【摘要】課堂教學中往往設置情境進行教學，旨在讓學生能夠主動發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和思考問題，全面調(diào)動學生的高階思維互動.結(jié)合等差數(shù)列的前n項和，闡述不同教材的情境設置，實現(xiàn)優(yōu)化教學設計，推進數(shù)學教學和情境教學的充分融合.

【關鍵詞】情境；高斯算法；等差數(shù)列

情境教學是數(shù)學教學中激發(fā)學生學習欲望，促進學生積極學習的有效手段.情境的創(chuàng)設能引導學生對數(shù)學問題深刻認知，實現(xiàn)全面推動數(shù)學教學與數(shù)學情境的充分融合，從而使學生能夠?qū)λJ知的數(shù)學問題和數(shù)學知識真正把握，全面提升數(shù)學核心素養(yǎng).

在教學中教師若能關注對應知識點的情境資源，則能實現(xiàn)數(shù)學教學的全面優(yōu)化.比如，趣味性情境與問題，能夠引導學生觀察與思考，讓學生在多彩的學習活動中積累直觀的經(jīng)驗，悟出數(shù)學知識點；思辨性情境與問題，能讓學生在數(shù)學學習中，結(jié)合觀察、分析、體驗、經(jīng)歷和內(nèi)化等過程逐漸形成思考問題、分析問題和解決問題的思維方法，讓學生不斷完善認知結(jié)構(gòu)；實際性情境與問題，則是通過與實際生活、科學問題和數(shù)學問題建立情境與問題，讓學生發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑；螺旋式情境與問題，通過推理和演繹，加深對數(shù)學知識內(nèi)涵的理解；多元化情境與問題，如借助素養(yǎng)教學、情境教學、生活教學、變式教學，多角度去認識數(shù)學問題，實現(xiàn)觸類旁通的效果.

1高斯的故事

高斯是18至19世紀德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家和大地測量學家.在高斯10歲時，數(shù)學老師布特納為了讓學生們忙碌起來，同時也想測試一下他們的計算能力，便給他們出了一道題目：把從1到100的所有整數(shù)加起來，看誰能最快給出答案. 其他同學聽到這個題目后，都開始埋頭苦算，一個個數(shù)字加起來，而高斯卻幾乎立刻給出了答案：5050.老師非常驚訝，以為高斯是亂猜的，便要求他解釋計算過程. 高斯解釋道，他并沒有逐個相加，而是觀察到了數(shù)的規(guī)律.他發(fā)現(xiàn)，首尾兩個數(shù)相加的和是相同的，即1+100=101，2+99=101，…，50+51=101.這樣的數(shù)對有50對，所以總和就是101乘以50，即5050. 這個簡單卻巧妙的解法讓老師大為贊嘆，也展現(xiàn)了高斯對數(shù)字間關系的敏銳洞察力和數(shù)學天賦.從此，高斯在數(shù)學領域的非凡才能逐漸為世人所知，并最終成為了一位偉大的數(shù)學家.

2不同教材的情境資源

多種教材版本在引入等差數(shù)列的前n項和公式時，常常利用這則故事或者類似這個故事來引入情境教學，使學生能夠充分認識等差數(shù)列前n項和公式的來源.

情況1北師大版選擇必修第二冊的設計思路.

問題與情境如圖1，有200根相同的圓木料，要把它們堆放成正三角形垛，并使剩余的圓木料盡可能的少，那么將剩余多少根圓木料[1]？

根據(jù)題意，各層圓木料數(shù)比上一層多一根， 故其構(gòu)成等差數(shù)列：1，2，3，….設共堆放了n層，能構(gòu)成正三角形垛的圓木料數(shù)為Sn，因此Sn=1+2+3+…+n，這是一個等差數(shù)列的求和問題.那應該如何計算該等差數(shù)列的前n項和呢？

高斯算法：由高斯的算法得到啟發(fā)，計算1，2，3，…，n的前n項和：

Sn=1+2+3+…+n，

Sn=n+n-1+n-2+…+2+1，

則把上面兩式相加得2Sn=1+n+1+n+1+n+…+（1+n），右式有n個式子，則可以知道

1+2+…+n=n（n+1）2.

抽象概括：等差數(shù)列an中，若首項為a1，公差為d，Sn是等差數(shù)列an的前n項和，即Sn=a1+a2+a3+…+an， 因此結(jié)合等差數(shù)列an的通項公式Sn=a1+a1+d+a1+2d+…+a1+（n-1）d］.（1）

由高斯算法得到啟示，把項的次序反過來，Sn=an+an-d+an-2d+…+an-（n-1）d］.（2）

（1）+（2）得Sn=n（a1+an）2.

情境教學的意圖：（1）充分結(jié)合高斯算法推導等差數(shù)列an的前n項和公式；（2）引申出“倒序相加法”；（3）類比1+2+…+100=5050到1+2+…+n=n（n+1）2，再進一步深化到

a1+a2+a3+…+an=Sn=n（a1+an）2.即讓學生學習的道路猶如爬山一樣，逐漸遞進.

情況2中職版（高等教育出版社）拓展模塊一（下冊）的設計思路.

問題與情境某街道舉辦國慶70周年成就展，在展廳前用鮮花擺放了一個等腰梯形花壇.如圖2所示，花壇由前到后共有12排，最前一排擺放了10 盆鮮花，往后每排依次增加2盆.寫出由前到后每排擺放的鮮花盆數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，并計算這個花壇一共用了多少盆鮮花？

分析：第2排的花盆數(shù)為12，第3排的花盆數(shù)為14，…，第12排的花盆數(shù)為32.因此，由前到后每排的花盆數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為10，12，14，…，32. 本題的實質(zhì)是要計算等差數(shù)列10，12，14，…，32各項的和.

思路：設想將等腰梯形倒過來，與原來的等腰梯形合并在一起，如圖3所示，可以發(fā)現(xiàn)每一排的花盆數(shù)都是42，則可知10+32=12+30=14+28=…=32+10，由于共有12排花盆，所以這個花壇的花盆總數(shù)為12×10+322=252.

建構(gòu)模型：設數(shù)列an的前n項和為Sn，則有

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.（3）

上式也可以寫為，

Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1.（4）

由（3）+（4）得2Sn=a1+an+a2+an-1+…+an+a1，得前n項和公式

Sn=n（a1+an）2.

情境教學的意圖：如何獲得等差數(shù)列求和公式，其解決的思路是“倒序相加法”.

情況3蘇教版選擇性必修第一冊的設計思路.

問題與情境先考察圖4，這是某倉庫堆放的一堆鋼管，最上面的一層有4根鋼管，下面的每一層都比上一層多一根，最下面的一層有9根，怎樣計算這堆鋼管的總數(shù)呢？

思路：假設在這堆鋼管旁邊倒放著同樣一堆鋼管（圖5），因此每層的鋼管數(shù)都等于4+9，共有6層，從而原來的一堆鋼管總數(shù)為6×4+92=39.

建構(gòu)模型：對于等差數(shù)列an，可否用上面的方法來求出等差數(shù)列an的前n項和Sn.

下面的解決方法同情況2.

該情境教學的設計運用：同樣是利用生活中的情境“堆放鋼管問題”進行“倒序相加”，實現(xiàn)從特殊到一般的解決該問題的思路與方法.

情況4滬教版選擇性必修第一冊.

問題與情境據(jù)說200多年前，著名數(shù)學家高斯的算術老師在課堂上曾經(jīng)提出了下面的問題：

求1+2+3+…+100的值.

少年高斯用下面的方法迅速算出了正確的答案：1+2+3+…+100=？

100+99+98+…+1=？

上述兩式相加得：101+101+101+…+101=2×？則可以得到101×1002=5050.

總結(jié)：高斯的算法解決了求等差數(shù)列1，2，3，…，n，…前100項的求和問題.

不失時機地引入中國歷史上的數(shù)學家的成就：事實上，古代的中國人和希臘人也是這樣求等差數(shù)列之和的.例如，宋朝數(shù)學家楊輝提出了一個問題：“今有圭垛草一堆，頂上一束，底闊八束，問共幾束？答：36 束.”他的計算方法可以用圖6表示.

建構(gòu)模型：對于等差數(shù)列an，可否用上面的方法來求出等差數(shù)列an的前n項和Sn.

下面的解決方法同情況1.

該情境教學的設計運用：從創(chuàng)設數(shù)學史的情境與問題出發(fā)，同樣通過“倒序相加法”，由特殊到一般，求出等差數(shù)列an的前n項和Sn.該情境中注意讓學生充分了解為數(shù)學作出貢獻與發(fā)展的數(shù)學科學家的足跡，教師將數(shù)學史融合到教學中，可以對學生進行愛國主義教育，激發(fā)學生學習的熱情.

分析意圖：（1）在四種情境教學中，它們的共性是按“問題情境—構(gòu)建問題—解決問題—數(shù)學運用”的思路進行，讓學生能夠認識等差數(shù)列求和公式的由來.

（2）情況1中，由特殊情況到一般情況，且設置情境來認知問題，符合學生的一般認知規(guī)律，也給學生留下很多的思索空間.

（3）情況2中，由特殊情況衍生到“倒序相加”的思想方法，亦是一種很好的認知思路，當然可能類比為等腰梯形，學生可能不太容易想到，筆者覺得這里有商榷的空間.

（4）在情況3中，是將鋼管問題作為情境問題引入“倒序相加”的思想方法，但是倒放鋼管應該和現(xiàn)實的生活有所脫節(jié)，筆者覺得這個解決問題的方法要更加契合實際才能更符合問題的認知思路.

（5）在情況4中，由高斯解決的數(shù)學問題類比到中國古代數(shù)學家楊輝提出的垛草問題，然后解決的思路亦是“倒序相加法”，這個垛草問題用“倒序相加法”解決，筆者認為該情境教學更加符合我們對數(shù)學的認知，也讓數(shù)學知識更加鮮活起來，同時還對學生進行了數(shù)學史和愛國主義的教育.

當然上述四種情況的情境教學，都為如何實現(xiàn)“配對”到“倒序”的轉(zhuǎn)化，各個版本的教材都是將生活中的情境引入，且創(chuàng)設合理的問題，使得學生能夠參a65fbb6c3857aa54e6a9f737d659afb0與到數(shù)學知識的形成、產(chǎn)生、發(fā)展和運用過程，能夠讓學生直觀感受和理解，增強學生的創(chuàng)造力.

3教材的加工

數(shù)學教學結(jié)合情境教學，能夠激發(fā)學生學習數(shù)學的欲望，提高探知數(shù)學問題的興趣.同時情境教學能夠推動學生進行思考和分析，達到進一步完善認知結(jié)構(gòu)、增強知識儲備、提升解決問題的能力.學生通過情境問題進行學習活動，亦能加強構(gòu)建數(shù)學知識與實際生活的聯(lián)系，逐步掌握學習和思考的方法，從根本上提高學習力.

作為教師來說，在教學過程中可以通過對教材再進行精細加工，讓教學的思路更加流暢、清晰、自然，實現(xiàn)更完備的教學效果[2].

加工1：緊緊抓住整體思想.

高斯計算1+2+3+…+100的本質(zhì)是進行“配對”，而“配對”的關鍵是“整體思想”，即

a1+an=a2+an-1=….

所以Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.（5）

Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1.（6）

2Sn=na1+an，求得等差數(shù)列前n項和Sn=na1+an2.

加工2：類比思想.

對于如情況3的堆放鋼管問題，可類比梯形面積公式S=（a+b）×h2，然后讓學生思考如何求出堆放鋼管的總數(shù)，探索出等差數(shù)列前n項求和公式.

加工3：數(shù)學史和數(shù)學情境問題的結(jié)合.

在情況4中，先引入高斯解決1+2+3+…+100的問題，筆者認為可直接以宋朝數(shù)學家楊輝提出的問題來作為情境引入，再利用“倒序相加法”求出等差數(shù)列前n項和Sn.

4改進型的等差數(shù)列求和公式的教學過程

創(chuàng)設情境，新課導入：中國古代算書《張丘建算經(jīng)》有一道題：今有與人錢，初一人與一錢，次一人與二錢，次一人與三錢，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢，共有百人，問共與幾錢？

情境教學理論：數(shù)學知識一般與一定的知識背景相聯(lián)系，即與“情境”相聯(lián)系，特別是引入中國古代數(shù)學家的數(shù)學問題，則更加能夠引導學生利用自己的原有認知結(jié)構(gòu)，來同化和索引出現(xiàn)在所學的新知識，實現(xiàn)對新知識的完全建構(gòu) [3].

分組布置任務：第一組：用電腦計算器功能計算從1加到100等于多少？

第二組：使用開放網(wǎng)絡查詢德國數(shù)學家高斯的故事，看高斯如何計算從1加到100，等于多少？方法是否簡便？小組分別匯報解決的方法.

第一組的方法：

則可以計算1+2+3+…+98+99+100=1+100×1002=5050.

點評：第一組的方法是通過首尾配對法順利求出1到100的和，從簡單的問題開始，讓學生能夠在自主探索中不斷學習，實現(xiàn)問題從簡單到復雜的飛躍.

第二組的方法：

該小組采用倒序相加法，實現(xiàn)從1到100的求和.

點評：對于“倒序相加法”，一般教師要通過引導學生思索與索引，才能讓學生得到啟發(fā)，喚醒學生對該問題的認知.

對“倒序相加法”的認識：下面是倒序相加法的演示.

教師：現(xiàn)在有個數(shù)列，其首項a1=1，a2=2，…，a5=5，則項數(shù)n=5；

用一些圓表示這個數(shù)列，如圖7.

教師：為了方便計算這些圓的數(shù)量，我們可以尋找一個與之相同的數(shù)列，然后把這個數(shù)列對應的圖形進行倒置（如圖8），然后將圖7和圖8進行對拼，這樣就會呈現(xiàn)一個長方形，每行有6個圓，共5行，則圓有6×5=30個，而我們最初是求一組的圓，所以是30÷2=15.因此我們就很好地理解了“倒序相加法”，也就可以順理成章地認識和掌握等差數(shù)列求和公式為（首項+末項）×項數(shù)2．

教師：《張丘建算經(jīng)》一例：“今有女子不善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何？”“并初、末日織布數(shù)，半之，余以織訖日數(shù)，即得.”

請同學們把它翻譯為現(xiàn)在的數(shù)學題，可歸結(jié)為怎樣的數(shù)學問題？

學生甲：這是一個等差數(shù)列，a1=5，an=1，n=30，求等差數(shù)列的前30項和S30.

教師：不錯，可應用我們現(xiàn)在所學的等差數(shù)列的求和公式Sn=na1+an2解決.

合理應用教學中的數(shù)學情境，是要以適應自己所教學生的實際情況來進行教學，是如何“用教材”，而不是如何“教教材”，且不能拘泥于教材所給的情境教學.作為教師，應該要創(chuàng)造性地應用教材進行教學，提升教材情境教學的精彩點，才能提升課堂教學效率和課堂教學效果，帶動學生學習數(shù)學的情趣.精心選擇適當?shù)慕虒W方法和教學思路，才能加深對數(shù)學問題的理解.

參考文獻

[1]欒云駿.例談創(chuàng)設數(shù)學問題情境的路徑[J] .中學數(shù)學，2024（02）：32-33．

[2]吳茹，李恒宇. 基于深度學習的微專題教學研究[J] .中學數(shù)學月刊，2024（05）：22-24．

[3]劉靜雅. 基于5E教學模式的數(shù)學教學探究[J] .理科考試研究，2024（05）：26-28．

作者簡介

周文國（1971—），男，江蘇張家港人，高級教師，蘇州市名教師；主要研究數(shù)學課程與數(shù)學教學.