在教學(xué)中，借助幾何畫板，試圖以一種更嚴(yán)格的方式完成“探究三角形內(nèi)角和及其應(yīng)用”這部分的教學(xué)內(nèi)容，并且不拘泥于教材，根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行了適當(dāng)拓展。在這里筆者選取了上課的部分實(shí)錄，以就教于廣大同仁。
　　
　　片斷一：任意三角形的內(nèi)角和
　　
　　師：同學(xué)們，上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了三角形的三邊關(guān)系，請(qǐng)大家回憶我們?cè)谛W(xué)學(xué)過三角形的內(nèi)角和是多少呢，你能夠通過某種方式對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行說明嗎？
　　生1：我按照教材中的方法折疊得到三個(gè)內(nèi)角可拼成一個(gè)平角，所以三角形的內(nèi)角和為180°，如圖1所示。
　　生2：我是把三角形的三個(gè)內(nèi)角用剪刀剪下，然后再拼可拼成一個(gè)平角。
　　生3：老師，我沒有剪刀，我用量角器測(cè)量三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)不等于180°，但是很接近180°，這是為什么呢？
　　師：你的想法很好，測(cè)量是最基本的方法之一，只是測(cè)量過程中有誤差，請(qǐng)同學(xué)們想一想有沒有更精確的測(cè)量工具。
　　生4：老師可以用上學(xué)期學(xué)過的幾何畫板測(cè)量三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后再計(jì)算三角形的三個(gè)內(nèi)角的和。
　　師：由于條件的限制，我只能讓幾個(gè)小組中的同學(xué)代表到計(jì)算機(jī)前探索。
　　學(xué)生操作結(jié)果如圖2所示。
　　生：（拖動(dòng)A點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)三角形任意變化）在拖動(dòng)鼠標(biāo)的過程中，三角形的各個(gè)內(nèi)角任意變化，但是它們的和不變。
　　師：按照生1的方法，僅僅是研究了某一種三角形的內(nèi)角和，由此得到的三角形內(nèi)角和結(jié)論能不能推廣到普遍的情況呢？
　　學(xué)生對(duì)教師的提問展開了討論，最后達(dá)成共識(shí)，認(rèn)為從特殊的三角形得出的結(jié)論不能簡(jiǎn)單地進(jìn)行推廣，并且認(rèn)為生4用幾何畫板，由于在拖動(dòng)A點(diǎn)的過程中，涵蓋了所有的三角形內(nèi)角度數(shù)，計(jì)算結(jié)果仍然是180°，由此可以說所有三角形內(nèi)角和是180°。
　　師：其實(shí)，生４所用的是我們數(shù)學(xué)中的一種方法——窮舉法。也就是把所有的可能情況都考慮到了，最后得出結(jié)論。
　　學(xué)生們的情緒高漲，此時(shí)我因勢(shì)利導(dǎo)，在上面問題的基礎(chǔ)上又提出了問題二。
　　
　　片斷二：四邊形內(nèi)角和及其證明
　　
　　師：你們已探索出三角形的內(nèi)角和是180°，那么請(qǐng)大家猜猜四邊形呢？
　　學(xué)生開始討論，并且有的學(xué)生提出，還可以用幾何畫板仿照三角形的方法來做。
　　
　　該學(xué)生分別拖動(dòng)C點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了四邊形內(nèi)角的部分變化，但是觀察到內(nèi)角和為360°不發(fā)生變化。學(xué)生根據(jù)前面三角形的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為這樣也可以嚴(yán)格地推廣這一結(jié)論了。
　　師：大家仔細(xì)觀察，在C點(diǎn)被拖動(dòng)的時(shí)候，是不是這個(gè)四邊形的任何角度都在變化？
　　生：（少數(shù)學(xué)生說）沒有，角A度數(shù)沒有變。
　　師：所以，當(dāng)拖動(dòng)C點(diǎn)時(shí)候，我們并沒有窮舉出所有的四邊形，而是找到了一類四邊形，能夠就由此說上述結(jié)論是普遍結(jié)論嗎？
　　學(xué)生沉默，似乎在反思自己的思考過程，又似乎在品味教師的話，偶爾有幾個(gè)學(xué)生交頭接耳議論。
　　有一個(gè)學(xué)生試探地說：可以用別的方法嗎？
　　師：歡迎大家突破已有的思維方式。
　　生1：我和同桌討論過，可以連接AC（或BD）后，可將四邊形變?yōu)閮蓚€(gè)三角形的問題，如圖4所示。
　　
　　師：很好，非常好！你非常巧妙地把四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題，充分利用已經(jīng)掌握的知識(shí)解決問題。
　　這個(gè)學(xué)生的發(fā)言引起了全班學(xué)生的討論，隨后又有其他學(xué)生提出了自己的解決方法。例如：
　　生2：如圖5在AB上取一點(diǎn)E，可將四邊形變?yōu)槿齻€(gè)三角形減去一個(gè)平角。
　　生3：如圖6在四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)，可將四邊形變?yōu)樗膫€(gè)三角形減去一個(gè)周角。
　　生4：如圖7在四邊形ABCD外取一點(diǎn)，可將四邊形變?yōu)樗膫€(gè)三角形的問題，可將四邊形變?yōu)閮蓚€(gè)三角形的問題。
　　生5：如圖8延長(zhǎng)DC與AB相交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在四邊形ABCD外，可變成兩個(gè)平角與一個(gè)三角形的內(nèi)角和再減去一個(gè)三角形的內(nèi)角和，要比圖7的方法簡(jiǎn)單。
　　師：同學(xué)們很有創(chuàng)意。下面我們用幾何畫板來驗(yàn)證一種想法（驗(yàn)證過程略）。
　　
　　片斷三：多邊形研究
　　
　　師：我們已經(jīng)輕松地研究了三角形和四邊形的內(nèi)角和問題，那么表1你能不能填寫上呢？
　　生1：用幾何畫板 4.06可以嗎？
　　生2：我認(rèn)為完全可以不用。
　　……
　　師：我只能讓一組同學(xué)用幾何畫板，其他組就不能用了，建議你們開動(dòng)腦筋，充分用你們的智慧來填寫表格。
　　學(xué)生分組學(xué)習(xí)，一個(gè)小組的學(xué)生用“幾何畫板”完成表格，其他學(xué)生進(jìn)行討論，有的畫出多邊形進(jìn)行測(cè)量，有的用上述研究四邊形內(nèi)角和的方法充分利用已經(jīng)掌握的三角形、四邊形內(nèi)角和知識(shí)研究其他多邊形的內(nèi)角和，還有的在評(píng)論別人的結(jié)果……
　　學(xué)生完成表格之后，引導(dǎo)他們觀察規(guī)律，最后得出任意多邊形的內(nèi)角和公式。如表2所示。
　　
　　片斷四：三角形的外角和與多邊形的外角和
　　
　　師：內(nèi)角的問題我們已經(jīng)基本解決了，大家是不是愿意再研究一下外角呢？建議大家可以在課外時(shí)間對(duì)外角問題進(jìn)行深入研究，并且展示你的研究結(jié)果。
　　課后學(xué)生利用幾何畫板研究了外角，下面是一個(gè)學(xué)生在課堂上匯報(bào)研究結(jié)果時(shí)候的操作步驟：
　　(1)在幾何畫板中畫三角形ABC；
　　(2)分別度量出∠DAC、∠FCB、∠EBC的度數(shù)；
　　(3)計(jì)算∠DAC+∠FCB+∠EBC的值；
　　(4)拖動(dòng)三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A，發(fā)現(xiàn)外角和總是360°，保持不變。如圖9所示。
　　(5)用同樣方法可度量出四邊形、五邊形等多邊形的外角和。完成表3。
　　
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文