一些2018年國(guó)外數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題的精巧證明

南昌大學(xué)附屬中學(xué) (330047) 周 輝

新年伊始，世界各國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克中的不等式題蜂擁而至.本文擬給出其中幾道十分有意義的試題的精巧證明，以饗讀者.

例1 (2018年摩爾多瓦數(shù)學(xué)奧林匹克)

注1：萬變不離其宗.在證明非嚴(yán)格不等式時(shí)，捕捉欲證不等式的等號(hào)成立條件非常重要.

注2：細(xì)節(jié)是成功的關(guān)鍵.當(dāng)然，你還需要一雙慧眼.

注3：我們可以證明(證明留給讀者)：

例4 (2018年國(guó)際Zhautykov數(shù)學(xué)奧林匹克)

注5：本題求解的靈魂是換元.

以下不妨設(shè)|a|=min{|a|,|b|,|c|}，則

綜上，欲證不等式成立.

注6：不等式證明中，增設(shè)條件的方法屬家常便飯.本題證明使用的是排序法.

文末，筆者提出一個(gè)非常精彩的不等式(期待讀者你的參與)：