平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)問題

在數(shù)學(xué)中，平面直角坐標(biāo)系是我們描繪和理解圖形、解決幾何問題的有力工具。而點(diǎn)的坐標(biāo)變換則是其中一個(gè)重要且有趣的概念，它為我們打開了洞察圖形變化和運(yùn)動(dòng)的新視角。

【問題1】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為中心，把點(diǎn)A（1，4）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到的點(diǎn)A'的坐標(biāo)為" " " " " " "。

看完題后，我想到可以借助幾何中的“一線三直角”模型來解決此題。解法如下：

如圖1，連接[AO]、[A'O]，過點(diǎn)[A]作[AB⊥y]軸于點(diǎn)[B]，過點(diǎn)[A']作[A'B'⊥y]軸于點(diǎn)。

[∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，4）] ，

[∴OB=4]，[AB=1]。

[∵∠AOA'=90°]，

[∴∠AOB+∠B'OA']=[90°]。

[又∵∠B'OA']+[∠OA'B']=[90°]，

[∴∠AOB=∠OA'B']。

[在△AOB和△OA'B'中]，

[∠ABO=∠OB'A'=90°，∠AOB=∠OA'B'，AO=OA'，]

[∴△AOB≌△OA'B'AAS] 。

[∴OB'=AB=1]，[A'B']=OB=4。

[∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（4，-1）] 。

【問題2】在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)[M（53，2）]為中心，把點(diǎn)[A（-1，1）]繞點(diǎn)[M]逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)[90°]，得到的點(diǎn)[A']的坐標(biāo)為" " " " " " "。

與問題1相比，這道題旋轉(zhuǎn)中心不是原點(diǎn)。但我發(fā)現(xiàn)，作過點(diǎn)M且平行于x軸的直線，仍可借用“一線三直角”模型來解題。解法如下：

如圖2，連接[AM]、[A'M]，過點(diǎn)[M]作直線[m]∥[x]軸，過點(diǎn)[A]作[AB⊥]直線[m]于點(diǎn)[B]，過點(diǎn)[A']作[A'B'⊥]直線[m]于點(diǎn)[B']。

[∵點(diǎn)A和點(diǎn)M的坐標(biāo)分別是]（-1，1）、[（53，2）] ，

[∴MB=83]，[AB=1]。

[∵∠AMA'=90°]，

[∴∠A'MB'+∠AMB=90°]。

[又∵∠AMB+∠BAM=90°]，

[∴∠A'MB'=∠BAM]。

[在△AMB和△MA'B'中]，

[∠ABM=∠MB'A'=90°，∠BAM=∠B'MA'，AM=MA'，]

[∴△AMB≌△MA'B'AAS]。

[∴MB'=AB=1，A'B'=MB=83]，

[∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)是83，-23] 。

通過探究以上兩個(gè)問題，我發(fā)現(xiàn)可以運(yùn)用“一線三直角”模型解決圖形變換中的點(diǎn)的坐標(biāo)問題。如果旋轉(zhuǎn)角度變?yōu)槠渌厥饨嵌龋€能運(yùn)用這種方法嗎？

【問題3】在平面直角坐標(biāo)系中，連接點(diǎn)[M（3，-1）]和點(diǎn)[A（2，1）]，以點(diǎn)[M]為中心，將線段[AM]繞點(diǎn)[M]逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)[45°]得到的線段[A'M]所在直線的表達(dá)式為" " " " " " "。

通過作輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形，依然通過“一線三直角”模型來解題。解法如下：

如圖3，連接AM、[A'M]，過點(diǎn)[A]作[AN⊥A'M]于點(diǎn)[N]，過點(diǎn)[N]作直線[n]∥y軸，過點(diǎn)[A]作[AB⊥]直線[n]于點(diǎn)[B]，過點(diǎn)[M]作[MB'⊥]直線[n]于點(diǎn)[B']。

設(shè)[AB=x]，[BN=y]。

[∵∠ANM=90°，∠AMN=45°]，

[∴△ANM是等腰直角三角形]。

[∴AN=NM]。

[∵∠ANM=90°]，

[∴∠ANB+∠B'NM=90°]。

[又∵∠BAN+∠ANB=90°]，

[∴∠B'NM=∠BAN]。

[在△BAN和△B'NM中]，

[∠ABN=∠NB'M=90°，∠BAN=∠B'NM，AN=NM，]

[∴△BAN≌△B'NMAAS]。

[∴NB'=AB=x，B'M=BN=y]。

可列出方程組[y-x=1，x+y=2。]

解得[x=12，y=32。]

[∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是][32，-12]。

設(shè)直線[A'M]的表達(dá)式為[y=kx+bk≠0]。

將點(diǎn)[N] [32，-12]、點(diǎn)[M（3，1）]的坐標(biāo)代入上式，得方程組

[32k+b=-12，3k+b=-1。]

解得[k=-13b=0。]，

[∴直線A'M的表達(dá)式是y=-13x]。

通過這次探究，在一次次解決圖形變換（旋轉(zhuǎn)）的點(diǎn)的坐標(biāo)問題中，我逐漸深入地掌握并領(lǐng)悟了“一線三直角”模型，期待以后能有更多新的發(fā)現(xiàn)。

教師點(diǎn)評(píng)

小作者在初步了解平面直角坐標(biāo)系后，將其中的點(diǎn)變換問題和幾何模型“一線三直角”結(jié)合。隨著問題的深入，他逐漸熟練運(yùn)用幾何模型及方程組求解線段長度，從而對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)問題形成了自己的感悟。這些思考為他打開了解析幾何的大門，也為今后理解和研究函數(shù)提供了支撐。

（指導(dǎo)教師：張琬婧）