楊冠夏

有的數(shù)學(xué)老師告訴他的學(xué)生，說不要去問那些數(shù)學(xué)上的規(guī)定，為什么要這樣規(guī)定，說：“沒有‘為什么”.對于這種回答，北京22中的孫維剛（1938.12—2002.1）老師的評價(jià)是“這太遺憾了，太殘酷了”，說這么好的問題，我們老師“求之不得”.身為全國著名的數(shù)學(xué)特級教師的孫維剛認(rèn)為“科學(xué)上（數(shù)學(xué)尤其如此）的任何規(guī)定，都是有‘為什么的”.[１]

在學(xué)平面向量的時(shí)候，我們也會遇到一個(gè)規(guī)定：“零向量與任一向量平行.”[2]

我們也會問，為什么要這樣規(guī)定，一定要規(guī)定零向量與任何向量都平行呢？零向量的方向既然可以是任意的，那么說零向量與a成90°角，成60°角，難道不可以嗎？

這個(gè)“0∥a”的規(guī)定還有更深刻的道理嗎？

回答，有.

1 “零向量與任何向量平行”為向量空間概念的形成掃除了障礙

我們知道，向量可以平移.“向量共線”和“向量平行”是同一個(gè)概念.

我們假定與某一直線共線（平行）的所有向量組成一個(gè)集合A.正是由于規(guī)定了零向量與任何向量都平行，才有0∈A.于是這個(gè)集合A中的向量才滿足下面三條：

1°任給a，b∈A,總有a+b∈A;

2°任給a，c∈A,則必存在b∈A,使a+b=c成立.我們說b=c-a;(只有封閉的運(yùn)算才有逆運(yùn)算）.

3°任給a，b∈A,(a≠0),則必存在惟一的實(shí)數(shù)λ,使b=λa;反之，若a∈A,λ∈R,b=λa,則b∈A.

1°,2°,3°分別說明對于集合A，加法，減法，數(shù)乘這三種運(yùn)算的結(jié)果仍然在集合A當(dāng)中.我們把這分別稱做加法、減法和數(shù)乘，這三種運(yùn)算對于集合A是“封閉的”.

如果我們不作“零向量與任何向量都平行”的規(guī)定，那么，對于某個(gè)共線向量集合A.這有可能0麬.我們給定a∈A.當(dāng)然-a∈A,然而a+（-a）麬.這樣，加法運(yùn)算對于集合A就不封閉了.類似地，向量的減法、數(shù)乘，這兩種運(yùn)算的封閉性也都不成立了.

保持了加法、減法，數(shù)乘運(yùn)算封閉性的每一個(gè)共線（平行）向量集合，我們稱它為一個(gè)一維向量空間.

平面向量對向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算也是封閉的，同樣的空間向量也具有這種對加、減、數(shù)乘的封閉性.平面向量基本定理，空間向量基本定理都是建立在這種對加、減、數(shù)乘運(yùn)算的封閉性之上的.

我們把平面向量集合稱為二維向量空間，而空間向量集合則被稱為三維向量空間.

如果沒有“零向量與任一向量平行”的這一條規(guī)定，那么，任何向量空間也都不復(fù)存在了.這是因?yàn)槠矫嫦蛄炕径ɡ?，空間向量基本定理都要以一維向量空間為基礎(chǔ).而沒有“零向量與任一向量平行”，就沒有一維向量空間.

向量具有維度，這是向量的重要特征.向量維度特征的形成離不開“零向量與任何一向量平行”這個(gè)規(guī)定.

2 向量是個(gè)遵守維度規(guī)則卻又不受維度限制的量

平面向量可以用這個(gè)平面上一個(gè)二維基底惟一地線性表示.反過來也對，二維基底的任何一個(gè)線性表示，必為這個(gè)平面的一個(gè)向量.這使得選擇恰當(dāng)?shù)幕妆硎境蔀榻鉀Q平面向量問題的一個(gè)方法.

用單位正交基底表示平面向量，便產(chǎn)生了平面向量的坐標(biāo)表示方法.坐標(biāo)表示平面向量本質(zhì)上是平面向量的基底表示的特殊形式.由于它的簡便易行，這就形成解決平面向量問題的另一個(gè)方法.

上面兩個(gè)結(jié)論都可以推廣到三維.三個(gè)不共面的向量可以作為空間向量的三維基底.而三維的單位正交基底的特殊形式又派生了空間向量的三維坐標(biāo)表示.

用三維基底表示空間向量以解決空間向量問題，或者用三維坐標(biāo)表示空間向量來解決空間向量問題，這是空間向量的兩種不同的解題方法.

向量必定要遵守維度規(guī)則.這是我們在學(xué)習(xí)向量過程中要區(qū)分平面向量和空間向量的依據(jù).在知識上，它集中體現(xiàn)在平面向量基本定理和空間向量基本定理上面.

讓人驚訝的是，向量的運(yùn)算又表現(xiàn)出不受維度約束的極大的靈活性.表現(xiàn)有二：

其一，不論是平面向量還是空間向量，多個(gè)向量的加法都可以首尾相接求和.這個(gè)加法操作規(guī)則不受向量維度的限制.向量的加減運(yùn)算可以不通過相應(yīng)基底或坐標(biāo)表示而直接操作.

其二，向量的內(nèi)積a·b,它的運(yùn)算結(jié)果不再是向量，而是一個(gè)實(shí)數(shù)了.向量內(nèi)積對于任何一個(gè)向量集合不再具備前面說的那種運(yùn)算的封閉性.

為什么a·b不存在逆運(yùn)算，為什么沒有三個(gè)以上向量的內(nèi)積.

你看見a·b=|a||b|cos這個(gè)定義在做什么事情了嗎？

a+b,a-b,λa(λ∈R),向量加向量，向量減向量，向量乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，我們把向量比作硬梆梆的“箭”，那么，它們的運(yùn)算結(jié)果仍舊是硬梆梆的“箭”，它自己就是一枝硬梆梆的可以平移的實(shí)體.你需要用模和方向來刻劃這個(gè)硬梆梆的奇異的量.但是，硬梆梆和硬梆梆的點(diǎn)乘積竟然不再硬梆梆的，竟然“水化了”，變成實(shí)數(shù)了，在實(shí)軸上流淌.如果a⊥b,a與b成90°角，那么a·b=0，a，b的內(nèi)積還要“氣化”呢，比“水化”還要厲害.隨著向量a，b夾角的不同，cos讓這個(gè)投影的“氣化”的程度有所不同.

盡管向量內(nèi)積的這種“水化”和“氣化”現(xiàn)象也可以通過向量內(nèi)積的基底運(yùn)算和坐標(biāo)公式反映出來，然而“水化”與“氣化”畢竟可以成為向量運(yùn)算的一個(gè)捷徑而不再依賴于向量的基底表示或是坐標(biāo)表示.

a·b=0赼⊥b,cos=a·b|a||b|,

|b||cos|=|a·b||a|,|a|2=a2,

|a·b|≤|a||b|,這樣一些讓幾何代數(shù)都受益的美餐都是由向量內(nèi)積的這種“水化”和“氣化”功能烹調(diào)而成的.

a·b的這種“水化”“氣化”功能的實(shí)質(zhì)，是向量a，b之間投影的運(yùn)算，是我們通常把它稱之為a·b的幾何意義的那個(gè)實(shí)數(shù)值.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”