巧設(shè)元　妙解題

朱元生

一元一次方程在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用非常廣泛，只要巧設(shè)元，總能將問題輕松解決.

例1圖1是由六個正方形拼成的長方形，已知中間的小正方形的邊長為1，試求長方形的面積.

解析：給六個正方形分別標(biāo)上1、2、3、4、5、6.

設(shè)正方形2的邊長為x，則正方形3的邊長也為x，正方形4的邊長為（x+1），正方形5的邊長為（x+2），正方形6的邊長為（x+3）.

根據(jù)長方形的對邊相等，可得方程:

x+x+（x+1）=（x+2）+（x+3）.

解得x=4.

從而得到長方形的長為3x+1=13，寬為2x+3=11.

所以長方形的面積為13×11=143.

例2圖2是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長為a，則六邊形的周長是.

解析：給9個等邊三角形分別標(biāo)上1、2、3、4、5、6、7、8、9，設(shè)等邊三角形2的邊長為x，則等邊三角形3、4的邊長也為x，等邊三角形5、6的邊長為（x+a），等邊三角形7、8的邊長為（x+2a），等邊三角形9的邊長為（x+3a）.

從圖中可以看出，等邊三角形9的邊長等于等邊三角形2、4的邊長之和，可得方程：x+3a=2x.解得x=3a.

所以六邊形的周長為x+x+（x+a）+（x+a）+（x+2a）+（x+2a）+（x+3a）=7x+9a=7×3a+9a=30a.

例3將-1～-8和1～8這16個整數(shù)填入4×4的正方形表格中，使得每行、每列、每條對角線上四個數(shù)之和都相等，如圖3所示.其中有8個標(biāo)有序號（帶圓圈的數(shù)字）的小方格中填的數(shù)被一個頑皮的小朋友擦掉了，請你將這擦掉的8個數(shù)恢復(fù)出來.

解析：所填表中每行、每列、每條對角線上的四數(shù)之和都相等，設(shè)這個和為S，則4S=（-1）+（-2）+…+（-8）+1+2+…+8=0，得S=0.

故所填表格中每行、每列、每條對角線上的四數(shù)之和都為0.

設(shè)方格①中的數(shù)為x，則方格②中的數(shù)為-3-x；方格③中的數(shù)為13-（-3-x）=16+x；方格④中的數(shù)為-12-x；方格⑤中的數(shù)為11+x；方格⑥中的數(shù)為-10-x；方格⑦中的數(shù)為5+x；方格⑧中的數(shù)為-1-x.

由對角線上的①、⑦、⑤、③四數(shù)之和為0，得x+（5+x）+（11+x）+（16+x）=0.得到x=-8.

于是可以依次算出被擦掉的各數(shù)，恢復(fù)后如圖4所示.

練習(xí)題在圖5中有9個方格，要求在每個方格內(nèi)填入不同的數(shù)，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都相等，試問:圖中左上角問號處的數(shù)是多少？

答案與提示：雖然要求的只是左上角的數(shù)，但是題目中的條件還與其他的數(shù)有關(guān)，因此需恰當(dāng)?shù)卦鲈O(shè)不同的字母來表示數(shù)，以便充分運(yùn)用已知條件.

如圖6，設(shè)相應(yīng)方格中的數(shù)分別為x1，x2，x3和x4，問號處填入的數(shù)為x，由已知條件得：

x+x1+x2=x+x3+x4=x1+x3+13=x2+19+x4.

由前兩個式子之和等于后兩個式子之和，得到：

2x+x1+x2+x3+x4=13+19+x1+x2+x3+x4.

所以2x=13+19.解得x=16，即圖中左上角問號處的數(shù)為16.