基于精細(xì)積分法的輸電線路故障測距研究

摘 要：為了研究精細(xì)積分法在電力線路故障測距中的應(yīng)用效果，本文先介紹了該方法的基本原理，建立了用于描述傳輸線路數(shù)學(xué)模型的電報(bào)方程，再將二者相結(jié)合，形成基于精細(xì)積分法的電報(bào)方程，用于測量線路故障。在效果檢測環(huán)節(jié)，利用MATLAB分別建立單相線路和三相線路的故障模型，將龍格庫塔法作為對照組，運(yùn)用2種測距方法進(jìn)行仿真試驗(yàn)。結(jié)果顯示，基于精細(xì)積分法的故障測距方法在精確性和工作效率方面均優(yōu)于龍格庫塔法，證明其在輸電線路故障測距中具有較好的實(shí)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：精細(xì)積分法；輸電線路；故障測距；仿真分析

中圖分類號：TM 75" " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

在運(yùn)行過程中，受環(huán)境、人員活動(dòng)以及其他各種因素的綜合影響，輸電線路容易出現(xiàn)各類故障，精確測量故障點(diǎn)與端點(diǎn)的距離是快速恢復(fù)供電的基本前提。精細(xì)積分法在故障距離測量工作中具有良好的應(yīng)用潛力，其優(yōu)點(diǎn)為不受故障類型的影響，因此本文研究該測距方法的應(yīng)用原理和效果，并對該方法進(jìn)行推廣。

1 精細(xì)積分法的基本原理

1.1 結(jié)構(gòu)力學(xué)方程的一階轉(zhuǎn)化

中國計(jì)算力學(xué)專家于1995年提出精細(xì)積分法故障測距，在實(shí)際應(yīng)用中，該方法顯示出優(yōu)良的穩(wěn)定性和精度。精細(xì)積分法在電氣工程中的應(yīng)用始于1997年，可用于求解輸電線路上的電氣參量，如電壓、電流。暫態(tài)過程是輸電線路從某個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)所經(jīng)歷的過程，精細(xì)積分法可用于分析該過程的電力數(shù)據(jù)，其實(shí)現(xiàn)原理如下所示。假設(shè)存在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，如公式（1）所示。

M'x\"+G'x'+Kx=r（t） （1）

式中：M'為對稱正定質(zhì)量矩陣；G'為反對稱陀螺力陣和對稱非負(fù)阻尼矩陣之和；K為對稱非負(fù)的結(jié)構(gòu)剛度矩陣；x為待求位移向量；x'為x的一階導(dǎo)數(shù)；x\"為x的二階導(dǎo)數(shù)；r（t）為時(shí)刻t的外力向量。

結(jié)構(gòu)力學(xué)方程為二階方程，而精細(xì)積分法主要用于處理一階方程，因此需要對公式（1）進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將其降為一階方程，轉(zhuǎn)化后的結(jié)果如公式（2）所示。

（2）

式中：X=[x p]T，p=M'x'+G'x/2；，A=-M'-1G'/2，B=G'M'G'-1/4-K，C'=-G'M'-1/2，D為對稱矩陣；F=[0 r]。

1.2 精細(xì)積分算法原理

精細(xì)積分算法將特定的積分區(qū)域劃分為2N份，如果精度仍然不足，可在其基礎(chǔ)上再次進(jìn)行細(xì)分，以獲得更精確的步長。積分區(qū)域劃分結(jié)束后，以泰勒展開的方式完成求解[1]。一階方程分為齊次方程和非齊次方程，相應(yīng)的精細(xì)積分過程存在一定差異。以非齊次方程的精細(xì)積分為例，其計(jì)算過程如下。

齊次方程公式（2）中的F≠0，求解時(shí)認(rèn)為在相鄰時(shí)刻（tk，tk+1）內(nèi)，非齊次方程為線性變化，則公式（2）可改寫為公式（3）。

（3）

式中：r0和r1為給定的向量。

將非齊次方程的解記為φ（t-tk），此時(shí)非齊次方程中的X如公式（4）所示。

X=φ（t-tk）·[Xk+H-1（r0+H-1r1）]-H-1[r0+H-1r1+r1·（t-tk）] （4）

當(dāng)時(shí)間從t轉(zhuǎn)化為tk，則X轉(zhuǎn)化為Xk。進(jìn)行積分計(jì)算時(shí)，要求推導(dǎo)出時(shí)間從tk變?yōu)閠k+1時(shí)的Xk+1[2]。將時(shí)間tk和tk+1的差值記為τ。φ（tk+1-tk）為一個(gè)矩陣，將該矩陣記為T，則有φ（tk+1-tk）=φ（τ）=T，于是可推導(dǎo)出Xk+1如公式（5）所示。

Xk+1=T·[Xk+H-1（r0+H-1r1）]-H-1[r0+H-1r1+r1·τ] （5）

2 輸電線路暫態(tài)過程精細(xì)積分解法

2.1 電報(bào)方程

輸電線路暫態(tài)分析的重點(diǎn)為電壓和電流，構(gòu)建傳輸線的數(shù)學(xué)模型是暫態(tài)分析的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，通常將電報(bào)方程作為傳輸線的數(shù)學(xué)模型。將輸電線路的長度記為l，其波長為λ。當(dāng)l和λ的差異較小時(shí)（l/λgt;0.1），波長λ對輸電線路上的電壓和電流分布會(huì)產(chǎn)生較大影響，電壓、電流的相位和幅值在空間范圍內(nèi)發(fā)生變化。輸電導(dǎo)線本身具有一定的電阻值，電流流經(jīng)線路時(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的能量損耗。同時(shí)，輸電線路上還存在電感、電導(dǎo)和電容等現(xiàn)象。將輸電線路上單位長度的電阻、電感、電容和電導(dǎo)分別記為R、L、C和G，并且這些參數(shù)在線路上保持一致[3]。研究電壓、電流在輸電線路上的時(shí)空變化，選擇輸電線路上的一個(gè)節(jié)段，建立該節(jié)段上的傳輸線分布參數(shù)等效電路，結(jié)果如圖1所示。

Δx為線路節(jié)段的空間長度。當(dāng)Δx趨近于無窮小時(shí)，模型與實(shí)際情況的符合程度越高。i（x，t）表示空間為x、時(shí)間為t時(shí)的電流強(qiáng)度，i（x+Δx，t）是空間為x+Δx、時(shí)間為t時(shí)的電流強(qiáng)度。RΔx為無窮小節(jié)段Δx上的等效電阻值，LΔx為無窮小節(jié)段Δx上的等效電感，CΔx為無窮小節(jié)段Δx上的等效電容，GΔx為無窮小節(jié)段Δx上的等效電導(dǎo)。當(dāng)時(shí)間為t時(shí)，空間x處的電壓值為v（x，t），空間x+Δx處的電壓值為v（x+Δx，t）。v（x，t）和v（x+Δx，t）間的關(guān)系如公式（6）所示。

（6）

式中：?i（x，t）/?t為電流對時(shí)間的微分。

i（x，t）和i（x+Δx，t）的關(guān)系如公式（7）所示。

（7）

式中：為電壓對時(shí)間的微分。

在公式（6）、公式（7）中，將i（x+Δx，t）和v（x+Δx，t）分別移動(dòng)至等式的左邊，并在等式兩邊同時(shí)除以Δx。當(dāng)Δx→0時(shí)，可得到電報(bào)方程，分別如公式（8）、公式（9）所示。

（8）

（9）

公式（8）和公式（9）反映出電壓、電流在空間x上的分布規(guī)律。

2.2 精細(xì)積分法的電報(bào)方程形式

精細(xì)積分法是一種專門用于解決傳輸線上電壓與電流暫態(tài)過程的方法。應(yīng)用此方法時(shí)，需要對電報(bào)方程的空間坐標(biāo)進(jìn)行離散化處理，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)一階常微分方程組。這種離散化處理是通過差分法來實(shí)現(xiàn)的，可使電流和電壓的離散化處理更精確、有效[4]。該方法為解決傳輸線上的電壓和電流問題提供了一個(gè)有效的工具，其計(jì)算過程分別如公式（10）、公式（11）所示。

（10）

（11）

式中：將積分空間進(jìn)行M等分，k=0，1，2，3，...，M；ik（t）為空間k上對應(yīng)的電流幅值，ik（t）=i（k·Δx，t）；vk（t）為空間k上對應(yīng)的電壓幅值，vk（t）=v（k·Δx，t）；vk-1（t）為空間k-1上對應(yīng)的電壓幅值；ik-1（t）為空間k-1上對應(yīng)的電流幅值；Δx=l/M。

3 基于精細(xì)積分法的輸電線路故障測距仿真

3.1 故障測距原理

精細(xì)積分法故障測距通過雙端電氣量進(jìn)行故障問題求解。雙端電氣量根據(jù)輸電線路各端的電壓、電流數(shù)據(jù)，并參考其他電氣運(yùn)行參數(shù)，經(jīng)過適當(dāng)處理后建立測距方程，進(jìn)而求解出發(fā)生故障的位置。這種故障測距方法具有一系列優(yōu)點(diǎn)，包括不受邊界條件、過渡電阻以及故障類型的影響[5]。所謂“雙端”，指的是輸電線路的首端和末端，計(jì)算時(shí)需要提出首、末端的電壓、電流數(shù)據(jù)，并掌握其隨時(shí)間變化的規(guī)律。計(jì)算時(shí)，先在空間上對電流和電壓進(jìn)行差分離散處理，所得結(jié)果分別如公式（12）、公式（13）所示。

（12）

（13）

式中：將時(shí)間t進(jìn)行M等分，k=0，1，2，...，M，則有Δt=t/M；ik（x）是時(shí)間為第k個(gè)Δt、空間為x時(shí)的電流幅值，ik（t）=

i（x，kΔt）；vk（x）是時(shí)間為第k個(gè)Δt、空間為x時(shí)的電壓幅值，vk（t）=v（x，kΔt）；ik-1（x）是時(shí)間為第k-1個(gè)Δt、空間為x處的電流幅值[6]；vk-1（x）是時(shí)間為k-1個(gè)Δt、空間為x處的電壓幅值。

將公式（12）、公式（13）改寫為矩陣形式，可得dX/dx=HX+F，其中X=（v1，v2，...，vM，i1，i2，...，iM）T。

3.2 基于精細(xì)積分法的輸電線路單相故障測距仿真

3.2.1 算例基本參數(shù)設(shè)置

某輸電線路的總長度為l，M和N分別為線路的2個(gè)端點(diǎn)，對應(yīng)的端電壓和端電流分別為vM、vN、iM和iN，D為該線路上的故障點(diǎn)。發(fā)生故障時(shí)，將D點(diǎn)的電壓值記為vMD。利用MATLAB軟件建立仿真模型，將輸電線路兩端的電壓設(shè)置為500kV，其長度l=150km，單位長度電阻為R=0.0193Ω/km，單位長度上的電容C=0.0144μF/km，單位長度上的電感L=0.848mH/km，電導(dǎo)G取值為0。進(jìn)行空間間隔劃分時(shí)，進(jìn)行150等分，則有Δx=1km。

3.2.2 仿真結(jié)果

在仿真分析過程中，為了確保結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性，本文將龍格庫塔法（一種高精度的單步算法）作為精細(xì)積分法的對照組。這種方法在輸電線路故障模型的故障測距中具有廣泛應(yīng)用，并且已經(jīng)得到業(yè)界認(rèn)可。

為了全面探討故障測距的精度和效果，本文將接地電阻設(shè)置為3個(gè)級別，分別為5Ω、10Ω和15Ω。這3種電阻值代表不同的土壤電阻率，可以模擬不同環(huán)境下的輸電線路故障情況。同時(shí)將故障點(diǎn)分別設(shè)置為10km、50km、100km和130km共4個(gè)距離，以覆蓋各種可能的線路長度和故障發(fā)生位置。

精細(xì)積分法和龍格庫塔法故障測距結(jié)果比較見表1。從數(shù)據(jù)可知，此次單相線路故障測距共計(jì)12組模擬試驗(yàn)，比較測距誤差，精細(xì)積分法在9組仿真試驗(yàn)中精度更高，僅在3組試驗(yàn)中略低于龍格庫塔法，說明精細(xì)積分法具有優(yōu)異的測距精度。

3.3 基于精細(xì)積分法的傳輸線路三相故障測距

3.3.1 算例基本參數(shù)設(shè)置

在三相傳輸線路中，A相和B相線路完全相同，C相線路與另外2相存在差異。單位長度線路的基本參數(shù)見表2。線路總長度為150km，對線路進(jìn)行150等分，單位長度Δx=1km，接地電阻設(shè)置為5Ω、10Ω和15Ω，故障點(diǎn)設(shè)置在10km、15km、100km和130km處，仿真過程的采樣頻率設(shè)置為10kHz。

3.3.2 仿真結(jié)果分析

在三相傳輸線路故障測距模擬中，故障類型分為單相接地短路、兩相接地短路、三相接地短路3種情況，ABC三相線路接地短路故障測距結(jié)果見表3。比較2種故障測距方法的誤差，在12組仿真試驗(yàn)中，精細(xì)積分法在8組試驗(yàn)中誤差更低，在4組試驗(yàn)中低于龍格庫塔法。比較2種方法的故障測距時(shí)間，精細(xì)積分法在12組仿真試驗(yàn)中均占據(jù)優(yōu)勢，說明該方法的測距耗時(shí)全面低于龍格庫塔法，因此效率更高。

4 結(jié)語

本文對精細(xì)積分法的原理進(jìn)行了全面、深入的分析，并緊密結(jié)合傳輸線路的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建了基于精細(xì)微分法的電報(bào)方程。該方法可用于精確測量輸電線路上的故障距離，為電力系統(tǒng)的故障排查和修復(fù)提供了有力支持。在MATLAB仿真試驗(yàn)中，本文將龍格庫塔法作為精細(xì)積分法的對照組，客觀評估了2種方法的性能。在仿真環(huán)境中，針對相同的故障線路，分別運(yùn)用這2種方法進(jìn)行檢測。

試驗(yàn)結(jié)果顯示，精細(xì)積分法在測量精度和測量速度方面均具有優(yōu)越性能，明顯優(yōu)于廣泛使用的龍格庫塔法。具體來說，精細(xì)積分法能夠更準(zhǔn)確地定位故障點(diǎn)，并在更短的時(shí)間內(nèi)完成測量，可顯著提升實(shí)際操作中的效率并縮小誤差。精細(xì)積分法的出色表現(xiàn)，得益于其獨(dú)特的算法設(shè)計(jì)和理論依據(jù)。該方法采用離散化的處理方式，將連續(xù)的微分方程轉(zhuǎn)化為離散的差分方程，從而在保證精度的前提下，提高了計(jì)算效率。此外，精細(xì)積分法還具有適用范圍廣、穩(wěn)定性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，因此該方法具有較好的實(shí)用價(jià)值和應(yīng)用前景。

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