一、學(xué)前測(cè)試及分析

五年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)平行四邊形面積之前基本掌握了平面圖形的特征，明確了面積的意義，經(jīng)歷了長方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，積累了一定的動(dòng)手操作能力和推理意識(shí)。在推導(dǎo)過程中，基本掌握了通過數(shù)格子（1 cm2）等方法可以得出圖形的面積。但之后一年多較少涉及面積知識(shí)，學(xué)生的基礎(chǔ)怎樣？他們對(duì)轉(zhuǎn)化思想的理解力如何？有必要開展一個(gè)知識(shí)前測(cè)便于準(zhǔn)確把握學(xué)情。筆者設(shè)計(jì)了3個(gè)題目（如圖1），分別在城鎮(zhèn)小學(xué)3個(gè)同質(zhì)學(xué)生平行班進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查時(shí)間為教學(xué)此內(nèi)容前10天，要求在5分鐘內(nèi)獨(dú)立完成。調(diào)查結(jié)果如表1所示。

這3個(gè)班級(jí)的學(xué)生分別對(duì)不同要求、不同思維層次的題目進(jìn)行解答，可以從一個(gè)側(cè)面了解平行四邊形面積前概念情況。從調(diào)查的結(jié)果看，大部分學(xué)生不借助方格圖也能通過自己的測(cè)量求出平行四邊形的面積（約占77.3%），且理由寫得比較正確。在題1中可以發(fā)現(xiàn)，約83.7%的學(xué)生采用整體切割的方法進(jìn)行拼組，明顯區(qū)別于教材中“不滿一格都按半格算”這樣數(shù)一數(shù)的方法；而在題2、題3中，大部分學(xué)生也通過整體剪拼變成長方形然后求出平行四邊形的面積。因此，筆者認(rèn)為：一是教學(xué)時(shí)可以組織學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐或借助方格圖引導(dǎo)其自主探究平行四邊形面積，再比較兩種方法的相同點(diǎn)，從而滲透轉(zhuǎn)化思想，感受形狀變了而面積不變的本質(zhì)。

二是根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)較好的實(shí)際，可以把平行四邊形的面積研究得更深入一些，進(jìn)行周長變了面積不變、面積變了周長不變的練習(xí)，滲透“變中有不變”的辯證思想。

二、課堂教學(xué)實(shí)踐

環(huán)節(jié)一：遷移已有經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)認(rèn)知沖突。

課始，出示一個(gè)平行四邊形，設(shè)疑：這是一個(gè)平行四邊形，你已經(jīng)知道了它的哪些知識(shí)？還想知道關(guān)于它的哪些知識(shí)？通過答疑，學(xué)生想研究平行四邊形的周長和面積。于是，教師給定平行四邊形的底邊和鄰邊的長度分別是6 cm和5 cm，學(xué)生快速口答它的周長是22 cm。隨后，猜測(cè)這個(gè)平行四邊形的面積是多少。

生：平行四邊形的面積是6×5=30（cm2）。

生：不對(duì)，這個(gè)5 cm不是它的高，要求出平行四邊形的面積，需要知道高是多少。

師：如果這個(gè)高是4 cm，面積是多少呢？

生：6×4=24（cm2）。

針對(duì)兩種不同的答案，組織學(xué)生采用方格圖和其他學(xué)具進(jìn)行驗(yàn)證。我們認(rèn)為，這個(gè)環(huán)節(jié)一是可以調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的認(rèn)識(shí)圖形經(jīng)驗(yàn)，自然地引出求平行四邊形的周長和面積這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生用熟悉的方法進(jìn)行計(jì)算，無形中促進(jìn)圖形間知識(shí)的遷移；二是在求平行四邊形的面積時(shí)，學(xué)生有認(rèn)知沖突，出現(xiàn)了“底邊×鄰邊”和“底×高”兩種方法，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考；三是借助具象的平行四邊形圖和方格圖，讓學(xué)生經(jīng)歷由猜想到驗(yàn)證的過程，培養(yǎng)他們的動(dòng)手操作能力和推理意識(shí)。

環(huán)節(jié)二：借助生成資源，推導(dǎo)面積計(jì)算公式。

根據(jù)課前調(diào)查的情況和提供的學(xué)具，學(xué)生一般會(huì)研究出兩種不同的推導(dǎo)思路，可以對(duì)這兩種方法進(jìn)行對(duì)比與分析。在研究的基礎(chǔ)上集中反饋。

反饋一：

生：平行四邊形的面積是24 cm2。我是用數(shù)格子的方法，先數(shù)滿格的，有18格，再把不滿格的拼在一起，拼成6格，一共是24格，面積就是24 cm2。

生：我是這樣數(shù)的，把左邊多的這塊拼到右邊，然后數(shù)一數(shù)每行的格數(shù)，再數(shù)有幾行，然后算一算，總共是24 cm2（如圖2）。

然后讓其他學(xué)生說說第二位同學(xué)在數(shù)的時(shí)候采用的方法，得出整體切割、平移、拼組的方法，采用“每行個(gè)數(shù)×行數(shù)=總個(gè)數(shù)”的方法來計(jì)算面積。

反饋二：

生：我是把這個(gè)平行四邊形沿著高剪開，再把它拼成一個(gè)長6 cm、寬4 cm的長方形，長方形的面積是24 cm2，平行四邊形的面積也就是24 cm2。

師：在這個(gè)剪拼的過程中你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：在剪拼的過程中，平行四邊形變成了長方形，形狀變了，但是面積不變。長方形的長就是平行四邊形的底，寬就是平行四邊形的高。

師：兩種方法都驗(yàn)證了它的面積是24 cm2，也就是底的單位面積個(gè)數(shù)×高的單位面積個(gè)數(shù)，這就是平行四邊形的面積。那數(shù)方格法和剪拼法這兩種方法之間有聯(lián)系嗎？

生：它們都是將左邊多出來的部分移到右邊，把平行四邊形剪拼成了一個(gè)長方形，但面積不變。這樣，不僅數(shù)起來簡單，計(jì)算起來也簡單。

師：是的，這兩種方法背后的道理是一樣的，都用到了“轉(zhuǎn)化”的方法。通過比較、溝通和聯(lián)系，現(xiàn)在我們知道平行四邊形的面積=底×高（如圖3）。

隨后，組織學(xué)生進(jìn)行兩個(gè)平行四邊形面積的計(jì)算，在計(jì)算的過程中掌握字母公式和底與高相對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)。

這一環(huán)節(jié)主要問題是在對(duì)比中發(fā)現(xiàn)整體數(shù)方格的方法與剪拼法本質(zhì)上是一致的，都是基于對(duì)規(guī)則圖形的度量，同時(shí)第一次讓學(xué)生感受平行四邊形面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程中的“變與不變”。

環(huán)節(jié)三：利用框架演示，感知變與不變。

在課開始時(shí)，學(xué)生猜想出面積是6×5=30（cm2），他們的認(rèn)知困惑在哪里？教學(xué)的生長點(diǎn)又在哪里？教師需要利用這一生成性資源進(jìn)行拓展。接著設(shè)疑：想象一下面積是6×5=30（cm2），這是在計(jì)算怎樣一個(gè)圖形的面積？組織學(xué)生利用框架進(jìn)行演示：將平行四邊形拉成長方形（如圖4）。

師：觀察剛才的圖形和現(xiàn)在的圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)形狀變了，由平行四邊形變成了一個(gè)長方形。

生：我發(fā)現(xiàn)周長不變，面積發(fā)生了變化，面積比原來更大了。

師：如果這個(gè)圖形的周長不變，面積會(huì)發(fā)生變化嗎？為什么？

生：面積會(huì)發(fā)生變化，因?yàn)楦咭恢痹谧儭?/p>

師：在這個(gè)變化過程中，什么時(shí)候面積最大？什么時(shí)候又變小？你有什么想法？

生：當(dāng)拉成長方形時(shí)面積最大，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)候高等于長方形的寬，是最大的時(shí)候；再拉動(dòng)時(shí)，面積又變小了，因?yàn)楦咦冃×恕?/p>

生：我覺得平行四邊形的面積變化與高的變化密切相關(guān)。

這是第二次讓學(xué)生感受“變與不變”的規(guī)律，也就是周長不變，面積發(fā)生變化，其本質(zhì)是小學(xué)階段平行四邊形面積與鄰邊的長度沒有直接聯(lián)系，而與高有密切的關(guān)系。

隨后，組織學(xué)生研究面積是24 cm2的平行四邊形還會(huì)有怎樣的形狀，也就是等底等高的平行四邊形（面積相等的圖形）會(huì)有怎樣的特征。設(shè)問：如果平行四邊形的底是6 cm、高是4 cm、面積是24 cm2，還能畫出其他的平行四邊形嗎？獨(dú)立完成后鼓勵(lì)學(xué)生上臺(tái)展示所畫的平行四邊形。

師：這些平行四邊形的面積是多少？你是怎么判斷的？

生：面積都是24 cm2，因?yàn)樗鼈兌伎梢赞D(zhuǎn)化為長6 cm、寬4 cm的長方形。

生：這些平行四邊形的底都是6 cm、高都是4 cm，底和高沒有發(fā)生變化，所以它們的面積不變，還是24 cm2。

師：剛剛大家所畫的平行四邊形和老師一開始出示的平行四邊形有什么關(guān)系？

生：它們面積不變，但形狀變了，周長變了。

生：我發(fā)現(xiàn)底與鄰邊的夾角發(fā)生了變化，高不變，面積不變，周長變了。

師：像這樣，底是6 cm、高是4 cm、面積是24 cm2的平行四邊形有多少個(gè)？

生：有無數(shù)個(gè)。只要所畫的平行四邊形底是6 cm、高是4 cm，無論形狀怎么變，夾角怎么變，它們的面積始終是24 cm2。

……

學(xué)生通過想象、觀察和動(dòng)手操作，深刻感悟到“面積不變，角度、周長變了”，滲透了“變與不變”的內(nèi)涵，也為初中研究平行四邊形面積與鄰邊的關(guān)系埋下了伏筆。

借助具象的框架演示，有利于減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)，在有限的時(shí)間內(nèi)使研究開展得更深入。活動(dòng)緊緊圍繞兩條線開展：一條線是“周長不變、面積發(fā)生變化”，另一條線是“面積不變、周長發(fā)生變化”。這一過程中學(xué)生靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式，在“變”與“不變”中，加深了對(duì)知識(shí)的理解，把平行四邊形的面積順利納入圖形面積的整體結(jié)構(gòu)中。

（作者單位：浙江桐廬縣方埠小學(xué)） L