一、現(xiàn)象背后：對練習(xí)錯誤的追問

在“長方形和正方形的面積”單元練習(xí)中有這樣一個實際問題（如圖1）：

很簡單的一個問題，第二問的錯誤率卻很高，很多學(xué)生在第一問求出小路長度也就是水稻田周長后，直接用周長乘3千克求出施肥多少千克。筆者針對這一錯誤訪談學(xué)生：

師：你為什么用周長直接乘3？

生1：我沒有看清題目，以為第一問求的就是面積。

師：你不是才用了公式求周長嗎，怎么會認為求的是面積？

（生1答不出來）

師：這道題用第一問的結(jié)果直接乘3有道理嗎？

生2：我其實不應(yīng)該犯這個錯誤，因為第一問求出的單位是米，而3千克對應(yīng)的是每平方米，不一樣。

訪談中學(xué)生的回答基本都歸結(jié)為自己沒有認真審題，受到連續(xù)兩問解決問題的慣性思維影響。但對學(xué)生的錯誤進行深度剖析后，筆者認為在“沒有認真審題”和“慣性思維”背后更多暴露出的是學(xué)生對面積和周長還沒有清晰的邊界感、敏銳的識別力，這兩個同質(zhì)（度量的結(jié)果）異構(gòu)（度量對象及度量方式）的概念沒有真正建立，因而在非良構(gòu)的情境中還存在“套單位”這樣機械應(yīng)用的現(xiàn)象，甚至頻頻混淆兩者。

二、反思分析：對現(xiàn)有教學(xué)的審視

周長和面積是第二學(xué)段“圖形與幾何”領(lǐng)域中重要的教學(xué)內(nèi)容，兩者都是與圖形相關(guān)的概念，圖形一周邊線的長是周長，內(nèi)部大小是面積。兩者聯(lián)系密切，但又有本質(zhì)區(qū)別，一直以來都是教學(xué)的重點和難點，再加上教學(xué)過程中的一些缺失，導(dǎo)致學(xué)生容易出現(xiàn)概念混淆，不能準確應(yīng)用的現(xiàn)象，具體分析如下：

（一）單元跨學(xué)期分設(shè)，讓兩者之間的關(guān)聯(lián)顯得滯后。

已有各版本教材考慮到難點分散、分段進階，將周長和面積的教學(xué)單元分設(shè)在三年級上、下兩學(xué)期，學(xué)生學(xué)習(xí)這兩個概念相距近半年時間，加之長方形和正方形的周長和面積都要根據(jù)邊的長度計算，面積單位在長度單位基礎(chǔ)上建立，相似之處較多，這對學(xué)生的認知是一個挑戰(zhàn)。單元分設(shè)的初衷是希望避免概念混淆，但兩者關(guān)聯(lián)不及時，反而不利于兩個相近概念的系統(tǒng)建構(gòu)，造成學(xué)生在綜合應(yīng)用它們解決問題時產(chǎn)生混沌的現(xiàn)象。

（二）“可測量屬性”的弱化，讓概念建立缺乏完整表象支撐。

認識周長和面積，給學(xué)生留下深刻印象的往往是“描邊線”“涂顏色”，這些具身性操作給學(xué)生留下了清晰的圖形表象，然而我們必須認識到學(xué)生描的是邊線而不是周長，涂的是面而不是面積。周長和面積是度量的結(jié)果，是可計量的，周長本質(zhì)上是一條線段的長度，面積是面的大小。周長和面積概念教學(xué)時如果缺乏測量活動，學(xué)生難以準確建立關(guān)于周長和面積的認知，也不利于后續(xù)提煉周長和面積的計算公式及準確應(yīng)用。

三、教學(xué)實踐：基于概念關(guān)聯(lián)的整體學(xué)習(xí)

基于教學(xué)現(xiàn)狀，對于周長和面積，可以通過單元整合，立足概念關(guān)聯(lián)進行整體教學(xué)。概念關(guān)聯(lián)有三種基本形式：一是新信息與已有理解之間的關(guān)聯(lián)，二是不同數(shù)學(xué)概念及其表征之間的關(guān)聯(lián)，三是數(shù)學(xué)概念與日常生活中的相關(guān)現(xiàn)象之間的關(guān)聯(lián)[1]。根據(jù)以上概念關(guān)聯(lián)的三種形式，筆者設(shè)計了如下教學(xué)，組織學(xué)生同步認識周長和面積、辨析概念異同，努力從多維視角實現(xiàn)相似概念的準確建構(gòu)。

（一） 基于已有認知，感知關(guān)聯(lián)。

概念學(xué)習(xí)是學(xué)生基于現(xiàn)實生活經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。鄭毓信教授認為，在教學(xué)中要能夠利用學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，使得相應(yīng)的定義對于學(xué)生而言變得豐富和生動起來，而不再是一種空洞的“詞匯游戲”，幫助學(xué)生從更高的抽象水平重新認識原有的知識和經(jīng)驗，包括對此做出必要的改造或重構(gòu)[2]。因而，教學(xué)可以從創(chuàng)設(shè)生活情境出發(fā)，喚醒學(xué)生對周長和面積的前認知，在情境中建立起兩者之間的關(guān)聯(lián)。

1.從生活經(jīng)驗出發(fā)整體感知。

學(xué)生在學(xué)習(xí)周長和面積之前，相關(guān)生活經(jīng)驗是非常豐富的，課堂上引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光精準感知，厘清概念表象邊界，從“模模糊糊”走向“清清楚楚”。周長和面積度量的對象分別是“一周邊線”和“面”，找準度量對象是度量的第一步。

從學(xué)生熟悉的三個場景（視頻）引入：場景一，小朋友先給花朵涂色，再用黑色勾線筆勾邊；場景二，媽媽擦橢圓形的鏡子，先擦鏡面再擦鏡框一周；場景三，學(xué)校整修運動場，先在一周畫紅色邊線，再在中間鋪草皮。情境創(chuàng)設(shè)后抽象出花朵、鏡子、操場的平面圖（如圖2，邊線用顏色標注），請學(xué)生猜猜今天可能會研究什么數(shù)學(xué)知識，并說說理由。根據(jù)學(xué)生的回答抓住“周長”的“周”和“面積”的“面”，凸顯出一周邊線和整個面。學(xué)生通過指一指、描一描、摸一摸、涂一涂，在活動中感受一周邊線圍住了整個面，體會它們的位置關(guān)系，建立周長和面積測量對象的表象。

2.從整體感知中提煉本質(zhì)。

一維與二維是周長和面積的本質(zhì)區(qū)別，教學(xué)中可以進一步以此作為整體認知的突破口。學(xué)生觀察到圖形邊線有的是彎的，有的由幾條邊組成，無論哪一種都可以化曲為直看成一條線段，也就是說周長本質(zhì)上可以看作一條線段的長。平面圖形一周邊線和面連在一起，都是圖形的一部分，學(xué)生很難一下子與已經(jīng)認識的線段建立聯(lián)系，教師可以引導(dǎo)學(xué)生試著把周長和面積“分開”觀察，通過動畫演示讓花朵和鏡子的邊線從圖形中抽離出來，拉成一條線段，把操場的四條邊一段一段地展開連成一條線段，讓圖形邊線排除“面”的干擾直觀呈現(xiàn)出來?！胺珠_”的過程讓周長自然拉開了與面積的“距離”，實現(xiàn)從整體感知中提煉出相似概念的本質(zhì)區(qū)別。

（二）基于測量活動，對比關(guān)聯(lián)。

基于已有經(jīng)驗感知關(guān)聯(lián)，學(xué)生明確了周長和面積的測量對象，此時對一周邊線的長度和面的大小還停留在視覺感知上。通過組織學(xué)生進行測量活動，經(jīng)歷測量過程，在測量對比中豐盈兩者之間的關(guān)聯(lián)，深度感悟周長和面積的可測量屬性。

1.選擇標準量，在測量中對比感悟。

在測量活動中，可以借助標準的同類量，通過選擇和運用幫助學(xué)生建構(gòu)周長和面積的概念。

例如，出示兩個長方形菜地（如圖3：4 cm×6 cm，3 cm×7 cm），請學(xué)生判斷誰的周長長、誰的面積大。

生1：我覺得第一個長方形的面積大，它的周長肯定也長。

一些學(xué)生露出了贊同的神情。

生2：我覺得第二個長方形周長更長一些，但是感覺面積比第一個長方形小。

生3：我不同意，我感覺它們的周長和面積都一樣。

師：看來大家意見不一致，我們該怎么辦呢？

生4：算一算，用公式算。

生5：我也會算，長方形周長就是用長加寬然后乘2，面積就是長乘寬。

很多學(xué)生頻頻點頭表示同意。

師：你們了解得真多，計算公式的確可以幫助我們計算周長和面積，但是回到我們對周長和面積的認識——“長度”“面的大小”，我們也可以量一量，想不想動手試一試？

學(xué)生帶著好奇，異口同聲地回答“想”。

師：這里有一些工具（如圖4，同樣長的小棒，面積相同的小正方形和面積相同的圓），請你選擇合適的工具量一量這兩個長方形的周長和面積，然后比一比。

選擇工具是對概念的重新審視，學(xué)生在“沿線擺”和“沿面鋪”的過程中，體會周長和面積可測量屬性的不同。操作中還發(fā)現(xiàn)用圓不能鋪滿長方形的面，無法準確知道長方形面的大小，為學(xué)習(xí)面積單位做好了鋪墊。

2.根據(jù)測量數(shù)據(jù)，在畫圖中對比建構(gòu)。

方格圖在平面圖形的教學(xué)中有重要的價值，它為圖形的測量提供了標準，便于計數(shù)。借助方格圖中單位方格的邊長和面積，學(xué)生可以根據(jù)給定的周長和面積畫一畫、數(shù)一數(shù)構(gòu)造圖形，畫圖過程中學(xué)生的理解、糾錯、內(nèi)化是實現(xiàn)概念建構(gòu)的一個躍遷。

出示方格圖（圖略），圖中每一個方格的邊長和面積都用1表示，要求學(xué)生在圖中畫出以下兩個圖形：（1）周長為10的圖形；（2）面積為10的圖形。

周長為10和面積為10是完全不同的兩個量，學(xué)生首先明確邊長為1和面積為1的含義，再獨立畫圖。有的學(xué)生畫長方形，有的畫不規(guī)則圖形，無論哪種畫法畫出的周長為10和面積為10的兩個圖形都不一樣。在作圖過程中，學(xué)生體會到即使數(shù)據(jù)相同，表示的意義不同，畫出的圖形也不同。當然，像這樣有一定思維挑戰(zhàn)性的畫圖，一定會有一些學(xué)生畫錯，教師要及時收集錯例，組織大家辨析，在轉(zhuǎn)化錯誤的過程中深化對概念的認知。

（三）基于開放問題，辯證關(guān)聯(lián)。

感知關(guān)聯(lián)和對比關(guān)聯(lián)完成了對周長和面積概念的完整建構(gòu)，對于概念的鞏固與深化，可以創(chuàng)設(shè)開放的問題情境，通過思辨的方式深度關(guān)聯(lián)兩個概念，實現(xiàn)學(xué)生從對周長和面積的一般性認識到面對具體問題情境時靈活應(yīng)用的跨越。

1.聚焦不同與相同，在思辨中鞏固深化。

出示問題：判斷甲、乙兩塊菜地（如圖5），哪一塊周長長，哪一塊面積大。

教學(xué)中我們可以利用這個問題進一步設(shè)計開放性問題，給學(xué)生提供挑戰(zhàn)性任務(wù)。（1）怎樣才能使甲、乙兩塊菜地的周長不相等？（2）怎樣讓甲、乙兩塊菜地的面積相等？每一個問題都對應(yīng)多種解決方案。在交流分享中學(xué)生逐漸形成共識：圖中兩部分的周長和面積做比較時，共用邊尤為重要。共用邊端點動一動位置，就會讓兩部分的周長不相等（如圖6）。同樣，共用邊無論是曲線還是線段，無論端點是否在長方形頂點處，只要能平分長方形就能讓甲、乙面積相等（如圖7）。

在上述學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生對周長和面積的相同與不同進行比較，鞏固并加深了對周長和面積之間區(qū)別的認識，明晰了兩者之間的“邊界”。

2.凸顯變與不變，在辨析中內(nèi)化提升。

圖形形狀的變化會帶來圖形屬性的變化，周長和面積的變與不變是值得深度探討的問題。在概念鞏固階段，可以讓學(xué)生研究圖形變化過程中的周長和面積。概念在這一過程中越辯越明，思維也得到錘煉。

例如：小正方形邊長和面積都用1表示。請學(xué)生用四個小正方形拼一個圖形（形狀可以自己命名）。

教師展示學(xué)生的作品（如圖8）。

師：你們拼出這么多圖形，起了有趣的名字，很棒！仔細觀察，你們覺得這些圖形的周長一樣嗎？面積呢？

生：看起來，田字形周長短，感覺都團在一起了。

生：我覺得周長和面積應(yīng)該一樣吧，因為都是用四個小正方形拼成的。

師：大家各有各的想法，周長和面積是多少，我們得用數(shù)據(jù)說話。請你數(shù)一數(shù)、記一記，將數(shù)據(jù)填在表1中，看看結(jié)果如何。

反饋交流：觀察填后的表格（略），你有什么發(fā)現(xiàn)？什么變了，什么沒有變？

生：這三個圖形雖然“長得不同”，但是面積一直沒有變，周長變了。

師：這是為什么呢？

生：因為它們都是用四個小正方形拼成的，小正方形的面積不“重疊”，合在一起就是圖形的面積。

師：為什么面積相同，周長卻變了呢？它們都是用四個小正方形拼成的啊。

生：周長是要露在外面的，不同的拼法藏在里面的邊數(shù)不一樣，外面的周長就不同。

師：為什么田字形周長最短呢？我們還可以繼續(xù)以田字形做拓展延伸（如圖9），少了一個小正方形，繼續(xù)找找變與不變的秘密。

周長和面積的整體教學(xué)建立在關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上。找到關(guān)聯(lián)的契合點，采取有效的關(guān)聯(lián)策略是整體教學(xué)的關(guān)鍵，概念關(guān)聯(lián)指向的是學(xué)生的理解，培養(yǎng)的是學(xué)生的量感，促進的是結(jié)構(gòu)化的思考方式，讓低階學(xué)習(xí)走向高階學(xué)習(xí)，為核心素養(yǎng)的培育賦能。

參考文獻：

[1]鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]鄭毓信.多元表征理論與概念教學(xué)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

【本文系2023年度國家社會科學(xué)基金教育學(xué)一般項目“指向創(chuàng)造性成長的兒童研究素養(yǎng)培育理論與實踐研究”（編號：BHA230111）的階段性成果】

（作者單位：江蘇南京市力學(xué)小學(xué)） H