摘要： 針對不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)中的最優(yōu)尺度組合和IF-THEN知識獲取問題，首先，提出了集值優(yōu)勢矩陣的概念，給出了其判斷序決策信息系統(tǒng)是否協(xié)調(diào)的條件。然后，在不協(xié)調(diào)的廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)中，引入基于優(yōu)勢關(guān)系的廣義決策概念，同時通過定義區(qū)間值優(yōu)勢關(guān)系的方法，構(gòu)造了新的協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，并設(shè)計了通過集值優(yōu)勢矩陣求最優(yōu)尺度組合的算法，挖掘了隱藏在不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)中的決策規(guī)則。最后，通過實驗驗證了所提廣義決策最優(yōu)尺度組合的有效性。

關(guān)鍵詞： 廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)； 集值優(yōu)勢矩陣； 廣義決策； 屬性約簡； 決策規(guī)則

中圖分類號： TP18

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1671-6841（2025）02-0051-10

DOI： 10.13705/j.issn.1671-6841.2023139

Knowledge Acquisition of Inconsistent Generalized Multi-scale Ordered

Decision Information Systems

HUANG Biao， HAN Banghe

（School of Mathematics and Statistics， Xidian University， Xi′an 710126， China）

Abstract： Aiming at the problem of optimal scale combination and IF-THEN knowledge acquisition in inconsistent generalized multi-scale ordered decision information systems， the concept of set-valued dominance matrix was firstly proposed， and the conditions for judging whether an ordered decision information system was consistent were given. Then， in the inconsistent generalized multi-scale ordered decision information system， the concept of generalized decision based on dominance relation was introduced. At the same time， a new consistent generalized multi-scale ordered decision information system was constructed by defining the interval-valued dominance relation， and an algorithm for finding the optimal scale combination through the set-valued dominance matrix was designed. The decision rules hidden in the inconsistent generalized multi-scale ordered decision information system were mined. Finally， the effectiveness of the proposed optimal scale combination of generalized decision was verified by experiments.

Key words： generalized multi-scale ordered decision information systems; set-valued dominance matrix; generalized decision; attribute reduction; decision rules

0 引言

粗糙集理論最初由Pawlak^［1］提出，它以各種信息系統(tǒng)、決策信息系統(tǒng)為研究對象，通過定義論域上的等價關(guān)系，把不可區(qū)分的對象組合在一起構(gòu)成論域的劃分，并通過屬性約簡^［2-3］來挖掘信息系統(tǒng)里的最簡決策規(guī)則，達(dá)到知識發(fā)現(xiàn)的目的。隨著粗糙集理論的不斷發(fā)展，經(jīng)典粗糙集理論的缺點日益明顯，考慮經(jīng)典粗糙集理論信息系統(tǒng)中的屬性值都是符號數(shù)據(jù)的問題，以及日常生活很多數(shù)據(jù)都是有序的，如考試成績、價格波動等，Greco等^［4］提出了一個基于優(yōu)勢關(guān)系的粗糙集模型，即優(yōu)勢粗糙集。該模型的研究對象為有序數(shù)據(jù)，如序信息系統(tǒng)、區(qū)間值序信息系統(tǒng)、直覺模糊值序信息系統(tǒng)等，它用優(yōu)勢關(guān)系代替經(jīng)典粗糙集中的等價關(guān)系，構(gòu)造近似空間達(dá)到知識發(fā)現(xiàn)的目的。

另外，傳統(tǒng)粗糙集模型的研究對象為信息系統(tǒng)，它的每個對象、每個屬性只能取唯一的值，稱之為單尺度信息系統(tǒng)。然而，在實際的生活中，人們處理的數(shù)據(jù)可能是多層次、多尺度的。為此，Wu等提出了多尺度決策信息系統(tǒng)的概念，簡稱Wu-Leung^［5］模型，并研究了協(xié)調(diào)和不協(xié)調(diào)多尺度決策信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合^［6-10］、知識獲取^［11］的問題。接著，Li等在Wu-Leung模型的基礎(chǔ)上提出了廣義多尺度決策信息系統(tǒng)^［12］的概念，并給出了互補(bǔ)模型、格模型的算法求最優(yōu)尺度組合和知識獲取。隨后，Huang等^［13］、Wu等^［14］分別研究了在協(xié)調(diào)和不協(xié)調(diào)的情況下，決策屬性也具有多尺度的廣義多尺度決策信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度選擇問題，尤其在不協(xié)調(diào)中引入廣義決策函數(shù)的方法值得稱贊。

上述針對廣義多尺度決策信息系統(tǒng)的研究主要基于等價關(guān)系^［5-14］的，而基于優(yōu)勢關(guān)系^［15-16］來研究廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合很少。盡管張嘉茹等^［15］和楊燁等^［16］分別研究了決策屬性為多尺度的協(xié)調(diào)、不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度選擇問題和知識獲取問題，但文獻(xiàn)［16］所提出的廣義決策未像文獻(xiàn)［14］一樣給出構(gòu)造新的協(xié)調(diào)廣義多尺度決策信息系統(tǒng)的方法，它重新定義了協(xié)調(diào)和最優(yōu)尺度選擇，不是傳統(tǒng)最優(yōu)尺度選擇定義的延續(xù)。另外，所定義的廣義決策最優(yōu)尺度很大概率會是最細(xì)尺度，從代價來看未必是最優(yōu)的。這些是當(dāng)前基于優(yōu)勢關(guān)系的不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)研究的不足。

為了彌補(bǔ)上述不足，本文在文獻(xiàn)［13-18］和傳統(tǒng)協(xié)調(diào)和最優(yōu)尺度定義基礎(chǔ)上，引入更加有效的廣義決策并消除不協(xié)調(diào)性，構(gòu)造協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，并借助集值優(yōu)勢矩陣來討論研究不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合、屬性約簡和知識獲取問題。最后，通過實驗驗證了所提廣義決策最優(yōu)尺度組合的有效性。

1 基礎(chǔ)知識

定義1^［19］ 信息系統(tǒng)是一個二元組（U，A），其中U={x1，x2，…，xn}是一個非空有限對象集，A={a1，a2，…，am}是一個非空有限屬性集，a∈A，亦表示映射a：U→Va，Va為屬性a的取值域。

定義2^［15］ 設(shè)L為非空集合，≤為L上的二元關(guān)系，若下面條件1）～4）成立，稱二元組（L，≤）為一個全序集。

1） 自反性：x∈L，x≤x；

2） 反對稱性：x，y∈L，x≤y，y≤xx=y；

3） 傳遞性：x，y，z∈L，x≤y，y≤zx≤z；

4） ≤是線性序：x，y∈L，x≤y或y≤x。

如果一個信息系統(tǒng)（U，A）屬性a的取值域Va是全序集（對不同a，在沒有歧義的情況下，本文均用≤或者≥表示對應(yīng)的線性序，且假設(shè)屬性值域均為實數(shù)），那么這個屬性就稱為一個準(zhǔn)則。如果信息系統(tǒng)（U，A）的所有屬性都是準(zhǔn)則，則該信息系統(tǒng)（U，A）稱為一個序信息系統(tǒng)。若決策屬性dA也是一個準(zhǔn)則，稱（U，A∪j5i0abt0b）是一個序決策信息系統(tǒng)。

對于一個序決策信息系統(tǒng)（U，A∪j5i0abt0b），（U，A∪j5i0abt0b）中的廣義決策^［17-18］為

δA（x）=［lA（x），uA（x）］，

其中：

lA（x）=min{d（y）：yR≥Ax，y∈U}，

uA（x）=max{d（y）：xR≥Ay，y∈U}。

廣義決策反映了關(guān)于準(zhǔn)則集A對象x根據(jù)優(yōu)勢原則可能屬于決策類的區(qū)間，常用于不協(xié)調(diào)序決策信息系統(tǒng)中的分類和約簡^［17-18］。uA（x）和lA（x）為該區(qū)間的上、下界。若x∈U，lA（x）=uA（x）均成立，則稱序決策信息系統(tǒng)是協(xié)調(diào)的；否則，稱為不協(xié)調(diào)的。

2 廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)

2.1 集值優(yōu)勢矩陣

定義3 設(shè)（U，A∪j5i0abt0b）是一個序決策信息系統(tǒng)，U={x1，x2，…，xn}，記

Dij={aa（xi）≥a（xj），a∈A∪j5i0abt0b}，i，j=1，2，…，n，

則稱Dij為xi支配xj的集值優(yōu)勢集，即Dij刻畫了xi不比xj差的準(zhǔn)則集合，稱D=（Dij）n×n為（U，A∪j5i0abt0b）的集值優(yōu)勢矩陣。

命題1 設(shè)（U，C）=（U，A∪j5i0abt0b）是一個序決策信息系統(tǒng)，如果i，j=1，2，…，n，使得{a1，a2，…，am}Dij，dDij成立，則稱（U，A∪j5i0abt0b）是不協(xié)調(diào)的；否則，稱（U，A∪j5i0abt0b）是協(xié)調(diào)的。

2.2 廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)

在現(xiàn)實生活中，很多屬性值數(shù)據(jù)都是有序的，所以基于優(yōu)勢關(guān)系研究廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度是非常有意義的。下面介紹廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)的定義和相關(guān)性質(zhì)。

定義4^［15］ 對于全序集（L1，≤1）和（L2，≤2），若映射g：（L1，≤1）→（L2，≤2），x，y∈L1，有

x≤1yg（x）≤2g（y），

則稱映射g為保序的。

定義5 廣義多尺度序信息系統(tǒng)是一個二元組S=（U，C），其中：U={x1，x2，…，xn}是一個非空有限的對象集;C={a1，a2，…，am}是一個非空有限的屬性集。若屬性aj有Ij個等級尺度，則一個廣義多尺度序信息系統(tǒng)可以表示為S=（U，{akjk=1，2，…，Ij，j=1，2，…，m}），其中：akj：U→Vkj是一個滿射函數(shù)；Vkj是屬性aj在第k個尺度下的值域；≤kj是Vkj上的線性序，即（Vkj，≤kj）是一個全序集。對j=1，2，…，m，1≤k≤Ij-1，存在一個保序的滿射函數(shù)

g^k，k+1j：（Vkj，≤kj）→（V^k+1j，≤^k+1j），

使得a^k+1j=g^k，k+1jakj，即

a^k+1j（x）=g^k，k+1j（akj（x））， x∈U，

g^k，k+1j稱為序信息粒度轉(zhuǎn)換函數(shù)。

另外，稱S=（U，C∪j5i0abt0b）是廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，其中（U，C）是一個廣義多尺度序信息系統(tǒng)，

d{akjk=1，2，…，Ij，j=1，2，…，m}，d：U→Vd，

是一個決策屬性且（Vd，≤d）是全序集。

定義6^［5］ 設(shè)S=（U，C）為一個廣義多尺度序信息系統(tǒng)，若將條件屬性aj（1≤j≤m）限制在該屬性的第lj（1≤lj≤Ij）個尺度下，記為L=（l1，l2，…，lm），則L稱為S的條件屬性的一個尺度組合。S的所有尺度組合記為={（l1，l2，…，lm）1≤lj≤Ij，j=1，2，…，m}。

定義7^［5］ 設(shè)S=（U，C）為一個廣義多尺度信息系統(tǒng)，對于兩個尺度組合L1=（l11，l12，…，l1m）∈，L2=（l21，l22，…，l2m）∈。若j∈{1，2，…，m}，都有l(wèi)1j≤l2j，則稱尺度組合L1比L2細(xì)，記L1≤L2。若L1≤L2，且j∈{1，2，…，m}，使得l1j<l2j，則稱尺度組合L1嚴(yán)格細(xì)于L2，記L1<L2。

j∈{1，2，…，m}，L1=（l11，l12，…，l1m）∈，

L2=（l21，l22，…，l2m）∈，定義

L1∧L2=（l11∧l21，l12∧l22，…，l1m∧l2m），

L1∨L2=（l11∨l21，l12∨l22，…，l1m∨l2m），

其中：l1j∧l2j=min（l1j，l2j）；l1j∨l2j=max（l1j，l2j）。

那么

L1≤L2L1∧L2=L1L1∨L2=L2，

且（，≤，∧，∨）是一個有界格，其中最大元為（I1，I2，…，Im），最小元為（1，1，…，1）。

顯然，對于一個廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，可以分解成∏mj=1Ij個序決策信息系統(tǒng)且具有相同的決策屬性d，也可以分解得到∏mj=1Ij個不同的集值優(yōu)勢矩陣，即定義7中格結(jié)構(gòu)的每個節(jié)點加上決策屬性d對應(yīng)于一個集值優(yōu)勢矩陣。

定義8^［5］ 設(shè)S=（U，C∪j5i0abt0b）為一個廣義多尺度序決策信息WbQN1B/09fUg7OYPDmeT4KKebZWHt17O2FHqC6IM1hM=系統(tǒng)，L=（l1，l2，…，lm）∈為S的一個尺度組合，定義關(guān)于準(zhǔn)則集CL的優(yōu)勢關(guān)系R≥CL、對象x的優(yōu)勢類［x］≥CL為

R≥CL={（y，x）∈U×Ua^ljj（y）≥a^ljj（x），a^ljj∈CL}，

［x］≥CL={y∈Ua^ljj（y）≥a^ljj（x），a^ljj∈CL}=

{y∈U（y，x）∈R≥CL}。

性質(zhì)1 設(shè)S=（U，C∪j5i0abt0b）=（U，{akjk=1，2，…，Ij，j=1，2，…，m}∪j5i0abt0b）為一個廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，Q1=（K1，d）=（k11，k12，…，k1m，d），Q2=（K2，d）=（k21，k22，…，k2m，d）。若Q1、Q2、K1、K2對應(yīng)的集值優(yōu)勢矩陣分別為D^Q1、D^Q2、D^K1、D^K2，則性質(zhì)1）～4）成立。

1） K1≤K2R≥C^K1R≥C^K2，［x］≥C^K1［x］≥C^K2；

2） BCR≥CR≥B；

3） 如果K1≤K2，a^k1jj∈D^K1i1，i2（a^k1jj∈D^Q1i1，i2），則a^k2jj∈D^K2i1，i2（a^k2jj∈D^Q2i1，i2），i1，i2=1，2，…，n；

4） K1≤K2D^K1i1，i2≤D^K2i1，i2，i1，i2=1，2，…，n，其中Di1，i2表示集值優(yōu)勢矩陣中項Di1，i2的元素個數(shù)。

3 不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合

在本節(jié)中，基于優(yōu)勢關(guān)系引入廣義決策，研究了不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)中的最優(yōu)尺度組合，并用于生成單尺度序決策信息系統(tǒng)和提取決策規(guī)則。

3.1 不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)的廣義決策

定義9 設(shè)S=（U，C∪j5i0abt0b）=（U，{akjk=1，2，…，Ij，j=1，2，…，m}∪j5i0abt0b）是一個廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，L1=（1，1，…，1），如果存在i，j=1，2，…，m，使得{a11，a12，…，a1m}D^CL1∪j5i0abt0bij，dD^CL1∪j5i0abt0bij成立，即序決策信息系統(tǒng)（U，C^L1∪j5i0abt0b）不協(xié)調(diào)，則S被稱為不協(xié)調(diào)的；否則，稱S是協(xié)調(diào)的。

性質(zhì)2 設(shè)S=（U，C∪j5i0abt0b）=（U，{akjk=1，2，…，Ij，j=1，2，…，m}∪j5i0abt0b）為一個廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，L1，L2∈，L1<L2。如果S^L1=（U，C^L1∪j5i0abt0b）是不協(xié)調(diào)的，則S^L2=（U，C^L2∪j5i0abt0b）也是不協(xié)調(diào)的；如果S^L2=（U，C^L2∪j5i0abt0b）是協(xié)調(diào)的，那么S^L1=（U，C^L1∪j5i0abt0b）也協(xié)調(diào)。

證明 根據(jù)性質(zhì)1易證。

由于L是最優(yōu)尺度組合當(dāng)且僅當(dāng)L是協(xié)調(diào)的，且所有比L粗的尺度組合都不協(xié)調(diào)，則根據(jù)性質(zhì)2可知，若最細(xì)尺度組合和決策屬性d形成的序決策信息系統(tǒng)不協(xié)調(diào)，那么廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)S的所有尺度組合和決策屬性d形成的序決策信息系統(tǒng)都不協(xié)調(diào)，則我們無法直接遍歷S的尺度組合的格結(jié)構(gòu)尋找最優(yōu)尺度。于是，為了確定S的最優(yōu)尺度組合，我們在給定尺度組合下，定義廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)的廣義決策。

定義10 設(shè)

S=（U，C∪j5i0abt0b）=

（U，{akjk=1，2，…，Ij，j=1，2，…，m}∪j5i0abt0b）是一個廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，K=（L，d）=（l1，l2，…，lm，d），在誘導(dǎo)的序決策信息系統(tǒng)（U，CL∪j5i0abt0b）中定義廣義決策函數(shù)

δCL（x）=［lCL（x），uCL（x）］，

其中：

lCL（x）=min{d（y）：yR≥CLx，y∈U}；

uCL（x）=max{d（y）：xR≥CLy，y∈U}。

記

R≥δCL={（y，x）∈U×UδCL（y）≥δCL（x）}，

R≥δCL表示廣義決策δCL誘導(dǎo)的優(yōu)勢關(guān)系，通過用廣義決策δCL替換（U，CL∪j5i0abt0b）中的決策屬性d，我們就能得到一個新的序決策信息系統(tǒng)（U，CL∪{δCL}）。為了得到（U，CL∪{δCL}）的集值優(yōu)勢矩陣，就需要定義廣義決策δCL的優(yōu)勢關(guān)系。在具體問題中，常采用3種方法定義區(qū)間值優(yōu)勢關(guān)系。

定義11 設(shè)w1=［u1，v1］，w2=［u2，v2］，定義任意兩個區(qū)間值的優(yōu)勢關(guān)系方法為

1） 下界偏好關(guān)系：［u1，v1］≤［u2，v2］u1≤u2；

2） 上界偏好關(guān)系：［u1，v1］≤［u2，v2］v1≤v2；

3） 直覺偏好關(guān)系：

［u1，v1］≤［u2，v2］12（u1+v1）<12（u2+v2）或12（u1+v1）=12（u2+v2）且12（v1-u1）≥12（v2-u2）。

定理1 如果采用上述3種方法定義區(qū)間值優(yōu)勢關(guān)系，則用廣義決策δCL替換（U，CL∪j5i0abt0b）中決策屬性d得到的序決策信息系統(tǒng)（U，CL∪{δCL}）是協(xié)調(diào)的。

證明 采用定義11的1）定義區(qū)間值優(yōu)勢關(guān)系，即證

x，y∈U，yR≥CLxlCL（x）≤lCL（y）。

令

H1={d（z1）：z1R≥CLx，x，z1∈U}，

H2={d（z2）：z2R≥CLy，y，z2∈U}。

由于yR≥CLx，有［y］≥CL［x］≥CL，所以H2H1，即min（H1）≤min（H2），故lCL（x）≤lCL（y）。

同理可證，定義11的2）和3）定義區(qū)間值優(yōu)勢關(guān)系也成立。

綜上，由定義11知，用廣義決策δCL替換（U，CL∪j5i0abt0b）中的決策屬性d得到的序決策信息系統(tǒng)（U，CL∪{δCL}）是協(xié)調(diào)的。

記GLδ=（U，C∪{δCL}）=（U，{akjk=1，2，…，Ij，j=1，2，…，m}∪{δCL}）。

顯然，GLδ是由尺度組合L誘導(dǎo)生成的廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，決策屬性為δCL，且GLδ是協(xié)調(diào)的。

定義12 設(shè)S=（U，C∪j5i0abt0b）是一個不協(xié)調(diào)的廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，L=（l1，l2，…，lm）∈，L1=（1，1，…，1）∈。 如果i，j=1，2，…，n，使得{a^l11，a^l22，…，a^lmm}D^CL∪{δCL1}ij，dD^CL∪

^{δCL1}ij成立，則稱（U，CL∪{δC^L1}）是廣義決策不協(xié)調(diào)的；否則，稱為廣義決策是協(xié)調(diào)的。

定理2 設(shè)廣義多尺度序信息系統(tǒng)GLδ=（U，C∪{δCL}）的集值優(yōu)勢矩陣為D^GLδ，K=（k1，k2，…，km）∈。如果i，j=1，2，…，n，使得{a^k11，a^k22，…，a^kmm}D^GLδij，δCLD^GLδij成立，則序決策信息系統(tǒng)（U，CK∪{δCL}）不協(xié)調(diào)；否則，（U，CK∪{δCL}）協(xié)調(diào)。

定理3 設(shè)S=（U，C∪j5i0abt0b）=（U，{akjk=1，2，…，Ij，j=1，2，…，m}∪j5i0abt0b）是一個不協(xié)調(diào)的廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，L，K∈且L<K。如果

（U，CL∪{δC^L1}）是廣義決策不協(xié)調(diào)的，則

（U，CK∪{δC^L1}）也是廣義決策不協(xié)調(diào)的；如果

（U，CK∪{δC^L1}）是廣義決策協(xié)調(diào)的，則（U，CL∪{δC^L1}）

也是廣義決策協(xié)調(diào)的。

定理3表明，給定一個不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)S，若廣義決策δC^L1與較粗尺度組合形成的序決策信息系統(tǒng)協(xié)調(diào)，那么它一定與較細(xì)尺度形成的序決策信息系統(tǒng)協(xié)調(diào)。這一結(jié)論將幫助我們在不協(xié)調(diào)的廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)定義和尋找最優(yōu)尺度組合。

3.2 不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度

定義13 設(shè)S=（U，C∪j5i0abt0b）=（U，{akjk=1，2，…，Ij，j=1，2，…，m}∪j5i0abt0b）是一個不協(xié)調(diào)的廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，L1=（1，1，…，1），L=（l1，l2，…，lm）∈。若不存在i，j=1，2，…，n，使得{a^l11，a^l22，…，a^lmm}D^GL1δij，δC^L1D^GL1δij

成立，則序決策信息系統(tǒng)（U，CL∪{δC^L1}）是協(xié)調(diào)的，即稱尺度組合L是S中廣義決策協(xié)調(diào)的。如果尺度組合L是S中廣義決策協(xié)調(diào)的，且L′=（l′1，l′2，…，l′m）∈，L<L′，L′都不是S中廣義決策協(xié)調(diào)的，則稱L=（l1，l2，…，lm）∈是S的廣義決策最優(yōu)尺度組合，簡稱最優(yōu)尺度組合。

由于條件屬性aj具有Ij個尺度，則中所有尺度組合的數(shù)量為∏mj=1Ij，每個尺度組合加上決策屬性δC^L1可代表一個集值優(yōu)勢矩陣。又因為（，≤，∧，∨）是一個有限格，所以可以從上到下搜索格結(jié)構(gòu)（，≤，∧，∨）求最優(yōu)尺度組合。L=（l1，l2，…，lm）∈是S的最優(yōu)尺度組合，當(dāng)且僅當(dāng)L為格（，≤，∧，∨）中使得（U，CL∪{δC^L1}）協(xié)調(diào)的最大元素。于是我們設(shè)計了一種基于定義13尋找一個最優(yōu)尺度組合的算法，見算法1。最糟糕的情況下，該算法的時間復(fù)雜度為O（∏mj=1Ij×U2）。

算法1 在不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)中求最優(yōu)尺度組合的算法。

輸入：一個不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)

S=（U，C∪j5i0abt0b）=（U，{akjk=1，2，…，Ij，j=1，2，…，m}∪j5i0abt0b）。

輸出：S的一個最優(yōu)尺度組合。

1. 計算D^GL1δ；M←

2. For i，j=1∶n

3. If δC^L1D^GCL1δij

4. M←D^GCL1δij

5. End if

6. End for

7. Queue←NULL；（l1，l2，…，lm）←（I1，I2，…，Im）

8. L0←（l1，l2，…，lm）；Queue.put （L0）

9. While （Queue≠NULL）

10. L←Queue.get（）

11. If CLM

12. Return （L）

13. End if

14. For k=1∶m

15. If （lk>1）

16. L←（l1，l2，…，lk-1，lk-1，lm）；Queue.put（L）

17. End if

18. End for

19. End while

3.3 不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)的知識獲取

本小節(jié)主要研究不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)的知識獲取，分為屬性約簡和規(guī)則提取。序決策信息系統(tǒng)的屬性約簡是在所有對象的基礎(chǔ)上，保持序決策信息系統(tǒng)協(xié)調(diào)性不變的最小屬性子集。

定義14 設(shè)S=（U，C∪j5i0abt0b）=（U，{akjk=1，2，…，Ij，j=1，2，…，m}∪j5i0abt0b）是一個不協(xié)調(diào)的廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，L=（l1，l2，…，lm）∈是S的最優(yōu)尺度組合。對BCL={a^l11，a^l22，…，a^lmm}，若不存在i，j=1，2，…，n，使得BD^CL∪{δCL1}ij，δC^L1D^CL∪{δCL1}ij成立，存在i，j=1，2，…，n，b∈B，使得B-D^CL∪{δCL1}ij，δC^L1D^CL∪{δCL1}ij成立，則稱B是CL的一個約簡。

序決策信息系統(tǒng)中的決策規(guī)則一般形式為t→s，t是規(guī)則的條件部分，s是規(guī)則的決策部分。對同時滿足決策規(guī)則的條件部分和決策部分的對象，稱為支持該條規(guī)則的對象。決策規(guī)則的確定度為r=t∧s/t，確定度體現(xiàn)了根據(jù)條件部分能得出決策部分的可信度。對于不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，與文獻(xiàn)［20］類似，

根據(jù)最優(yōu)尺度組合和屬性約簡就可以提取確定規(guī)則與可能規(guī)則，其規(guī)則形式為

（a^k11，≥，r1）∧（a^k22，≥，r2）∧…∧（a^kmm，≥，rm）（d，≥，rd）。

顯然確定規(guī)則的確定度為1，可能規(guī)則的確定度小于1。

例1 假設(shè)S=（U，C∪j5i0abt0b）=（U，{a11，a21，a12，a22，a32，a13，a23}∪j5i0abt0b）是一個廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，如表1所示，則該廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)共有12個尺度組合，即L1=（1，1，1），L2=（2，1，1），L3=（1，2，1），L4=（1，1，2），L5=（2，2，1），L6=（2，1，2），L7=（1，2，2），L8=（1，3，1），L9=（2，3，1），L10=（1，3，2），L11=（2，2，2），L12=（2，3，2）。顯然，L1=（1，1，1）和L12=（2，3，2）分別為格（，≤，∧，∨）中最小元和最大元，格結(jié)構(gòu)如圖1所示。

例2 在例1中，需要解決問題1）～3），

1） 判斷S是否是協(xié)調(diào)的；

2） 確定S的最優(yōu)尺度組合；

3） 確定S的屬性約簡和決策規(guī)則。

1） 計算在尺度組合L1=（1，1，1）下，序決策信息系統(tǒng)（U，C^L1∪j5i0abt0b）的集值優(yōu)勢矩陣，篇幅原因，在此不具體展示。顯然{a11，a12，a13}

D^CL1∪j5i0abt0b11，4，dD^CL1∪j5i0abt0b11，4，

所以

廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)S是不協(xié)調(diào)的。

2） 根據(jù)廣義決策的定義，在最細(xì)尺度L1=（1，1，1）下，可計算得到表1中第10列所示的廣義決策函數(shù)δC^L1（x）。由于S不協(xié)調(diào)，則替換決策屬性d為δC^L1，并分別采用定義11的3種方法定義廣義決策δC^L1的區(qū)間值優(yōu)勢關(guān)系，以此來分別求最優(yōu)尺度組合。

① 采用定義11的1）定義區(qū)間值優(yōu)勢關(guān)系，根據(jù)定理1可知（U，C^L1∪{δC^L1}）是協(xié)調(diào)的。另外可得G^L1δ=（U，C∪{δC^L1}）的集值優(yōu)勢矩陣

D^GL1δ，由于矩陣太大和篇幅原因，在此只展示G^L1δ=（U，C∪{δC^L1}）

的集值優(yōu)勢矩陣中不含決策屬性δC^L1的項，如

D^GL1δ=x1x2x8x9x10x12x1{a21，a12，a22，a32}x2{a21，a12，a22，a32，a23}x3{a32}{a32}{a12，a22，a32}{a12，a22，a32}{a11，a21，a12，a22，a32}{a32，a23}x4{a11，a21}{a11，a21，a12，a22，a32}{a21}x5{a11，a21}{a11，a21，a12，a22，a32}{a21}x6{a32}{a32}{a22，a32}{a32}{a12，a22，a32}{a32，a13，a23}x7{a12，a22，a32}{a13，a23}x8{a32}x10x11{a32}{a32}{a11，a21，a22，a32}{a32}{a11，a21，a12，a22，a32}{a11，a21，a32}x12{a12，a22，a32}。

對于C^L12={a21，a32，a23}，由于

{a21，a32，a23}D^GL1δ2，9={a21，a12，a22，a32，a23}，δC^L1D^GL1δ2，9，故（U，C^L12∪{δC^L1}）不協(xié)調(diào)。

對于C^L10={a11，a32，a23}，由于不存在

i，j=1，2，…，n，使得{a11，a32，a23}D^GL1δij，δC^L1D^GL1δij

成立，故（U，C^L10∪{δC^L1}）協(xié)調(diào)。

同理，也可計算得到（U，C^L11∪{δC^L1}）不協(xié)調(diào)，

（U，C^L9∪{δC^L1}），（U，C^L6∪{δC^L1}）協(xié)調(diào)。

根據(jù)最優(yōu)尺度組合的定義和圖1的格結(jié)構(gòu)，可知最優(yōu)尺度組合為（2 3 1）， （1 3Yfdjh9sZcb8T1TEjXaBkgg== 2）。

② 采用定義11的2）和3）分別定義區(qū)間值優(yōu)勢關(guān)系，計算過程在此不具體描述，方法與①一樣，可分別得最優(yōu)尺度為（2 1 2）和（1 1 2）， （2 1 1）。

3） 選擇定義11的1）所得的最優(yōu)尺度組合L9=（2，3，1）為例求其屬性約簡。

由于可求得不存在i，j=1，2，…，n，使得

{a21，a13}D^L9∪{δCL1}ij，

δC^L1D^L9∪{δCL1}ij，

且

{a21}D^L9∪{δCL1}4，8，

δC^L1D^L9∪{δCL1}4，8，

{a13}D^L9∪{δCL1}7，12，

δC^L1D^L9∪{δCL1}7，12。

所以，根據(jù)定義14知{a21，a13}是序決策信息系統(tǒng)

（U，{a21，a32，a13}∪{δC^L1}）的一個約簡。

又因為{a21，a32}，{a32，a13}，{a32}均不是

（U，{a21，a32，a13}∪{δC^L1}）的約簡，所以

{a21，a13}是（U，{a21，a32，a13}∪{δC^L1}）的唯一一個約簡。

因此可得

S=（U，C∪j5i0abt0b）=（U，{a11，a21，a12，a22，a32，a13，a23}∪j5i0abt0b）。在L9=（2，3，1）下的部分序決策規(guī)則為

r1：（a21，≥，9）∧（a13，≥，93）（d，≥，2），該規(guī)則的支持對象為x2，x9，確定度為1；

r2：（a21，≥，7）∧（a13，≥，71）（d，≥，1），該規(guī)則的支持對象為x1，x2，x3，x8，x9，x10，x12，確定度為1；

r3：（a21，≥，8）∧（a13，≥，58）（d，≥，2），該規(guī)則的支持對象為x1，x2，x4，x8，x9，x12，確定度為

34；

r4：（a21，≥，8）∧（a13，≥，85）（d，≥，3），該規(guī)則的支持對象為x1，x8，x9，確定度為34。

4 實驗與分析

為了驗證本文提出的算法1的有效性，即驗證所提出的廣義決策最優(yōu)尺度組合是合理的。本節(jié)在一些公開的數(shù)據(jù)集上進(jìn)行數(shù)值實驗，這些數(shù)據(jù)集來自加州大學(xué)歐文分校（UCI），具體信息如表2所示。

由于這些數(shù)據(jù)集對應(yīng)的信息系統(tǒng)的條件屬性是單尺度的，所以必須將數(shù)據(jù)集預(yù)處理轉(zhuǎn)換成多尺度信息系統(tǒng)。采用文獻(xiàn)［11］方法獲得多尺度信息系統(tǒng)，步驟如下。

1） 通過a1（x）=（a（x）-ma）/std（a）」計算得到屬性a的第一個尺度，其中a（x）是原始數(shù)據(jù)集對象x的屬性值，ma和std（a）分別是屬性a的最小值和標(biāo)準(zhǔn)差，y」表示滿足z≤y的最大整數(shù)z。

2） 為了模擬數(shù)據(jù)有序的分類任務(wù)，首先計算樣本在條件屬性下的平均值，接著具有較大平均值的樣本被分配較大的類標(biāo)簽，具有較小平均值樣本被分配較小的類標(biāo)簽?？紤]類標(biāo)簽的數(shù)量遠(yuǎn)小于樣本數(shù)量，在基于平均值對類標(biāo)簽進(jìn)行賦值過程中，采用根據(jù)類標(biāo)簽數(shù)量進(jìn)行批量賦值的方法。例如，對于數(shù)據(jù)集iris，我們按照平均值的順序?qū)⑵浞殖?個數(shù)量相等的部分，并按照對應(yīng)順序為樣本分配標(biāo)簽值。然后為了保證不協(xié)調(diào)性，隨機(jī)選擇5%的樣本且使選擇的每個類標(biāo)簽樣本個數(shù)相等，并用其余類標(biāo)簽值平均替換原有標(biāo)簽值，就獲得了不協(xié)調(diào)序決策信息系統(tǒng)。

3） 在第一個尺度的基礎(chǔ)上，從下到上依次合并屬性值來得到后續(xù)的尺度，直到當(dāng)前尺度級的屬性值域不超過3個，如假設(shè)屬性a的第1個尺度的屬性值域為a1={0，1，2，3，4，5}，則a2={1，2，3，4，5}，a3={2，3，4，5}，a4={3，4，5}，故屬性a有4個尺度。

顯然，通過步驟1）～3）求得的廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)是不協(xié)調(diào)的，并利用算法1和定義11三種不同方法就可求得最優(yōu)尺度組合，結(jié)果如表3所示。表3還顯示了最優(yōu)率和平均尺度，最優(yōu)率表示尺度級2的屬性百分比，平均尺度為所有尺度的平均值。如數(shù)據(jù)集iris包含4個屬性，在定義11的3種定義區(qū)間值優(yōu)勢關(guān)系方法下，最優(yōu)尺度組合分別為（1，3，2，2）， （2，1，2，1）， （1，1，2，1）。與最細(xì)尺度組合相比，最優(yōu)率分別為0.75， 0.50， 0.25，平均尺度分別為2.00， 1.50， 1.25。

通過使用MATLAB R2020b提供的分類器K近鄰（KNN， K=3）、分類回歸樹（CART）來評估算法所求得的最優(yōu)尺度組合的性能。為了進(jìn)行充分的比較，采用三種不同尺度組合比較，即最細(xì)尺度組合、最粗尺度組合、最優(yōu)尺度組合。

實驗中使用這些分類器的默認(rèn)參數(shù)設(shè)置，采用三重交叉驗證，即對于每個數(shù)據(jù)集，選擇2/3的樣本作為訓(xùn)練集，其余1/3的樣本作為測試集。分類準(zhǔn)確率作為評價指標(biāo)。重復(fù)實驗10次，計算分類準(zhǔn)確率的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為最終結(jié)果。實驗結(jié)果如表4～5所示。在此需要說明的是，表4～5中最優(yōu)尺度組合的三個分類準(zhǔn)確率數(shù)據(jù)是在定義11的三種不同區(qū)間值優(yōu)勢關(guān)系定義方法下得到的，即相當(dāng)于三個不同參數(shù)所得的結(jié)果。而最細(xì)尺度組合和最粗尺度組合不受其影響，三種定義方法下所得結(jié)果均相同。

從表4～5可以看出，對于分類器KNN，在iris數(shù)據(jù)集上，最優(yōu)尺度組合取得了最大分類準(zhǔn)確率；分類器CART在數(shù)據(jù)集iris和vertebral-column-3c上的最優(yōu)尺度組合也取得了最大分類準(zhǔn)確率，說明將單尺度信息表轉(zhuǎn)換為多尺度信息表并求得的最優(yōu)尺度組合可以在一定程度上提高分類性能。相比最細(xì)尺度組合，所有數(shù)據(jù)集的最粗尺度組合分類效果較差，主要在于尺度不斷合并過程導(dǎo)致大量信息丟失。但對于大多數(shù)數(shù)據(jù)集，最優(yōu)尺度組合的分類精度與最細(xì)尺度組合分類精度接近，理論上代價也降低了，說明所提出的廣義決策最優(yōu)尺度組合是有效的，在一定條件下能取得較好的決策結(jié)果。

5 總結(jié)

目前，廣義多尺度決策信息系統(tǒng)的研究大多基于等價關(guān)系，而基于優(yōu)勢關(guān)系進(jìn)行的研究仍然較少。本文定義序決策信息系統(tǒng)的集值優(yōu)勢矩陣和廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)，并給出了通過集值優(yōu)勢矩陣判斷序決策信息系統(tǒng)是否協(xié)調(diào)的方法。針對不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度組合、知識獲取問題，引入廣義決策的概念，用理論證明了用廣義決策δCL替換序決策信息系統(tǒng)中的決策屬性d能得到新的協(xié)調(diào)序決策信息系統(tǒng)?；诖?，利用集值優(yōu)勢矩陣給出了求不協(xié)調(diào)廣義多尺度序決策信息系統(tǒng)最優(yōu)尺度組合和屬性約簡方法，這一方法簡單且無須每次計算條件屬性和決策屬性的優(yōu)勢類。在下一步的研究中，考慮深入研究集值優(yōu)勢矩陣的性質(zhì)，以此研究最優(yōu)尺度組合的啟發(fā)式算法。

參考文獻(xiàn)：

［1］ PAWLAK Z. Rough sets［J］.International journal of computer & information sciences， 1982， 11（5）： 341-356.

［2］ 王君宇， 楊亞鋒， 趙佳亮， 等. 基于?；赏貨Q策的屬性約簡算法研究［J］. 鄭州大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2022， 54（5）：72-81.

WANG J Y， YANG Y F， ZHAO J L， et al. Research on attribute reduction algorithm based on granulation extension decision［J］. Journal of Zhengzhou university （natural science edition）， 2022， 54（5）：72-81.

［3］ 劉東君， 陳紅梅. 高斯核模糊粗糙集中基于粒子群算法的屬性約簡［J］. 鄭州大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2018， 50（3）53-59.

LIU D J， CHEN H M. Attribute reduction in Gaussian kernel based fuzzy rough sets based on particle swarm optimization［J］. Journal of Zhengzhou university （natural science edition）， 2018， 50（3）53-59.

［4］ GRECO S， MATARAZZO B， SLOWINSKI R. Rough approximation of a preference relation by dominance relations［J］. European journal of operational research， 1999， 117（1）： 63-83.

［5］ WU W Z， LEUNG Y. Theory and applications of granular labelled partitions in multi-scale decision tables［J］. Information sciences， 2011， 181（18）： 3878-3897.

［6］ WU W Z， LEUNG Y. Optimal scale selection for multi-scale decision tables［J］. International journal of approximate reasoning， 2013， 54（8）： 1107-1129.

［7］ 張清華， 張雪秋， 龐國弘. 多尺度決策系統(tǒng)中代價敏感的最優(yōu)尺度組合［J］. 控制與決策， 2021， 36（10）： 2369-2378.

ZHANG Q H， ZHANG X Q， PANG G H. Cost-sensitive optimal scale combination in multi-scale decision systems［J］. Control and decision， 2021， 36（10）： 2369-2378.

［8］ XU Y H， WU W Z， TAN A H. Optimal scale selections in consistent generalized multi-scale decision tables［C］∥International Joint Conference on Rough Sets. Cham： Springer International Publishing， 2017： 185-198.

［9］ ZHU Y J， YANG B. Optimal scale combination selection for inconsistent multi-scale decision tables［J］. Soft computing， 2022， 26（13）： 6119-6129.

［10］BAO H， WU W Z， ZHENG J W， et al. Entropy based optimal scale combination selection for generalized multi-scale information tables［J］.International journal of machine learning and cybernetics， 2021， 12（5）： 1427-1437.

［11］WU W Z， QIAN Y H， LI T J， et al. On rule acquisition in incomplete multi-scale decision tables［J］. Information sciences， 2017， 378： 282-302.

［12］LI F， HU B Q. A new approach of optimal scale selection to multi-scale decision tables［J］. Information sciences， 2017， 381： 193-208.

［13］HUANG Z H， LI J J， DAI W Z， et al. Generalized multi-scale decision tables with multi-scale decision attributes［J］. International journal of approximate reasoning， 2019， 115： 194-208.

［14］WU W Z， NIU D R， LI J H， et al. Rule acquisition in generalized multi-scale information systems with multi-scale decisions［J］. International journal of approximate reasoning， 2023， 154： 56-71.

［15］張嘉茹， 吳偉志， 楊燁. 協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)的知識獲?。跩］. 模式識別與人工智能， 2022， 35（9）：789-804.

ZHANG J R， WU W Z， YANG Y. Knowledge acquisition for consistent generalized decision multi-scale ordered information systems［J］. Pattern recognition and artificial intelligence， 2022， 35（9）：789-804.

［16］楊燁， 吳偉志， 張嘉茹. 不協(xié)調(diào)廣義決策多尺度序信息系統(tǒng)的最優(yōu)尺度選擇與規(guī)則提?。跩］. 計算機(jī)科學(xué)， 2023， 50（6）： 131-141.

YANG Y， WU W Z， ZHANG J R. Optimal scale selection and rule acquisition in inconsistent generalized decision multi-scale ordered information systems［J］. Computer science， 2023， 50（6）： 131-141.

［17］DEMBCZYN′SKI K， GRECO S， KOTOWSKI W， et al. Quality of rough approximation in multi-criteria classification problems［M］∥Rough Sets and Current Trends in Computing. Berlin： Springer Press， 2006： 318-327.

［18］DEMBCZYNSKI K， GRECO S， SOWIN′SKI R. Second-order rough approximations in multi-criteria classification with imprecise evaluations and assignments［M］∥Lecture Notes in Computer Science. Berlin： Springer Press， 2005： 54-63.

［19］楊蕾， 張曉燕， 徐偉華. 序決策信息系統(tǒng)中基于差別信息樹的分配約簡［J］. 鄭州大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版）， 2019， 51（2）：84-89.

YANG L， ZHANG X Y， XU W H. Assignment reduction based on discernibility information tree in ordered decision information systems［J］. Journal of Zhengzhou university （natural science edition）， 2019， 51（2）：84-89.

［20］GRECO S， MATARAZZO B， SLOWINSKI R. Rough approximation by dominance relations［J］. International journal of intelligent systems， 2002， 17（2）： 153-171.