，可以通過方程（18）獲取λ（k）

λ（k）=arg minλ（k） Ja（（k）+2λ（k）p（k+1）Θ（k）T）（18）

進一步

Ja（（k）+2λ（k）p（k+1）Θ（k）T）λ（k）=-4p（k+1）Θ（k）TΘ（k）p（k+1）T+8λ（k）p（k+1）Θ（k）TΘ（k）Θ（k）TΘ（k）p（k+1）T=0

得到

λ（k）=12Θ（k）TΘ（k）（19）

公式（19）帶入（17），可以得到具有時變更新率的自適應(yīng)更新律：

（k+1）=（k）+1Θ（k）TΘ（k）p（k+1）Θ（k）T（20）

對于自適應(yīng)更新律（20），p（k+1）在k+1時刻是可以被獲取的。它可以通過計算（k+1）=xp（k+1）-（k）Θ（k）得到，其中xp（k+1）是在k+1時刻量測的系統(tǒng)狀態(tài)。

引理1 考慮到帶有輸入延遲和參數(shù)不確定的系統(tǒng)（4），如果存在一個確定性的常數(shù)β>0，使得Θ（k）TΘ（k）≤β。對于自適應(yīng)更新定律（6），這兩個陳述成立：1）參數(shù)估計誤差是最終有界的；2）狀態(tài)估計誤差p是漸近穩(wěn)定的。

證明：選擇李雅普諾夫函數(shù)Vp（k）=tr（（k）T（k）），其中tr表示為的跡?？梢缘玫?/p>

Vp（k+1）=tr（（k+1）T（k+1））=tr［（a-（k+1））T（a-（k+1））］=tr［aTa-2aT（k+1）+（k+1）T（k+1）］（21）

對方程（21）的最后兩項進行轉(zhuǎn)換，第2項可以改寫為

tr（-2aT（k+1））=tr［-2aT（k+1）］=tr［-2aT（（k）-λ（k）ΔJa（））］=tr［-2aT（k）+2λ（k）aTΔJa（））］（22）

第3項可以改寫為

tr（（k+1）T（k+1））=tr［（（k）-λΔJa（））T（（k）-λ（k）ΔJa（））］=tr［（k）T（k）-2λ（k）（k）TΔJa（）+λ（k）2ΔJa（）TΔJa（）］（23）

將（22）和（23）帶入（21）得到：

Vp（k+1）=Vp（k）+tr［2λ（k）a（k）TΔJa（）+λ2（k）Ja（）TΔJa（）］（24）

其中，（24）最后一項可以展開為

tr［2λa（k）ΔJa（）+λ2Ja（）TΔJa（）］ =tr［-4λ（k）a（k）Tp（k+1）Θ（k）T+4λ2（k）Θ（k）p（k+1）Tn（k+1）Θ（k）T］=tr［-4λ（k）p（k+1）Tp（k+1）+4λ（k）2Θ（k）TΘ（k）p（k+1）Tp（k+1）］=tr［-2Θ（k）TΘ（k）p（k+1）Tp（k+1）+1Θ（k）TΘ（k）p（k+1）Tp（k+1）］≤-1βp（k+1）Tp（k+1）（25）

然后，式（25）可以重新表述為

Vp（k+1）-Vp（k）≤-1βp（k+1）Tp（k+1）（26）

基于式（26），可以得出Vp（k）是遞減的。因此，參數(shù)估計誤差a（k）是有界的，1）得證。基于式（26）還可推導出：

Vp（k+1）-Vp（0）≤-1β∑k+1i=1p（i）Tp（i）（27）

進一步

1β∑+SymboleB@i=1p（i）Tp（i）≤Vp（0）-limx→SymboleB@Vp（k）（28）

其中，式（28）表明1β∑+SymboleB@i=1p（i）Tp（i）是有上界的，因此，狀態(tài)估計誤差p是漸近穩(wěn)定的，2）得證。

1.4 估計系統(tǒng)的Adaptive MPC設(shè)計

本文提出一種為估計系統(tǒng)（9）設(shè)計的Adaptive MPC策略，該策略結(jié)合了自適應(yīng)更新定律（20）。設(shè)定（k+i|k）表示從時間k往后i步的預(yù)測狀態(tài)，其中i=，…，Np。因此估計系統(tǒng)（9）的預(yù)測方程為

（k+i|k）=i（k）（k|k）+∑i-1j=0i-j-1（k）Bu（k+j|k）（29）

預(yù)測方程（29）可以表示為

（k）=（k）x（k）+（k）U（k）（30）

其中，

（k）=［（k+1|k），（k+2|k），…，（k+Np|k）］T

U（k）=［u（k|k），u（k+1|k），…，u（k+Np-1|k）］T

（k）=（k）2（k）Np（k）， （k）=B0…0（k）BB…0…Np-1（k）BNp-2（k）B…B

目標函數(shù)可以通過式（31）計算

J（k）=X（k）TQX（k）+U（k）TRU（k）=（k）TQ（k）+X（k）TQX（k）+2X（k）TQ（k）+U（k）TRU（k）≤2（k）TQ（k）+2X（k）TQX（k）+U（k）TRU（k）（31）

基于式（31），定義目標函數(shù)（k）：

（k）=2（k）TQ（k）+2X（k）TQX（k）+U（k）TRU（k）（32）

同樣，可得到擴維系統(tǒng)（4）的預(yù)測方程：

x（k+i|k）=i（k）x（k）+∑i-1j=0i-j-1（k）Bu（k+j|k）+i-j-1（k）w（k+j|k）（33）

其中，w（k）=（k）x（k）是以擾動形式表示的參數(shù)不確定性誤差。預(yù)測方程（33）可寫成：

X（k）=（k）x（k）+（k）U（k）+（k）W（k）（34）

其中，

X（k）=［x（k+1|k），x（k+2|k），…，x（k+Np|k）］T

W（k）=［w（k|k），w（k+1|k），…，w（k+Np-1|k）］T

（k）=I0…0（k）II…0…Np-1（k）INp-2（k）I…I

基于（29）和（33），可得到

（k+i|k）=Ai（k）（k|k）+∑i-1j=0Ai-j-1（k）（k）（k+j|k）（35）

式（35）可重述為

X（k）=M（k|k）+Ω（k）（k）=Ω（k）（k）（36）

其中，

M=［A，A2，…，ANc］T， （k|k）=x（k|k）-（k|k）=0

Ω（k）=（k）0…0AA（k）（k）…0…ANp-1（k）（k）ANp-2（k）（k）…（k）

將（36）代入（32），得到：

（k）=2（k）T（Q+Ω（k）TQΩ（k））（k）+U（k）TRU（k）（37）

其中，根據(jù)引理1中參數(shù)估計誤差a是有界的，可以得到Ω（k）是有界的。因此，定義Ω（k）的邊界為Ω-≤Ω（k）≤。然后定義新的目標函數(shù)Jupper（k）：

upper（k）=（k）T2（Q+（k）TQ（k））（k）+U（k）TRU（k）（38）

狀態(tài)和控制約束（2）可重述為

X（k）∈U（k）∈（39）

最后，優(yōu)化：

U*（k）=arg minU（k）upper（x（k），U（k））（40）

s.t.

（k）=（k）x（k）+（k）U（k）（41）

（k）+（k）∈（42）

X（k）∈（43）

U（k）∈（44）

（k+Np|k）=0（45）

本文提出的Adaptive MPC策略的詳細流程如算法1所示。

算法1

Input：初始狀態(tài)（0）=x（0），初始估計矩陣（0），控制和預(yù)測時域Np，懲罰矩陣，R和P。

1 for k=0，，… do

2 通過優(yōu)化（40），計算 u（k）=［ 0，…，0］U*（k），并把控制u（k）作用到系統(tǒng)。

3 量測實際不確定系統(tǒng)的狀態(tài) x（k+1）。

4 計算估計系統(tǒng)（9）的估計狀態(tài) （k+1）。

5 使用自適應(yīng)更新律（20）更新估計系統(tǒng)（9）中的（k+1），其中p（k+1）可由p（k+1）=xp（k+1）-（k）Θ（k）獲取。

6 設(shè)定（k+1）=x（k+1）。

7 end for

2 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

估計系統(tǒng)（9）的預(yù)測方程（29）可重新表述為

（k+i+1|k）=A（k+i|k）+Bu（k+i|k）-（k+i|k）（46）

其中，擾動（k+i|k）=（k）（k+i|k）=［0，…，In×n］Ta（k）（k），（k）=［u（k-d）T，p（k）T］T，i=0，…，Np-1。定義擾動的不確定集為

： ‖（k+i|k）‖2≤Vp（k）‖（k+i|k）‖2（47）

引理2 考慮到估計系統(tǒng)（9），如果優(yōu)化（48）

U*（k）=arg minU（k）∈maxW（k）∈upper（x（k），U（k），W（k））（48）

滿足狀態(tài)和控制約束（2），魯棒約束（47）和終端約束（45）在初始時刻k=0是可行的，那么陳述成立：1）優(yōu)化（40）滿足（41）（45）是遞歸可行的。2）所提出的具有自適應(yīng)更新律的Adaptive MPC閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

證明：1）假設(shè)優(yōu)化（48）在初始時刻是可行的，Vp（k）是固定的。那么，在k+1時刻，優(yōu)化（48）的一組可行解如式（49）所示：

U（k+1）=［u（k+1|k+1），…，u（k+Np-1|k+1）u（k+Np|k+1）］T=［u*（k+1|k），…，u*（k+Np-1|k），u*（k+Np|k）］T（49）

進一步

w（k+i+1|k+1）=w*（k+i+1|k）， i=0，…，Np-1

（k+i|k+1）=*（k+i|k）， i= …，Np

其中

u（k+Np|k+1）=0（k+Np+1|k+1）=0w（k+Np|k+1）=0

基于以上分析可以得到，在k+1時刻優(yōu)化（48）同樣滿足所有約束條件，因此優(yōu)化（48）是遞歸可行的。

然而，上述結(jié)論假設(shè)Vp（k）是固定的，但現(xiàn)實情況Vp（k）是非增的，這意味著Vp（k+1）≤Vp（k）且（k+i|k）是非增的。因此，可以得到‖（k+i|k）‖≤‖w*（k+i|k）‖，那么一定存在另一組可行解U*優(yōu)于（49）。優(yōu)化（48）在k+1時刻是可行的，可以得到優(yōu)化（40）在k+1時刻也是可行的，1）得證。

2）假設(shè)式（47）中Vp是固定的，考慮到優(yōu)化（48）中的目標函數(shù)upper在k+1時刻為

upper（k+1）=∑Npi=1‖（k+i+1|k+1）‖2c+‖u（k+i|k+1）‖2Rc

=∑Npi=2［‖*（k+i|k）‖2c+‖u*（k+i-1|k）‖2Rc］+‖（k+Nc+1|k+1）‖2c+‖u（k+Nc|k+1）‖2Rc

=∑Npi=2‖*（k+i|k）‖2c+‖u*（k+i-1|k）‖2Rc

≤∑Npi=1‖*（k+i|k）‖2c+‖u*（k+i-1|k）‖2Rc=*upper（k）

得到

*upper（k+1）≤upper（k+1）≤*upper（k）

選擇李雅普諾夫函數(shù)V（k）=‖（k|k）‖2c+*upper（k），令ΔV（k+1）=V（k+1）-V（k），得到

ΔV（k+1）=‖（k+1|k+1）‖2c+*upper（k+1）-‖（k|k）‖2c-*upper（k）=-‖（k|k）‖2c-‖u（k|k）‖2Rc≤-‖（k|k）‖2c

上式表明V（k）是遞減的并且收斂于零。

由于在控制系統(tǒng)設(shè)計中結(jié)合了自適應(yīng)更新律（20），這表明Vp（k）是隨時間遞減的，（k+i|k）也是遞減的。因此，存在控制輸入u優(yōu)于u*，使得‖（k）‖2c+upper（k）≤V（k），可以得到（k）收斂于零。在定理1中已經(jīng)證明了是漸進穩(wěn)定的，根據(jù)x（k）=（k）+（k），可以進一步得到x（k）也是漸進穩(wěn)定的，由此，2）得證。

3 數(shù)值計算

本文將進行數(shù)值計算來驗證提出的Adaptive MPC策略的有效性。為了探討系統(tǒng)在不同輸入延遲步長下的控制表現(xiàn)，考慮到具有輸入延遲和不確定性參數(shù)的約束系統(tǒng)，其動態(tài)可以建模為

xp（k+1）=0.248 5-1.035 50.891 00.406 5 xp（k）+0.319-1.308u（k-d）（50）

其中，d=，3，4。式（50）中Ap和Bp是未知，它們的名義參數(shù)是已知的，如式（51）所示。

p（0）=0.4-1.21.10.2 p（0）=0.42-1.4（51）

由于系統(tǒng)（50）具有輸入延遲，需要用一種擴維表示法來轉(zhuǎn)換系統(tǒng)（50），以在狀態(tài)空間描述中表示延遲效應(yīng)，參考式（4）。本例中，設(shè)置的參數(shù)為：狀態(tài)初始值xp（0）=［3，2］，預(yù)測時域和控制時域Np=10，控制約束‖u‖≤2，狀態(tài)約束|Cx|≤4，其中，C=［ 0］，權(quán)重矩陣Qc=diag［0. 0.1］，R=diag［ 1］，采樣間隔h=0.1。

圖2和圖3比較了系統(tǒng)在不同輸入延遲步長下的性能表現(xiàn)。從圖2可以看到，本文提出的Adaptive MPC策略在4種延遲步長下都可以讓閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，從圖3可以看到不同延遲步長下的控制輸入最終收斂于零并且滿足約束，由此證明本文提出的方法是有效的。

4 結(jié)論

本文對含不確定參數(shù)和輸入延遲系統(tǒng)的Adaptive MPC進行了詳細分析。將研究擴展到同時含參數(shù)不確定性和輸入延遲的約束系統(tǒng)，并獲得了優(yōu)化問題的數(shù)值解。此外，提出了一種時變的自適應(yīng)更新律，它可以在系統(tǒng)有輸入延遲的情況下更新估計系統(tǒng)的參數(shù)，并且證明了參數(shù)估計誤差是有界的和狀態(tài)估計誤差是漸進穩(wěn)定的。仿真結(jié)果表明了本文所提算法的有效性。

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（責任編輯 耿金花）