摘 要：針對(duì)傳統(tǒng)圖像去霧方法去霧效果有限、存在光暈效應(yīng)、色彩失真等不足，文章提出一種結(jié)合Al-Alaoui算子的改進(jìn)暗通道先驗(yàn)去霧算法。算法首先用Al-Alaoui算子對(duì)圖像做卷積濾波增強(qiáng)處理，再用改進(jìn)的四叉樹搜索方法求大氣光估值，同時(shí)使用引導(dǎo)濾波細(xì)化介質(zhì)透射率。最后，使用優(yōu)化的大氣光值和透射率對(duì)已增強(qiáng)圖像復(fù)原。經(jīng)過(guò)對(duì)比分析，新算法在主客觀方面都有明顯提升。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階；Al-Alaoui算子；四叉樹；暗通道；圖像去霧

中圖分類號(hào)：TP391.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2024）08-0151-05

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.08.033

0 引 言

在計(jì)算機(jī)視覺(jué)技術(shù)、傳感器技術(shù)日新月異的時(shí)代背景下，數(shù)字圖像處理廣泛用于智能交通、視頻監(jiān)控、軍事偵察、圖像判讀、導(dǎo)航定位等領(lǐng)域。而在霧霾天氣下，空氣中懸浮的大量微粒（如水氣、塵埃等）會(huì)散射、吸收光線，衰減目標(biāo)物體的反射光，致使光學(xué)設(shè)備采集到的圖像呈現(xiàn)顏色衰減、對(duì)比度下降、細(xì)節(jié)模糊不清晰等現(xiàn)象。低質(zhì)、失真的霧圖對(duì)上述應(yīng)用帶來(lái)諸多不利影響。因此，研究快速有效的去霧算法，提高圖像質(zhì)量具有重要意義和應(yīng)用價(jià)值。

圖像去霧的研究最早可追溯到20世紀(jì)50年代，美國(guó)學(xué)者針對(duì)地球資源衛(wèi)星圖像云霧退化問(wèn)題所展開的工作。八十多年來(lái)，伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者在圖像去霧上的研究取得了許多突破性的進(jìn)展。根據(jù)去霧原理的不同，大致分為基于圖像增強(qiáng)的去霧算法、基于物理模型的去霧算法和基于深度學(xué)習(xí)的去霧算法三大類[1，2]。其中，基于單幅圖像增強(qiáng)的算法主要有直方圖均衡化[3]、Retinex理論算法[4，5]、同態(tài)濾波、小波[6]和曲波變換等。該類方法不考慮圖像降質(zhì)的原因，只是按照特定需要突出圖像中的某些信息，同時(shí)削減或去除某些不需要處理的信息。基于物理模型的去霧方法常以大氣散射模型為基礎(chǔ)，從圖像退化本質(zhì)進(jìn)行研究，估算模型參數(shù)，逆向復(fù)原出無(wú)霧圖像。最具代表性的是何凱明提出的暗通道先驗(yàn)去霧方法[7]?；谏疃葘W(xué)習(xí)的去霧方法[8]則主要是利用CNN強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力，尋找有霧圖像與圖像復(fù)原物理模型中某些系數(shù)的映射關(guān)系，或者使用GAN，根據(jù)有霧圖像還原出無(wú)霧的清晰圖像。

近年來(lái)，隨著分?jǐn)?shù)階微積分在圖像處理中的廣泛應(yīng)用[9，10]，學(xué)者們通過(guò)合理運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微分弱導(dǎo)性（在提高圖像信號(hào)高頻成分的同時(shí)非線性地保留信號(hào)的低頻成分），將其應(yīng)用到圖像去霧中，也取得了顯著的效果。本文基于大氣散射模型，提出一種結(jié)合Al-Alaoui算子的改進(jìn)暗通道先驗(yàn)去霧算法，從主客觀評(píng)價(jià)去霧效果，都有很大提高。

1 分?jǐn)?shù)階掩膜及Al-Alaoui算子的引入

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分的定義與掩膜構(gòu)造

分?jǐn)?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的衍生和連續(xù)內(nèi)插。主要有Grümwald-Letnikov（G-L）、Riemann-Liouville（R-L）和Caputo定義。其中G-L定義在數(shù)值實(shí)現(xiàn)時(shí)可以轉(zhuǎn)換為卷積運(yùn)算形式，適合應(yīng)用在信號(hào)處理中，R-L定義常應(yīng)用于計(jì)算一些較為簡(jiǎn)單函數(shù)的解析解，Caputo定義適合應(yīng)用于工程領(lǐng)域[11]。

分?jǐn)?shù)階微積分G-L定義是通過(guò)將整數(shù)階微積分的差分近似以遞推形式求極限推衍而來(lái)。表達(dá)式為：

（1）

式（1）中，D表示分?jǐn)?shù)階微分，GL表示G-L定義，分?jǐn)?shù)階次用α表示，Γ（α）為Gamma函數(shù)。

對(duì)取值范圍x ∈ [a，b]的函數(shù)進(jìn)行離散化表示，將取值區(qū)間單位間隔等分h = 1，n = [x-a]，可推導(dǎo)出數(shù)字濾波器的差分形式：

（2）

根據(jù)式（2）寫出對(duì)應(yīng)的差分系數(shù)：

（3）

假設(shè)二維圖像信號(hào)對(duì)于X軸和Y軸方向的分?jǐn)?shù)階微積分在一定條件下是可分離的，為實(shí)現(xiàn)抗旋轉(zhuǎn)性和縮放不變性，設(shè)計(jì)構(gòu)造出如圖1所示的分?jǐn)?shù)階微積分掩膜算子?？紤]到離中心像素越遠(yuǎn)的點(diǎn)與其相關(guān)性越小，若n取值過(guò)大，計(jì)算將變得復(fù)雜，增加計(jì)算時(shí)間，故n的值一般不大于3。

1.2 Al-Alaoui算子

Al-Alaoui算子是根據(jù)矩形算子1-z-1和梯形算子2 （1-z-1） / （1+z-1）在高頻處頻域特征互補(bǔ)特性而提出[12]，將這2種算子按照3：1比例結(jié)合，表達(dá)式為：

（4）

對(duì)比矩形算子和梯形算子，Al-Alaoui算子在高頻處具有更好的頻域特性，代入z = ejω，Al-Alaoui算子的分?jǐn)?shù)階濾波函數(shù)為：

（5）

為實(shí)現(xiàn)基于Al-Alaoui算子的分?jǐn)?shù)階FIR數(shù)字微積分濾波器的設(shè)計(jì)，將" 因式分解，再利用因式與一階魯比希加權(quán)系數(shù)" 生成函數(shù)的關(guān)系可展開為：

（6）

式（6）中， 表示1階逼近的魯比希加權(quán)系數(shù)，等價(jià)于 ，G-L加權(quán)系數(shù)，

（7）

通過(guò)時(shí)域卷積頻域相乘的性質(zhì)，利用矩形窗函數(shù)將上述濾波器傳遞函數(shù)截?cái)酁橛邢揄?xiàng)，得 [13]。

（8）

式（8）中" 表示Al-Alaoui算子的分?jǐn)?shù)階FIR數(shù)字微積分濾波器" 截?cái)嗪蟮南禂?shù)，取截?cái)嘞禂?shù)的前三項(xiàng)，代入圖1中的掩膜，構(gòu)造5×5的Al-Alaoui算子掩膜如圖2所示，取分?jǐn)?shù)階次α = 0.5，與霧圖做卷積濾波處理，增強(qiáng)圖像的紋理細(xì)節(jié)，平滑圖像低頻部分。

2 暗通道先驗(yàn)理論

基于圖像增強(qiáng)的去霧方法因未考慮圖像退化降質(zhì)原因，而是直接最大限度地從每個(gè)通道提取信息，來(lái)提高圖像信息的利用率，這樣容易造成顏色、紋理等信息的損失，引起圖像失真，去霧效果一般。相比之下，基于物理模型的去霧算法具有更穩(wěn)定高效的性能。該類算法將大氣散射模型描述為：

（9）

式（9）中，I （x，y）表示設(shè)備采集到的含霧圖像，J （x，y）表示對(duì)應(yīng)場(chǎng)景的無(wú)霧圖像，A表示大氣光照強(qiáng)度，t （x，y）表示介質(zhì)透射率，假設(shè)大氣光均勻同質(zhì)，t （x，y）=e-λd （x，y），λ表示大氣散射系數(shù)，d （x，y）表示場(chǎng)景深度。

式（9）右邊第一項(xiàng)為直接衰減項(xiàng)，描述了場(chǎng)景目標(biāo)反射光在介質(zhì)中的衰減；第二項(xiàng)為大氣光幕，反映了全局大氣光的散射導(dǎo)致圖像景物顏色的偏移。該模型是一個(gè)欠約束病態(tài)求解問(wèn)題，研究者們相繼提出了對(duì)應(yīng)策略。其中，最具影響力的是何凱明（He）等提出的暗通道先驗(yàn)（Dark Channel Prior，DCP）去霧算法。

He等通過(guò)對(duì)大量無(wú)霧圖像統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，無(wú)霧圖像中絕大部分非天空區(qū)域總能找到亮度值很低或亮度值接近于零的像素點(diǎn)。即無(wú)霧圖像中的暗通道可以表示為：

（10）

式（10）中，J c表示J的一個(gè)確定的RGB顏色通道，Jdark （x，y）表示暗通道圖像。Ω表示以像素點(diǎn)x為中心的方形局部區(qū)域。

He等挑選暗通道最亮的0.1%像素作為霧最濃的像素點(diǎn)，并將原圖I中對(duì)應(yīng)像素中亮度最大的像素均值作為大氣光的估計(jì)值A(chǔ)。

由大氣光在局部區(qū)域內(nèi)均勻同質(zhì)的假設(shè)可知，t （x，y）在Ω （x，y）內(nèi)為常數(shù)，對(duì)式（9）變形并對(duì)等式兩邊求最小值，再代入式（10）可得：

（11）

此時(shí)，已知大氣光照強(qiáng)度值A(chǔ)和介質(zhì)透射率t （x，y），由式（9）可求得去霧圖像J （x，y）。

（12）

t0表示一個(gè)透射率的下限閾值，為了避免去霧圖像J （x，y）的值偏大導(dǎo)致圖像過(guò)曝。取t0 = 0.1。

此后，He等用軟摳圖方法（soft matting）對(duì)透射率分布進(jìn)行優(yōu)化，又引入引導(dǎo)濾波對(duì)原始圖像進(jìn)行保邊平滑。然而，此方法不適用于有大面積天空區(qū)域或白色場(chǎng)景的圖像，且去霧后容易產(chǎn)生光暈效應(yīng)或嚴(yán)重的色彩失真。

3 本文算法

對(duì)于以大氣散射模型為基礎(chǔ)的去霧算法，其核心是合理地預(yù)估出待去霧圖像大氣光以及透射率的值，實(shí)現(xiàn)有霧圖像的去霧化。本文在DPC算法的基礎(chǔ)上，對(duì)大氣光值和透射率進(jìn)行優(yōu)化。

3.1 大氣光估計(jì)

先將經(jīng)Al-Alaoui算子預(yù)處理的圖像二次濾波，求得暗通道圖。然后根據(jù)四叉樹[14]分解方法，將暗通道圖平均分成四大塊，分別計(jì)算每塊均值減去標(biāo)準(zhǔn)差的得分，再將得分最高的塊做迭代處理，繼續(xù)分塊并計(jì)算得分，重復(fù)該操作直到選取的區(qū)域小于預(yù)定義的范圍時(shí)終止。在最終區(qū)域?qū)?yīng)的像素中，選取一個(gè)與（255，255，255）最小距離的像素，將該像素坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的暗通道值作為大氣光估計(jì)值。

3.2 介質(zhì)透射率優(yōu)化

引導(dǎo)濾波的假設(shè)前提是引導(dǎo)濾波與輸出圖像之間存在局部線性關(guān)系：

（13）

式（13）中，Ji表示濾波輸出圖像，Ii表示引導(dǎo)圖像，ωk表示以像素k為中心的方形窗口，ak和bk表示兩個(gè)在窗口ωk下的線性系數(shù)，可通過(guò)線性回歸求解代價(jià)函數(shù)得到。

考慮到每個(gè)窗口對(duì)應(yīng)的ak和bk不同，因此對(duì)所有所有包含像素點(diǎn)i的窗口ωk鄰域的輸出結(jié)果計(jì)算均值，得到優(yōu)化的引導(dǎo)濾波的計(jì)算式為：

（14）

3.3 算法流程圖

本文算法流程圖如圖3所示。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文實(shí)驗(yàn)均在MATLAB平臺(tái)上進(jìn)行，MATLAB版本為R2022b，PC處理器為2.50 GHz Intel（R）Core（TM）i5-12500H，操作系統(tǒng)為Windows 11家庭中文版。

4.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖

文章選取了4種場(chǎng)景的含霧圖像，其中1）天空區(qū)域較大；2）霧濃，包含事物特征多，紋理豐富；

3）含霧濃度較低，色調(diào)單一偏紅；4）多為遠(yuǎn)景，偏暗。分別使用傳統(tǒng)DPC算法[15]、多尺度Retinex算法（Msrcr算法）[16]、Kim算法[17，18]和本文算法對(duì)圖像做去霧處理，實(shí)驗(yàn)效果如圖4所示。

4.2 實(shí)驗(yàn)分析

主觀上看，本文算法相比傳統(tǒng)DPC算法去霧效果更明顯，紋理更突出；比Msrcr算法顏色保真度好，基本與原圖保持一致；另外，因采用了合適的分?jǐn)?shù)階算子對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)濾波，去霧圖像比Kim算法的去霧圖塊效應(yīng)減少，過(guò)度曝光明顯降低?？陀^上，采用圖像平均梯度（Mean Gradient，MG）、峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）和基于可見(jiàn)邊對(duì)比度三個(gè)方面指標(biāo)對(duì)復(fù)原圖像進(jìn)行評(píng)價(jià)[19，20]。

其中平均梯度MG即圖像的清晰度，反映圖像對(duì)細(xì)節(jié)對(duì)比的表達(dá)能力。MG越大，說(shuō)明清晰度越高。

峰值信噪比PSNR描述的是最大像素值與噪聲的比值。PSNR越大，表示圖像去霧效果越好。

（16）

式（15）（16）中，M和N分別表示圖像的寬度和高度；f （x，y）表示像素點(diǎn)（x，y）處的灰度值。

基于可見(jiàn)邊對(duì)比度主要評(píng)價(jià)去霧前后每個(gè)圖像細(xì)節(jié)對(duì)比度增強(qiáng)的情況，有三個(gè)指標(biāo)：新增可見(jiàn)邊比e、飽和黑色和白色像素點(diǎn)的百分比σ和可見(jiàn)邊的規(guī)范化梯度均值 。表達(dá)式如下：

（17）

式（17）中，n0和nr表示去霧前、后圖像的可見(jiàn)邊數(shù)量；Ψr表示去霧圖像可見(jiàn)邊的集合；Pi表示可見(jiàn)邊上的像素點(diǎn)；ri表示Pi處的Sobel梯度與原圖像在此處的Sobel梯度的比值；ns表示飽和黑色和白色像素點(diǎn)的數(shù)目；dimx和dimy分別表示圖像的寬和高。當(dāng)e和" 越大而σ越小時(shí)，表示恢復(fù)圖像的質(zhì)量越好[21]。

對(duì)比表1中的數(shù)據(jù)可以得出，本文算法在MG、PSNR和基于可見(jiàn)邊對(duì)比度三個(gè)方面的指標(biāo)都較好，多項(xiàng)數(shù)據(jù)優(yōu)于其他算法，少量數(shù)據(jù)略低，但差距也很小。

總的來(lái)說(shuō)，本文算法在主客觀上都能達(dá)到令人滿意的去霧效果，能有效彌補(bǔ)經(jīng)典去霧算法存在的不足，且適用于多種場(chǎng)景，不同濃度的霧圖復(fù)原。

5 結(jié) 論

文章從傳統(tǒng)圖像去霧方法存在的不足出發(fā)，思考改進(jìn)提高的算法。先用分?jǐn)?shù)階Al-Alaoui算子對(duì)圖像做卷積濾波增強(qiáng)處理，再使用優(yōu)化的大氣光值和透射率對(duì)圖像去霧處理。經(jīng)過(guò)與多種經(jīng)典算法對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和測(cè)試數(shù)據(jù)證實(shí)了本文算法的有效性和可行性。下步還可以探索使用不同階次、不同分?jǐn)?shù)階算子，在不同時(shí)機(jī)、不同域?qū)D像做去霧研究，爭(zhēng)取理論和實(shí)踐的雙突破。

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作者簡(jiǎn)介：張偉（1990—），男，漢族，四川岳池人，碩士研究生，主要研究方向：分?jǐn)?shù)微積分應(yīng)用、圖像去霧處理；李琪（1997—），女，漢族，四川簡(jiǎn)陽(yáng)人，碩士在讀，主要研究方向：信號(hào)與信息處理；袁曉（1964—），男，漢族，四川中江人，副教授，博士，主要研究方向：現(xiàn)代信息信號(hào)處理、分?jǐn)?shù)微積分理論與應(yīng)用、現(xiàn)代電路與系統(tǒng)理論與技術(shù)。

收稿日期：2023-09-14

A Image Dehazing Algorithm Combined with Al-Alaoui Operator and Improved

Dark Channel

ZHANG Wei， LI Qi， YUAN Xiao

（College of Electronics and Information Engineering， Sichuan University， Chengdu 610064， China）

Abstract： Aiming at the problems of limited effect， halo effect and color distortion in traditional image dehazing methods， a priori dehazing algorithm combined with Al-Alaoui operator and improved dark channel is proposed in this paper. Firstly， Al-Alaoui operator is used to enhance the image by convolution filtering， then the improved quadtree search method is used to estimate the atmospheric light， and the guided filter is used to refine the medium transmittance. Finally， the enhanced image is restored using the optimized atmospheric light value and transmittance. After comparative analysis， the new algorithm has obvious improvement in both subjective and objective aspects.

Keywords： fractional order; Al-Alaoui operator; quadtree; dark channel; image dehazing