康風(fēng)星

了解多邊形的內(nèi)角和的推導(dǎo)過程，深刻地領(lǐng)會其內(nèi)在的思想方法，靈活運用公式解決實際問題，會為我們今后學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

n邊形的內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和＝（n－2）×180°.其中n為整數(shù)，n≥3.

一、n邊形內(nèi)角和公式推導(dǎo)方法

方法1：如圖1，從一個頂點出發(fā)可以引出（n－3）條對角線，這樣把多邊形分割成了（n－2）個三角形，由圖可知這（n－2）個三角形的內(nèi)角的總和恰好是n邊形的內(nèi)角和，故而可得n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°.

方法2：如圖2，在多邊形的內(nèi)部任取一點G，和各個頂點連接，這樣把多邊形分割成了n個三角形.由圖可知這n個三角形的內(nèi)角的總和恰好比n邊形的內(nèi)角和多一個周角，故而可得n邊形的內(nèi)角和為n×180°－360°＝（n－2）×180°.

方法3：如圖3，在多邊形的邊上任取一點G，和各個頂點連接，這樣把多邊形分割成了（n－1）個三角形.由圖可知這（n－1）個三角形的內(nèi)角的總和恰好比n邊形的內(nèi)角和多一個平角，故而可得n邊形的內(nèi)角和為（n－1）×180°－180°＝（n－2）×180°.

方法4：如圖4，在多邊形的外部任取一點G，和各個頂點連接，這樣形成了n個三角形.由圖可知這n個三角形的內(nèi)角的總和比n邊形的內(nèi)角和多：①三角形AFG的內(nèi)角和180°；②由五個三角形的一個角組成的和∠AGF；③∠GAF和∠AFG.而∠AGF＋∠GAF＋∠AFG＝180°，故而可得n邊形的內(nèi)角和為n×180°－180°－180°＝（n－2）×180°.

二、n邊形內(nèi)角和公式的應(yīng)用

1.求n邊形的邊數(shù).

例1若n邊形的內(nèi)角和是它外角和的2倍，則n等于.

解：由題意可知，（n－2）×180°＝2×360°，解得n＝6.

2.求特殊圖形的各內(nèi)角度數(shù)和.

例2如圖5，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H.

分析：所求的8個角的度數(shù)通過作輔助線（如圖6）很容易轉(zhuǎn)化成求六邊形的內(nèi)角和.所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°.

求復(fù)雜圖形的內(nèi)角和，可以通過巧妙的轉(zhuǎn)化成我們熟悉的基本圖形，然后再求其內(nèi)角和即可.

請同學(xué)們思考下面的一個問題，看誰說得又對又好.

把一個多邊形截去一個角后，形成的新多邊形的內(nèi)角和為2 880°，請問原來的多邊形的邊數(shù)是幾.

這個問題中，多邊形的邊數(shù)有17、18、19三種可能，你答對了嗎？你能想出其中的奧秘嗎？

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