愛(ài)因斯坦的九圓圈填數(shù)問(wèn)題

于志洪

如圖1所示的九個(gè)圓圈是四個(gè)小的等腰三角形的頂點(diǎn)，在圖上將1～9這九個(gè)數(shù)字填入圓圈，要求這七個(gè)三角形中每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)字之和都相同.

[背景材料]

此題是由愛(ài)因斯坦(A·Einstein，1879～1955)給出的．愛(ài)因斯坦在全世界聞名之后，仍繼續(xù)為《法蘭克福報(bào)》寫(xiě)稿，為讀者提出一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，此題就是一例．

[解題方法]

設(shè)構(gòu)成七個(gè)等腰三角形的九個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B、C、D、E、F、G、H、I(如圖2).觀察可知△ABG，△CDH，△EFI沒(méi)有公共的頂點(diǎn)，又1+2+3+4+5+6

+7+8+9＝45，且已知上述三角形的三個(gè)頂點(diǎn)所在數(shù)的和應(yīng)相等，因此，我們可以知道：

每個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)的和應(yīng)為：45/3＝15，

而1～9這九個(gè)數(shù)中每三個(gè)數(shù)的和為15的所有可能為：1+5+9；1+6+8；2+4

+9；2+5+8；2+6+7；3+4+8；3+5+7；4+5+6．

考慮到等腰三角形GHI處在六邊形ABCDEF的中央，為配數(shù)的需要，應(yīng)把1～9中處在中間段的數(shù)4，5，6放在G，H，I的位置上，不妨設(shè)G＝6，H＝5，I＝4(亦可以設(shè)G＝4，H＝5，I＝6或G＝5，H＝4，I＝6)．此時(shí)，A有六個(gè)數(shù)可選，例如選7（其他情況類(lèi)似)，由于A+H＝7+5＝12，從而F＝3；又I＝4，故I+F＝7，從而E＝8；A＝7，G＝6，A+G＝7

+6=13，從而B(niǎo)＝2；C＝15-(B+I)＝15-(2+4)＝9；最后，由于H＝5，C=9，因此，D=15-(H+C)=15-(5+9)＝1.

因此，在G＝6，H＝5，I＝4的情形下，A，B，C，D，E，F(xiàn)的值分別為：7，2，9，1，8，3，符合題目要求.

同理，在G＝6，H＝5，I＝4的情形下，A，B，C，D，E，F(xiàn)的值亦可為：1，8，3，7，2，9.

兩個(gè)供讀者思考的問(wèn)題：

(1)G，H，I的值可否有除4，5，6以外的選擇？

(2)△AHF，△BCI，△GDE三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)值和不為15是否可以?

答案：以上兩題答案均為否定.

提示：對(duì)于(1)可有下述必要條件：放在G，H，I位置上的數(shù)，每個(gè)數(shù)至少應(yīng)存在三種與其他數(shù)的和為15的形式，根據(jù)我們列出的和為15的八種形式可知，只有2，4，5，6，8排在中間才可能滿(mǎn)足要求，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可知2和8放在中間不合要求，亦即當(dāng)三角形的和為15時(shí)，若不考慮G，H，I的循環(huán)情形，滿(mǎn)足需要的G，H，I是唯一的，即只有4，5，6．對(duì)于(2)，實(shí)際上很簡(jiǎn)單，若三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)值和不為15，則必造成和不相等的情形，不滿(mǎn)足題目要求.