2022年版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育的整體性和發(fā)展性，倡導(dǎo)重視單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的整體理解與把握，逐步培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。在HPM（History and Pedagogy of Mathematics）領(lǐng)域，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合被認(rèn)為是提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量、增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣的重要途徑。

19世紀(jì)以來(lái)，歐美學(xué)者不斷探討數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值，如“給予數(shù)學(xué)一個(gè)人文面向”“歷史發(fā)展有助于安排課程內(nèi)容順序”“向?qū)W生展示概念的發(fā)展過(guò)程，有助于他們對(duì)概念的理解”“歷史發(fā)展中出現(xiàn)的障礙有助于解釋今天學(xué)生的學(xué)習(xí)困難”等［1］。近年，國(guó)內(nèi)學(xué)者將相關(guān)研究成果引入數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中，并將國(guó)外若干種數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的方式整合為附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式四類(lèi)［2］。

從單元整體教學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)史的價(jià)值在于以下幾個(gè)方面：一是數(shù)學(xué)史揭示了數(shù)學(xué)概念發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，我們看到數(shù)學(xué)概念發(fā)展的關(guān)鍵點(diǎn)或者核心問(wèn)題，這些關(guān)鍵問(wèn)題的解決往往蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)思想或方法，也就是大概念。二是由于學(xué)生的理解具有歷史相似性，因此數(shù)學(xué)的歷史也是數(shù)學(xué)的教學(xué)指南。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所遇到的困難往往是歷史上的先驅(qū)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期思索和探討后所克服的實(shí)際困難，因此，數(shù)學(xué)史能揭示學(xué)生自然的學(xué)習(xí)路徑。三是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)能夠促進(jìn)學(xué)生的深刻理解。在數(shù)學(xué)教學(xué)中直接呈現(xiàn)歷史上的數(shù)學(xué)問(wèn)題，提供“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)素材，能夠加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解；對(duì)原始文獻(xiàn)進(jìn)行改編，讓數(shù)學(xué)史材料古為今用、推陳出新，能夠幫助教師創(chuàng)設(shè)真實(shí)性學(xué)習(xí)情境；重構(gòu)歷史進(jìn)程，呈現(xiàn)知識(shí)的自然發(fā)生過(guò)程jzvo+VTgMPb60Tv5pWjHIQ==，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，是恰當(dāng)?shù)奶骄啃詫W(xué)習(xí)活動(dòng)資源。

基于數(shù)學(xué)史在單元整體教學(xué)中的價(jià)值，結(jié)合“大概念統(tǒng)領(lǐng)，結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)”的單元整體教學(xué)研究思路，我們確立了HPM視角下的單元整體設(shè)計(jì)思路，即“厘清歷史脈絡(luò)，提取核心概念，明晰素養(yǎng)目標(biāo)—基于歷史相似性，厘清單元結(jié)構(gòu)及學(xué)習(xí)路徑—提煉關(guān)鍵問(wèn)題，設(shè)計(jì)融入數(shù)學(xué)史的序列任務(wù)”。下面以人教版教材四年級(jí)上冊(cè)“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元為例，闡述研究與實(shí)踐的路徑。

一、提取核心概念，明晰素養(yǎng)目標(biāo)

（一）厘清歷史脈絡(luò)。

1.計(jì)數(shù)制的發(fā)展：進(jìn)位制。

在人類(lèi)文明的發(fā)展歷程中，世界各地的古老民族創(chuàng)造了五花八門(mén)的記數(shù)方法。除記數(shù)符號(hào)的差異外，大多數(shù)古老民族采用的都是“滿十進(jìn)一”的十進(jìn)制。

例如，大約形成于公元前3400年的古埃及象形數(shù)字采用的就是簡(jiǎn)單累數(shù)制，即1、10、100、1000等（10的乘冪）都有專(zhuān)門(mén)的符號(hào)表示，記數(shù)時(shí)，重復(fù)這些符號(hào)并組合起來(lái)（用加法累加）。中國(guó)的甲骨文數(shù)字、羅馬數(shù)字都只是在簡(jiǎn)單累數(shù)制的基礎(chǔ)上略有改進(jìn)。

雖然這樣的記數(shù)方式形象、直觀，但是當(dāng)人們需要表示更大的數(shù)時(shí)，就要不斷創(chuàng)造新的記數(shù)符號(hào)表示更大的單位，并且記數(shù)過(guò)程也愈加煩瑣。

2.計(jì)數(shù)制的完善：位值制。

位值制也蘊(yùn)含了進(jìn)位的思想，它是進(jìn)位制的高級(jí)版本。世界上較早應(yīng)用位值制計(jì)數(shù)的地區(qū)有古巴比倫、瑪雅、中國(guó)和古印度。

古巴比倫的楔形數(shù)字最早采用位值制的計(jì)數(shù)方法，產(chǎn)生于公元前2400年左右。它只有兩個(gè)記數(shù)符號(hào)，“T”形的楔形數(shù)字表示1，“〈”形的楔形文字表示10。60以內(nèi)用十進(jìn)的簡(jiǎn)單累數(shù)制，60以上用六十進(jìn)的位值制。中美洲的瑪雅文明采用的計(jì)數(shù)法與古巴比倫的類(lèi)似，20以下用五進(jìn)的簡(jiǎn)單累數(shù)制，20以上用二十進(jìn)位制。

中國(guó)古代與古印度采用的都是十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)，但中國(guó)古代用的是算籌，而古印度人大約在公元前600年創(chuàng)造了比象形符號(hào)更為抽象的9個(gè)字符，用來(lái)表示1～9這9個(gè)數(shù)字，隨后又創(chuàng)造了數(shù)字0的符號(hào)。經(jīng)過(guò)阿拉伯人的傳播以及不斷改進(jìn)，印度-阿拉伯?dāng)?shù)字逐漸發(fā)展為現(xiàn)在的國(guó)際通用數(shù)字。

3.運(yùn)用中的問(wèn)題解決。

在我國(guó)，十進(jìn)制計(jì)數(shù)法還發(fā)展出了四位一級(jí)的數(shù)級(jí)概念。它作為一種通行的計(jì)數(shù)習(xí)慣和大數(shù)表示方法，廣泛存在于涉及大量數(shù)字記錄的官方文書(shū)中，諸如《元和郡縣圖志》《通典》等反映唐代社會(huì)經(jīng)濟(jì)情況的歷史地理文獻(xiàn)，在記錄土地面積、人口、物資數(shù)量等方面，會(huì)采用四位分級(jí)的方式進(jìn)行表述，體現(xiàn)了這種計(jì)數(shù)法則的應(yīng)用。顯然，數(shù)級(jí)是追求方便與效率的歷史產(chǎn)物。有了數(shù)級(jí)，可以按照四位一組的規(guī)律給數(shù)位命名，讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)可以一級(jí)一級(jí)地讀寫(xiě)。

對(duì)數(shù)的簡(jiǎn)化和估算的需求產(chǎn)生了“四舍五入”法。在中國(guó)，“四舍五入”的概念可以追溯到非常早的時(shí)期，《淮南子》《九章算術(shù)》中均有運(yùn)用“四舍五入”法的體現(xiàn)。三國(guó)時(shí)期的《景初歷》中明確記載了“半法以上排成一，不滿半法廢棄之”的原則。在世界其他地區(qū)和文化中，也有類(lèi)似的方法。隨著時(shí)間演變和發(fā)展，“四舍五入”法因其簡(jiǎn)單易行和誤差較小的特點(diǎn)，成為全球通用的數(shù)值修約標(biāo)準(zhǔn)之一，并在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和科學(xué)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。

（二）提取核心概念。

十進(jìn)制計(jì)數(shù)法產(chǎn)生的歷程中，首先是對(duì)數(shù)量的抽象產(chǎn)生了數(shù)，十進(jìn)制的確立則明確了數(shù)的表示就是計(jì)數(shù)單位的累加，而位值制的產(chǎn)生則將記數(shù)法推向了新的高度。有了位值制，多大的數(shù)都可以用0～9這10個(gè)數(shù)字表示；基于位值制，我們才需要按照現(xiàn)有的規(guī)則計(jì)算整數(shù)四則運(yùn)算。位值制這一偉大的成就，正是數(shù)學(xué)得以抽象化、邏輯化持續(xù)發(fā)展的基礎(chǔ)。

四位一級(jí)的“數(shù)級(jí)”概念、“四舍五入”求近似數(shù)的方法，說(shuō)明數(shù)學(xué)的許多規(guī)定是人們根據(jù)解決問(wèn)題的需要逐漸發(fā)展和一致認(rèn)可的合理方案。

綜上所述，我們提取了與本單元相關(guān)的4條核心概念：

1.數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，是計(jì)數(shù)單位的累加。

2.用0～9這10個(gè)數(shù)字就能表示所有自然數(shù)，每次滿十進(jìn)一會(huì)產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位，每個(gè)數(shù)字表示的大小取決于它絕對(duì)的值和所在的位置。

3.為了方便表達(dá)更大的數(shù)，創(chuàng)造了“數(shù)級(jí)”，使十進(jìn)制計(jì)數(shù)法得到完善。

4.大數(shù)的讀寫(xiě)方法、“四舍五入”法等規(guī)則是人們根據(jù)解決問(wèn)題的需要，通過(guò)協(xié)商、約定得來(lái)的。

（三）明晰素養(yǎng)目標(biāo)。

本單元需要發(fā)展的核心素養(yǎng)是數(shù)感，主要體現(xiàn)在通過(guò)推理、抽象理解萬(wàn)以上數(shù)的意義，能在具體情境中把握萬(wàn)以上數(shù)的大小關(guān)系，能用多種方法表示萬(wàn)以上的數(shù)等。根據(jù)我們提取的核心概念以及數(shù)感的內(nèi)涵表現(xiàn)，確定本單元的核心素養(yǎng)目標(biāo)如下：

1.能借助計(jì)數(shù)器、數(shù)位順序表，通過(guò)推理認(rèn)識(shí)更多、更大的計(jì)數(shù)單位，抽象出更大的數(shù)表示數(shù)量。

2.能運(yùn)用歸納、類(lèi)比等方法發(fā)現(xiàn)和概括大數(shù)的讀寫(xiě)規(guī)則、十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的計(jì)數(shù)規(guī)則，進(jìn)而理解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法，建構(gòu)整數(shù)數(shù)位順序表。

3.能在生活中合理使用大數(shù)（包括用不同方式表征大數(shù)、大數(shù)的改寫(xiě)、求近似數(shù)等）對(duì)數(shù)量進(jìn)行表達(dá)，能在具體情境中把握萬(wàn)以上數(shù)的大小關(guān)系，初步形成數(shù)感。

4.在具體情境中理解大數(shù)的讀寫(xiě)方法、用“四舍五入”法求近似數(shù)等規(guī)則都是人們根據(jù)解決問(wèn)題的需要，通過(guò)協(xié)商、約定得來(lái)的。

二、厘清單元結(jié)構(gòu)及學(xué)習(xí)路徑

（一）歷史相似性分析。

從歷史相似性的角度分析，從十進(jìn)累數(shù)制到十進(jìn)位值制是整數(shù)發(fā)展的一次飛躍，這應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。從學(xué)生的實(shí)際情況看，他們?cè)谌粘５纳睢W(xué)習(xí)中早已習(xí)慣了十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)法的運(yùn)用，因此掌握十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的計(jì)數(shù)規(guī)則不是難點(diǎn)，困難的是學(xué)生很難體會(huì)到十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的優(yōu)越性，以及對(duì)“數(shù)級(jí)”概念的理解和運(yùn)用。

（二）教材單元結(jié)構(gòu)。

人教版教材中本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容分成4個(gè)小節(jié)編排，采取螺旋上升結(jié)構(gòu)。先認(rèn)識(shí)億以內(nèi)數(shù)及其讀寫(xiě)、大小比較、改寫(xiě)、求近似數(shù)等；然后將數(shù)擴(kuò)展到億以上，理解十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的計(jì)數(shù)規(guī)則，并將億以內(nèi)數(shù)相關(guān)的知識(shí)自然運(yùn)用到億以上數(shù)。具體編排情況見(jiàn)表1。

從大概念統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)單元學(xué)習(xí)，以及建立完整“數(shù)級(jí)”概念的角度考量，可將“數(shù)的產(chǎn)生”這一小節(jié)前移，在學(xué)生對(duì)十進(jìn)制計(jì)數(shù)法有較完整認(rèn)知的情況下學(xué)習(xí)大數(shù)的讀寫(xiě)、大小比較等內(nèi)容。

（三）單元學(xué)習(xí)路徑。

基于單元學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，在對(duì)“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”學(xué)習(xí)內(nèi)容序列做適當(dāng)調(diào)整后確定如下學(xué)習(xí)路徑：

1.從數(shù)的產(chǎn)生歷程出發(fā)，感受和理解基于十進(jìn)關(guān)系的計(jì)數(shù)單位擴(kuò)展、十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的優(yōu)越性。

2.在讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)、數(shù)的大小比較過(guò)程中進(jìn)一步理解數(shù)位、數(shù)級(jí)的作用。

3.在具體情境中理解大數(shù)的改寫(xiě)、求近似數(shù)的必要性及其方法和原理。

4.了解計(jì)算工具的發(fā)展，用多種計(jì)算工具表達(dá)現(xiàn)實(shí)情境中的大數(shù)。

三、提煉關(guān)鍵問(wèn)題，設(shè)計(jì)任務(wù)序列

核心素養(yǎng)的發(fā)展、具體概念的形成，都需要關(guān)鍵問(wèn)題的引領(lǐng)。在關(guān)鍵問(wèn)題的引領(lǐng)下，學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，交流探討，深入思考，發(fā)展能力。基于對(duì)本單元核心概念以及素養(yǎng)目標(biāo)的分析，提出了本單元需要學(xué)生理解的兩個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：

①生活中存在更大的數(shù)，我們?nèi)绾卫脭?shù)位方便地表示數(shù)？

②如何利用數(shù)位（數(shù)級(jí)），遷移已有方法來(lái)讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)、比較大小、改寫(xiě)大數(shù)？

根據(jù)教材的編排和學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，將上述關(guān)鍵問(wèn)題分解為5個(gè)子問(wèn)題，設(shè)計(jì)能夠激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索和深入思考的學(xué)習(xí)任務(wù)，并將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，形成本單元的學(xué)習(xí)任務(wù)序列，具體情況見(jiàn)表2。

HPM視角下對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的探討，不僅為我們打開(kāi)了一扇理解數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的窗，也讓教學(xué)活動(dòng)更加鮮活且富有深度。通過(guò)整合數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化于單元教學(xué)之中，不僅賦予了數(shù)學(xué)知識(shí)以生命歷程和人文色彩，而且更有力地促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的洞察。期待更多的教師能夠參與到HPM實(shí)踐中，一起實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值——啟迪智慧，塑造人格，傳承文明。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳駿，汪曉勤.國(guó)外數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)研究述評(píng)[J].比較教育研究，2013，35（8）.

[2]吳駿，汪曉勤.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐：他山之石[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，53（2）.

（作者單位：廣東東莞市東城第五小學(xué)） H