發(fā)展模型觀念 提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

方程是代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是初中階段最重要、最基本的數(shù)學(xué)概念之一．簡(jiǎn)而言之．方程是含有未知數(shù)的等式，它既是連接數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的有效途徑，也是發(fā)展代數(shù)思維的重要工具，人類對(duì)于方程的研究推動(dòng)了整個(gè)代數(shù)學(xué)的發(fā)展．

一元一次方程是最簡(jiǎn)單的代數(shù)方程，是繼有理數(shù)和代數(shù)式之后“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要內(nèi)容，也是所有代數(shù)方程的基礎(chǔ)．

在學(xué)習(xí)“一元一次方程”的過程中，我們不僅要經(jīng)歷“將實(shí)際問題抽象為方程”的數(shù)學(xué)化過程，感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中等量關(guān)系的有效模型，還要根據(jù)具體情境理解方程及其相關(guān)概念，進(jìn)一步感悟方程的核心——模型思想和化歸方法，發(fā)展模型觀念，在解決現(xiàn)實(shí)問題中不斷提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，下面是其中記載的關(guān)于“盈不足”的問題：

隔墻聽得客分銀，不知人數(shù)不知銀，七兩分之多四兩，九兩分之少半斤．人數(shù)銀兩各幾何？

其大意為：有一群人分銀子，若每人分7兩，則剩余4兩；若每人分9兩，則還差8兩．有多少人分銀子？所分的銀子共有多少兩？（注：舊時(shí)1斤等于16兩）

這是一個(gè)以財(cái)產(chǎn)分配為背景的實(shí)際生活問題，雖然涉及兩種不同的分配方案，但銀子總數(shù)是相同的，解決問題的關(guān)鍵在于先準(zhǔn)確找出題中的等量關(guān)系，再建立一元一次方程．

第一步，抽象階段，分析問題，發(fā)現(xiàn)問題中涉及的已知量、未知量以及量與量之間的關(guān)系，用自然語言表達(dá)，將現(xiàn)實(shí)問題抽象為數(shù)學(xué)問題．

問題情境中的等量關(guān)系為：

每人分7兩銀子時(shí)，銀子總數(shù)量還剩4兩；每人分9兩銀子時(shí)，銀子總數(shù)量還差8兩．

用自然語言表達(dá)等量關(guān)系如下：

7兩銀子與人數(shù)之積，再加4兩銀子，是銀子總數(shù)量；9兩銀子與人數(shù)之積再減8兩銀子，是銀子總數(shù)量．

第二步，表達(dá)階段，探尋普適規(guī)律，提煉共同要素，根據(jù)已知條件，選取恰當(dāng)?shù)姆?hào)語言表達(dá)等量關(guān)系．

用人表示人數(shù)，用銀表示銀子總數(shù)量，用符號(hào)語言表達(dá)等量關(guān)系如下：

7×人+4=銀，9×人-8=銀．

第三步，建模階段．建立模型，用含有未知數(shù)的等式表達(dá)等量關(guān)系，形成刻畫等量關(guān)系的方程．

設(shè)總?cè)藬?shù)為x，每人分7兩銀子時(shí)，剩余4兩，銀子總數(shù)量可表示為（7x+4）兩；每人分9兩銀子時(shí)，還差8兩，銀子總數(shù)量可表示為（9x-8）兩．于是可得7x+4=9x-8.

第四步，解方程階段．解方程就是一項(xiàng)尋找未知數(shù)的值的任務(wù)，其核心方法是運(yùn)用“化繁為簡(jiǎn)，化生為熟”的化歸策略．

對(duì)于7x+4=9x-8，移項(xiàng)，得7x-9x=-8-4，合并同類項(xiàng)，得-2x=-12，系數(shù)化為1，得x=6.

則銀子總數(shù)量為7x+4=42+4=46（兩）．

故有6人分銀子，所分的銀子共有46兩．

對(duì)初中數(shù)學(xué)來說，方程學(xué)習(xí)的核心，一方面在于建模，另一方面在于解方程．通過上面的實(shí)例，我們感悟到了方程模型“三個(gè)階段兩次抽象”的建構(gòu)過程：第一次抽象是“將現(xiàn)實(shí)問題抽象為數(shù)學(xué)問題”，即從“發(fā)現(xiàn)問題情境中的等量關(guān)系”到“用自然語言表達(dá)等量關(guān)系”：第二次抽象是“將數(shù)學(xué)問題抽象為數(shù)學(xué)表達(dá)”，即從“用自然語言表達(dá)等量關(guān)系”到“用含有未知數(shù)的等式表達(dá)等量關(guān)系”，進(jìn)而形成一元一次方程．

數(shù)學(xué)源于生活實(shí)踐，又廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活，在一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用中，要注重相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用，這是解題的關(guān)鍵．

例 《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中“均輸”章記載了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：

今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海，今鳧雁俱起，問何日相逢．

其大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海，現(xiàn)野鴨從南海，大雁從北海同時(shí)起飛（兩者的飛行路線相同），問經(jīng)過多少天相遇．

解析：8由題意知，鳧1日飛整段路程的1／7，雁1日飛整段路程的1／9，設(shè)經(jīng)過x天相遇，根據(jù)題意可得：

（1／7+1／9）x＝1．

去括號(hào)，得1／7x+1／9x＝1，

移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得16／53x=1．

系數(shù)化為1，得x=63／16．

答：經(jīng)過63／16天相遇，

試一試

（2024年宜賓）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之，”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬．則快馬追上慢馬的天數(shù)是（ ）．

A.5 B．10

C．15 D.20

參考答案：D