劉金江
開放性數(shù)學(xué)問題有利于激發(fā)我們的創(chuàng)新意識(shí),啟迪創(chuàng)新思維,培養(yǎng)創(chuàng)新精神,是中考命題的熱點(diǎn).本文舉例說明全等三角形開放性題的特點(diǎn).
一、條件開放
給出部分條件和問題結(jié)論,要求我們探索該結(jié)論成立的條件,因使結(jié)論成立的條件往往不惟一,這就是條件開放題.它要求我們從結(jié)論出發(fā),逆向、多角度分析問題.
例1如圖1,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D、E,AD、CE交于點(diǎn)H,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件:,使△AEH≌△CEB.
分析:由題意知,在△AEH、△CEB中,∠EAH=∠ECB,∠HEA=∠BEC,只要再加一條對(duì)應(yīng)邊相等的條件即可,因此添加的條件可為AE=CE或EH=EB或AH=CB.
評(píng)點(diǎn):這道題要求我們?nèi)嬲莆杖热切蔚闹R(shí),且具有較強(qiáng)的分析能力、推理能力.這類題改變了被動(dòng)地利用條件解題的思路,要求大家主動(dòng)獲取條件,進(jìn)行創(chuàng)造性學(xué)習(xí).
二、結(jié)論開放
給出條件,要求根據(jù)條件探索結(jié)論,由于符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性,這就是結(jié)論開放題.這類題要求我們進(jìn)行大膽合理的猜想,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出結(jié)論.
例2如圖2,若AC、BD、EF兩兩互相平分于點(diǎn)O,請(qǐng)寫出圖中的一對(duì)全等三角形:.(只需寫一對(duì)即可)
分析:不難發(fā)現(xiàn)圖2中有多對(duì)全等三角形.如△ADO≌△CBO,△DOF≌△BOE,△DOC≌△BOA,△ADC≌△CBA,△FOC≌△EOA.
例3如圖3,D是AC上一點(diǎn),BE∥AC,BE=AD,AE分別交BD、BC于點(diǎn)F、G,∠1=∠2.
問圖中哪個(gè)三角形與△FAD全等?并證明你的結(jié)論.
解:△FEB≌△FAD.
證明:∵AD∥BE,
∴∠1=∠E.
又∵∠EFB=∠AFD,BE=AD,
∴△FEB≌△FAD.
評(píng)點(diǎn):這類問題讓我們體會(huì)到同一條件下可以得到多種結(jié)果,能培養(yǎng)思維的靈活性和發(fā)散性.解題時(shí)要注意題后括號(hào)中的附加說明.
三、策略開放
例4此題有A、B、C三類題目,其中A類題4分,B類題6分,C類題8分,請(qǐng)你任選一類證明,多證明的題目不記分.
(A類)已知:如圖4,AB=AC,AD=AE.求證:∠B=∠C.
(B類)已知:如圖5,CE⊥AB于點(diǎn)E,BD⊥AC于點(diǎn)D,BD、CE交于點(diǎn)O,且AO平分∠BAC.求證:OB=OC.
(C類)已知:如圖6,△BDA、△HDC都是等腰直角三角形,且點(diǎn)D在BC上,BH的延長線與AC交于點(diǎn)E,請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角形,并寫出證明過程.
證明:(A類)在△ABD和△ACE中,
AB=AC,∠A=∠A,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE,即∠B=∠C.
證明:(B類)∵AO平分∠BAC,CE⊥AB,BD⊥AC,
∴OE=OD.
在△BOE和△COD中,
∵∠OEB=∠ODC=90°,OE=OD,∠BOE=∠COD,
∴△BOE≌△COD,即OB=OC.
解:(C類)△BDH≌△ADC.
證明:∵△BDA、△HDC都是等腰直角三角形,
∴BD=AD,∠BDH=∠ADC=90°,HD=CD.
∴△BDH≌△ADC.
評(píng)點(diǎn):這類試題可以滿足不同水平、不同個(gè)性同學(xué)的需要,這是尊重個(gè)性差異,“讓不同學(xué)習(xí)風(fēng)格的人在數(shù)學(xué)上都有平等發(fā)展”的一種嘗試和探索.由于需對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)掌握情況進(jìn)行一次反思后才能作出選擇,促進(jìn)了我們認(rèn)知能力的發(fā)展.