[課前思考]

2022年版課標(biāo)提出，數(shù)學(xué)課程要能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力，其中“符號(hào)意識(shí)、推理能力和模型思想”都被列為重要的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與推理能力是數(shù)學(xué)教育者共同關(guān)注的問(wèn)題。隨著對(duì)代數(shù)學(xué)習(xí)研究的不斷深入，研究者對(duì)小學(xué)生代數(shù)能力內(nèi)涵的理解發(fā)生了轉(zhuǎn)變，認(rèn)識(shí)到“一般化”和“符號(hào)化”才是代數(shù)思維的核心，而這體現(xiàn)在代數(shù)推理的過(guò)程中。

蘇教版教材從三年級(jí)上冊(cè)開(kāi)始每一冊(cè)都增設(shè)了以探究為主題的內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、舉例、驗(yàn)證、歸納、總結(jié)等探究活動(dòng)的一般過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。五年級(jí)下冊(cè)編排了“和與積的奇偶性”，這一內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。通過(guò)這一探究活動(dòng)，一方面，有利于學(xué)生從新的視角理解奇數(shù)、偶數(shù)等概念，感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的廣泛聯(lián)系；另一方面，有利于學(xué)生深化已經(jīng)積累的探索數(shù)的特征的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)推理能力。在執(zhí)教這部分內(nèi)容時(shí)，教師往往組織學(xué)生采用舉例的方式尋找規(guī)律，通過(guò)不完全歸納法從部分推斷整體。學(xué)生列舉幾個(gè)例子就得出結(jié)論，這樣的探究過(guò)程所積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)。如何幫助學(xué)生基于已有的認(rèn)知水平，經(jīng)歷用字母表示規(guī)律、推理一般性結(jié)論的過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力，解決學(xué)生在小學(xué)與初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來(lái)的代數(shù)思維發(fā)展的斷裂現(xiàn)象？筆者做了如下探索。

[教學(xué)過(guò)程]

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，喚醒代數(shù)推理意識(shí)

談話：班級(jí)圖書(shū)角的一本新書(shū)被借閱者小杰不小心撕掉了一張紙，老師問(wèn)小杰撕掉了哪兩個(gè)頁(yè)面，小杰說(shuō)他只記得被撕掉的那一張正、反兩頁(yè)的頁(yè)碼和是120。大家?guī)退胂朕k法，推算出是哪兩頁(yè)。

生1：我感覺(jué)小杰記錯(cuò)了，他說(shuō)正、反兩頁(yè)的頁(yè)碼和是120，我算了算，好像沒(méi)有兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)相加的和是120。

生2：我也發(fā)現(xiàn)了，正、反兩頁(yè)的頁(yè)碼一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)，奇數(shù)加偶數(shù)的和一定是奇數(shù)，不可能是偶數(shù)。

師：你們能從數(shù)學(xué)的角度思考這個(gè)問(wèn)題，非常好！兩個(gè)自然數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)，其中確實(shí)蘊(yùn)藏著一些規(guī)律，今天這節(jié)課我們就一起探究數(shù)的規(guī)律。

[反思]數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程離不開(kāi)對(duì)規(guī)律的探尋。找規(guī)律的過(guò)程是不斷逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程，是培養(yǎng)合情推理能力和演繹推理能力的過(guò)程。課始，設(shè)計(jì)推理的問(wèn)題情境，讓學(xué)生在嘗試解決問(wèn)題的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)充滿推理，為后面的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

二、用字母式表示有特征的數(shù)，培養(yǎng)代數(shù)推理意識(shí)

1.用字母表示自然數(shù)。

師：和的奇偶性與什么有關(guān)？

生：與加數(shù)本身的奇偶性有關(guān)。

出示一組圖形，如圖1。

師：從這組圖形中，你看到了哪些數(shù)？

生：自然數(shù)1、2、3、4、……

師：你能從形一眼看到數(shù)，以數(shù)解形，真有數(shù)學(xué)眼光。那么任意一個(gè)自然數(shù)，可以怎么表示呢？

生：用字母n表示。

生：用字母m表示。

師：用字母n或m代表任意一個(gè)自然數(shù)，可是，用字母表示數(shù)有什么獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)？

生：具有概括性。

2.用字母式表示偶數(shù)。

談話：（出示圖2）現(xiàn)在你能看到哪些數(shù)呢？

生：2、4、6、8、……

師：這列數(shù)有什么特征？

生：都是偶數(shù)，是2的倍數(shù)。

師：任意一個(gè)偶數(shù)用字母怎么表示？

生：用m表示。

生：用2n表示。

師：比較這兩種表示方法，各有哪些合理的地方？又有哪些不足的地方？

生：用m表示偶數(shù)，不能直觀表示出偶數(shù)的特征，m還可以表示奇數(shù)。自然數(shù)用n表示，偶數(shù)是2的倍數(shù)，用2n表示，一眼就能看出偶數(shù)的特征，顯示出2×□的形式。

師：同學(xué)們，你們現(xiàn)在不僅能用字母表示數(shù)，還學(xué)會(huì)了抓住一列數(shù)的特征，推理出用字母式表示偶數(shù)。真了不起，用字母式2n概括出所有偶數(shù)。

3.用字母式表示奇數(shù)。

談話：（出示圖3）這次你看到了哪些數(shù)？

生：1、3、5、7、……這些數(shù)都是奇數(shù)。

師：那用字母式怎樣表示任意一個(gè)奇數(shù)呢？這個(gè)問(wèn)題老師想放手讓同學(xué)們自己去探究，行嗎？

出示學(xué)習(xí)單，如圖4。

師：我們一起聽(tīng)聽(tīng)這幾位同學(xué)的想法。

生：我是結(jié)合圖推理的，上下對(duì)應(yīng)，奇數(shù)比偶數(shù)少一個(gè)方塊，偶數(shù)用2n表示，奇數(shù)用2n-1表示。

師：這里的n最小表示幾？

生：n最小表示1。

生：我發(fā)現(xiàn)所有的奇數(shù)都是兩個(gè)兩個(gè)地?cái)[，多一個(gè)方塊，所以還可以用2n+1表示。

師：那這里的n最小表示幾？

生：n最小表示0。

師：大家結(jié)合方塊圖，根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)奇數(shù)要么比偶數(shù)多1，要么比偶數(shù)少1，推理出用兩種字母式2n-1和2n+1表示奇數(shù)。

談話：回顧剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，如果用n表示自然數(shù)1、2、3、……的話，那么偶數(shù)用2n表示，奇數(shù)用2n-1或者2n+1表示。同學(xué)們?cè)谟米帜副硎咀匀粩?shù)的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)抓住數(shù)的特征，推理出用字母式概括所有的偶數(shù)和奇數(shù)。

4.用字母式表示任意有特征的數(shù)。

師：數(shù)的世界豐富多彩，有特征的數(shù)比比皆是，你們能用字母式表示下面兩行圖形的個(gè)數(shù)嗎？（如圖5）

生：第一行圖形的個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)，用3n表示。

生：第二行圖形的個(gè)數(shù)除以3余1，應(yīng)該可以用3n-2表示。

師：誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)一下，用字母式表示有特征的數(shù)，有什么好處？

生：簡(jiǎn)潔、概括性強(qiáng)，讓人一眼就看出一列數(shù)的特征，同時(shí)，能把具有這類特征的數(shù)全部概括進(jìn)去。

生：用簡(jiǎn)潔明了的字母式表示有特征的數(shù)，便于記憶，便于運(yùn)用。

[反思]設(shè)計(jì)四個(gè)層次的活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生的推理能力不斷進(jìn)階。首先借助方塊圖表示數(shù)量，直觀形象，很容易抽象出自然數(shù)可以用一個(gè)字母n表示，為后面用字母表示奇數(shù)和偶數(shù)以及任意有特征的數(shù)提供思維的拐杖，方便幫助學(xué)生從具體走向抽象。接著學(xué)生借助方塊圖，很自然地遷移到用字母m表示偶數(shù)。雖然已經(jīng)意識(shí)到要用不同的字母區(qū)別于自然數(shù)的字母表達(dá)，但這樣的表達(dá)顯然不能直觀表示出偶數(shù)的特征。根據(jù)方塊圖的直觀特征，喚醒推理意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用2n表示所有的偶數(shù)，初步感悟用字母表示數(shù)，關(guān)鍵要體現(xiàn)數(shù)的特征，偶數(shù)的特征是2的倍數(shù)，外顯的結(jié)構(gòu)是2×□。有了偶數(shù)表達(dá)的經(jīng)驗(yàn)，第三、第四層次推理奇數(shù)表達(dá)的字母式和用字母式表達(dá)出其他有特征的數(shù)列變得水到渠成。

三、嘗試用字母式推理一般性結(jié)論，發(fā)展代數(shù)推理意識(shí)

談話：字母式不僅可以概括數(shù)的特征，還可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算，推理出規(guī)律，接下來(lái)我們學(xué)習(xí)“用含有字母的式子推理”。

師：剛才我們學(xué)會(huì)了用字母式表示奇數(shù)和偶數(shù)，誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)兩個(gè)不是0的自然數(shù)相加，會(huì)有幾種不同的情形？

生：三種情形，奇數(shù)+奇數(shù)、偶數(shù)+偶數(shù)、奇數(shù)+偶數(shù)。

師：我們先研究其中的一種情形，偶數(shù)與偶數(shù)相加的和。

（出示圖6）

生：我是通過(guò)舉例、列表發(fā)現(xiàn)兩個(gè)偶數(shù)相加的和是偶數(shù)，而且沒(méi)有找到反例。

生：我用字母式相加的方法，2n+2n=4n，4是偶數(shù)，所以4n也是偶數(shù)。

生：我用字母式推理出任意兩個(gè)偶數(shù)相加，和一定是偶數(shù)，因?yàn)?n+2m=2（n+m）。

師：同學(xué)們，對(duì)于這三種有代表性的表達(dá)，誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)一下？

生：第一種用列舉的方法，很容易找到規(guī)律。不足的地方是，可能會(huì)漏掉反例，那我們從幾個(gè)例子中得到的結(jié)論就可能是錯(cuò)誤的。

生：第二種方法和第三種方法用字母式推理很好，2n概括了所有的偶數(shù)，但是第二種方法只能表示相同的兩個(gè)偶數(shù)相加，不能概括所有的情況。我更贊同第三種方法。

師：說(shuō)得真好。用舉例發(fā)現(xiàn)規(guī)律，以部分代表全部，有可能得到錯(cuò)誤的結(jié)論。用字母式推理，能概括所有的情形，獲得的結(jié)論是確定無(wú)疑的。會(huì)用字母式推理，說(shuō)明你們對(duì)用字母表示數(shù)的認(rèn)識(shí)更加深入了。

[反思]鑒于小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，他們想到的更多是歸納推理，從部分推斷整體，這樣的推理方式是很重要的驗(yàn)證方式。但是如果僅僅停留在合情推理的階段，那么學(xué)生邏輯思維的發(fā)展不會(huì)走向深入。到了小學(xué)高年級(jí)，學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)以后，我們不妨抓住數(shù)的特征，引導(dǎo)學(xué)生用字母式推理，對(duì)和的奇偶性做出解釋，從而觸摸和感受知識(shí)的本質(zhì)。如此，學(xué)生的思維超越了教材，將和的奇偶性規(guī)律理解得透徹明了。我們組織學(xué)生自主選擇用舉例的方式或用字母式推理的方式驗(yàn)證結(jié)論，學(xué)生經(jīng)歷驗(yàn)證的過(guò)程，通過(guò)比較感悟嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理的優(yōu)勢(shì)，掃清了從歸納猜想到演繹論證的思維“障礙”。讓學(xué)生經(jīng)歷從合情推理走向演繹推理的過(guò)程，提升思維的抽象水平。

四、拓展字母式的表達(dá)與推理，形成代數(shù)推理意識(shí)

1.用字母式推導(dǎo)任意兩個(gè)自然數(shù)相加的和的結(jié)論。

談話：剛才我們研究了兩個(gè)偶數(shù)的和，如果換成其他任意自然數(shù)，又有什么結(jié)論？你會(huì)說(shuō)明嗎？

（出示圖7）

匯報(bào)一：奇數(shù)+奇數(shù)=（ ）數(shù)。

生1：2n-1+2n+1=4n。

生2：2n-1+2m-1=2（n+m-1）。

生3：2n-1+2m+1=2（n+m）。

生4：2n+1+2m+1=2（n+m+1）。

師：誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)一下這四位同學(xué)用字母式說(shuō)明兩個(gè)奇數(shù)相加的過(guò)程？

生：第一位同學(xué)表達(dá)的是兩個(gè)相鄰的奇數(shù)，不是任意兩個(gè)奇數(shù)。

生：其他三位同學(xué)的證明過(guò)程都是正確的，只是生3的證明過(guò)程最簡(jiǎn)約，正好把加1和減1抵消。

小結(jié)：不管用哪個(gè)字母式來(lái)說(shuō)明，善于思考的同學(xué)肯定已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：任意兩個(gè)奇數(shù)的和結(jié)果都能表示為2×□，我們要盡量選擇簡(jiǎn)約的表達(dá)式。

匯報(bào)二：奇數(shù)+偶數(shù)=（ ）數(shù)。

生：2n-1+2m=2（n+m）-1。

生：2n+1+2m=2（n+m）+1。

小結(jié)：不管用哪個(gè)字母式說(shuō)明，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)相加，和都是奇數(shù)。

2.課堂小結(jié)。

師：學(xué)到這兒，你有什么收獲？

生：我學(xué)會(huì)了用字母式表示有特征的數(shù)，還學(xué)會(huì)了用字母式通過(guò)運(yùn)算進(jìn)行推理。

3.用字母式說(shuō)明更多結(jié)論。

師：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你能用字母式來(lái)說(shuō)明課始的問(wèn)題中，為何正、反兩頁(yè)的頁(yè)碼和不可能是120嗎？

生：一頁(yè)紙，正面的頁(yè)碼是奇數(shù)，反面的頁(yè)碼是偶數(shù)，奇數(shù)與偶數(shù)相加的和是奇數(shù)，不可能是120。

師：能用字母式來(lái)說(shuō)明嗎？

生：2n+2n+1=4n+1，結(jié)果是奇數(shù)。

總結(jié)：字母式確實(shí)大有用處。我們抓住數(shù)的特征，用字母式表達(dá)，然后用字母式通過(guò)運(yùn)算驗(yàn)證了我們的猜想。今天的研究在數(shù)論世界里只是冰山一角，希望大家用智慧的眼光去探索和發(fā)現(xiàn)更多有趣的科學(xué)結(jié)論。

[反思]代數(shù)推理是形式化與符號(hào)化的，演繹推理對(duì)于小學(xué)生而言更是十分抽象的，從真實(shí)的實(shí)物操作，抽象到數(shù)學(xué)圖式，最后到字母表征，完成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理，整個(gè)過(guò)程拾級(jí)而上。除去對(duì)規(guī)律本身的認(rèn)識(shí)和檢驗(yàn)，對(duì)掌握的證明方式做出新的推廣，也是代數(shù)推理能力培養(yǎng)的重點(diǎn)?；趯W(xué)生用字母式推導(dǎo)兩個(gè)偶數(shù)相加的和是偶數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，生發(fā)出奇數(shù)與奇數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)相加的和的規(guī)律推導(dǎo)，同時(shí)回應(yīng)了課始設(shè)置的問(wèn)題。學(xué)生在用字母推理的過(guò)程中，豐富推理經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步感悟字母表達(dá)的一般性，形成初步的代數(shù)推理能力，這樣的教學(xué)“有深度”“有溫度”。

【本文系江蘇省第15期教研課題“QCTI教學(xué)模式：培育兒童數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的探索與實(shí)踐”（編號(hào)：2023JY15-L154）的研究成果】

（作者單位：江蘇啟東實(shí)驗(yàn)小學(xué)） H